2020年山东省专升本真题(数一)及解析

机密★启用前 试卷类型：公共课 科目代码：102
山东省2020年普通高等教育专升本统一考试
高等数学I 试题
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分100分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写到试卷规定的位置上，并将姓名、考生号、座号填（涂）在答题卡规定的位置。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在本试卷上无效。

3.第Ⅱ卷答题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将答题卡的相应代码涂黑。

错涂、多涂或未涂均无分。

1. 当0x →时，以下函数是无穷小量的是( ) A. x
e B. ln(2)x + C. sin x D. cos x 2. 平面2348x y z -+=与直线
12234
x y z
-+==-的位置关系( ) A. 平行 B. 垂直 C. 相交不垂直 D.直线在平面上
3. 微分方程''7'80y y y +-=的通解为( )
A. 812x
x y C e
C e -=+ B. 812x x y C e C e --=+
C. 812x
x
y C e C e =+ D. 812x
x
y C e C e -=+
4. 曲线3
2
231y x x =+- 的拐点( ) A. 11,22⎛⎫-
- ⎪⎝⎭ B. 11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C. ()1,0-
D. ()0,1- 5. 以下级数收敛的为( )
A. 232
11
2n n n n ∞
=++∑ B. 1
sin 3n n π∞
=∑ C. 211ln 1n n ∞
=⎛
⎫+ ⎪⎝⎭∑ D. 1321
n n n ∞
=+∑
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6.
函数()f x =
__________. 7. 函数1
2ln y x x
=
+在(1,1)处的切线方程为___________. 8. 若
()1b
a
f x dx =⎰
，[]2()3()8b
a
f x
g x dx +=⎰，则()b
a
g x dx =⎰___________.
9. 已知两点(1,2,0)A -
和(2,B -，则与向量AB 同方向的单位向量是____________.
10. 已知函数(,)f x y 在2
R 上连续，
设1220
1
(,)(,)x
I dx f x y dy dx f x y dy -=
+⎰⎰⎰
，则交换
积分次序后I =____________.
三、解答题（本大题共8小题，第11-17小题每小题6分，第18小题7分，共49分）
11. 求极限322
3lim 2x x x x x x →∞⎛⎫
+- ⎪++⎝⎭
.
12.求极限20
3
sin lim
x
x t dt x
→⎰
.
13.
求不定积分
. 14.求过点(1,2,2)-且与两平面21x y z +-=和232x y z ++=都垂直的平面方程.
15.已知sin y
z x x
=，求2z x y ∂∂∂.
16.计算二重积分
22
cos()D
x y d σ+⎰⎰，其中D
由3y x =
，y =与222
x y π
+=所围成的在第一象限内的闭区域. 17.求微分方程'x
y y e x +=+的通解。

18.求幂别级数2
1n n x n +∞
=+∑的收敛域及和函数.
四、应用题（本大题共7分）
19.计算由曲线2
4y x =-+与直线24y x =-+所围成的平面图形的面积. 五、证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
20.证明当1x >
时，ln 3x x +>.
21.设函数[]()0,1f x 在上连续，且(1)1f =，证明：对任意的实数(0,1)λ∈，存在
(0,1)ξ∈，使得2()f λ
ξξ
=
.
机密★启用前 试卷类型：公共课 山东省2020年普通高等教育专升本统一考试
高等数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1. 答案：C.
解析：根据无穷小量定义可知，函数0
limsin 0x x →=，sin x 是无穷小量。

2. 答案：B.
解析：平面的法向量(2,3,4)-n =，直线的方向向量(2,3,4)-s =，显然s n ，
故平面和直线垂直。

3. 答案： D.
解析：特征方程2780r r +-=，特征值128,1r r =-=，故通解为812x
x
y C e C e -=+。

4. 答案：A.
解析：2
'66y x x =+，''126y x =+，令''0y =，解得12
x =-， 显然当12x =-
左右两侧''y 的符号发生了改变，故11,()22f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为拐点，即11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭。

5. 答案：C.
解析：利用比较判别法等价无穷小的结论：ln(1)
(0)x x x +→
故221ln 1lim
11n n n
→∞⎛
⎫+ ⎪⎝⎭=，而211n n ∞=∑收敛，故21
1ln 1n n ∞
=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛。

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.答案：[3,)+∞ 解析：由原题得
103
x
-≥，解得3x ≥
7.答案：y x =. 解析：12
112'|1x x y x
x ==⎛⎫
=-
+= ⎪⎝⎭，故切线为11y x -=-，即y x =。

