高中数学模块质量评估新人教版必修1

模块质量评估
( 第一至第三章)
(120 分钟150 分)
一、选择题 ( 本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要
求 )
1.(2016 ·重庆高一检测) 会集 A={3， |a|}，B={a，1}，若A∩ B={2}，则A∪B=
() A.{0 ， 1， 3} B.{1 ，2， 3}
C.{0 ， 1， 2， 3}
D.{1 ， 2， 3， -2}
【解析】选 B. 因为 A∩ B={2}，所以 a=2，所以 A={3 ， 2} ，B={1 ， 2} ，所以 A∪ B={1 ， 2， 3}.
2.(2015 ·陕西高考 ) 设 f(x)=则f(f(-2))=()
B. C. D.
【解题指南】直接利用分段函数，由里及外逐渐求解即可.
【解析】选 C.f(x)=则f(f(-2))=f(2-2 )=f=1-=1- = .
3. 函数 y=-lgx的定义域为()
A.{x|x>1}
B.{x|x≥ 1}
C.{x|x≤ 0}
D.{x|x ≥ 1} ∪ {0}
【解析】选 A.x 应满足即
所以 {x|x>1}.
4. 三个数 0.7 6， 6 ， log 6的大小关系为()
A.0.7 6<log 6<6
B.0.7 6<6 <log 6
66
C.log 6<6
D.log 6<0.7 <6
【解析】选 D. 因为 0<0.7 6<1， 