8.答案： 2. 解析：82
()3()23()b
b b a
a
a
f x dx
g x dx g x dx =+=+⎰
⎰⎰，故()2b
a
g x dx =⎰.
9.
答案：1
5,,
266⎛- ⎝⎭
.
解析：(3,AB =-，
则||925AB =+
=，
故1
15(3,5,2)
,6
266AB ⎛=-=- ⎝
⎭
e 。

10.答案：2
120
(,)y
y I dy f x y dx -=
⎰⎰
解析:X 型积分区域为0,11,2
0,20,x x x x y y x
y y ==⎧==⎧⎪⎨
⎨
==-==⎪⎩⎩
所围封闭区域， 转化为Y 型积分区域为201
2y y x y
≤≤⎧⎨≤≤-⎩，故2120(,)y y
I dy f x y dx -=⎰⎰.
三、解答题(本大题共7小题，每小题6分，共42分） 11.解：通分利用已知结论，得
32322222233(2)22lim lim lim 2222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫++-++--=== ⎪++++++⎝⎭
12.解：22
3
20
0sin sin
1
lim
lim 33
x
x
x t dt x x x →→==⎰ 13.解：
ln ln 2
ln ln x x dx dx xd x x x =+=+⎰
⎰⎰
21
(ln )2x C
=+
14.解：所求平面的法向量为121(7,5,3)
21
3
=-=--i j k
n
又过点(1,2,2)-，故平面的点法式方程为7(1)5(2)3(2)0x y z --+--=，
即753110x y z ---=。

15.解：sin sin 'sin cos 'x x z y y y y y x x x x x x x ∂⎛⎫⎛⎫=+=+⋅ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭sin cos y y y x x x
=-; 2sin ''cos cos 'y y y z y y y y y x y x x x x x ⎡⎤
∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
2211cos cos sin sin y y y y y y
x x x x x x x x
=
-+= 16.解：利用极坐标，积分区域D 可表示为
(
),,063D r r ππθθ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎩
所以
22
230
6
cos()D
x y d d r rdr
π
πσθ+=⋅⎰⎰⎰
2
2
20
sin 1212
12
r dr r
π
π
π
=
=
=
.
17. 解：令()1,()x
P x Q x e x ==+，利用常数变异公式得
()()()()P x dx P x dx dx dx
x y e Q x e dx C e e x e dx C --⎡⎤⎡⎤⎰
⎰⎰⎰=+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
⎰
⎰
()()x
x x x x x e e x e dx C e e x de C --⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦
⎰⎰ x x x x e e de xde C -⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰212x x x x e e xe e C -⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦。

18. 解：级数2
01
n n x
n +∞
=+∑为标准级数，且11lim 11x n n
→∞+=，故收敛半径1R =；
当1x =-时，级数为2
(1)1n n n +∞
=-+∑收敛，当1x =时，级数为011n n ∞
=+∑发散，
故收敛域为[1,1)-。

设20(),(1,1)1n n x S x x n +∞
==∈-+∑，则1
0()1
n n x S x x n +∞
==+∑
， 记1
10()1
n n x S x n +∞
==+∑, 则
111000
1'()''111n n n
n n n x x S x x n n x ++∞∞∞
===⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 故1110
01
()(0)'()ln(1)1x
x
S x S S t dt dt x t
-=
==---⎰
⎰
，又1(0)0S =，从而1()ln(1)S x x =--， 故()ln(1)S x x x =--，(1,1)x ∈-；
当1x =-时，[]211011(1)(1)1
(1)(1)ln(11)ln 1(1)1n n n n n n S n n n ++∞
∞∞+===---===-=+=--+∑
∑∑
故()ln(1)S x x x =--，[1,1)x ∈-.
四、应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
19.解：所围成图形的面积为
面积为2
222
04(4)(24)(2)3S x x dy x x dy ⎡⎤=
-+--+=-++=⎣⎦⎰
⎰。

五、证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
20.证明：令()ln 3f x x x =+-， 且(1)0f =
当1x >时，2
111)()10x f x
x x x +-'=+-
==> 故()f x 在(1,)+∞内单调递增，因此当1x >时，()(1)0f x f >=，
即ln 3x x +>。

21.证明：令函数2
()()F x x f x λ=-，则()F x 在[0,1]上连续， 由(1)1f =，(0,1)λ∈可知，(0)0,(1)10F F λλ=-<=->，
由零点定理可知，(0,1)ξ∃∈，使得()0F ξ=，即2()f λ
ξξ
=。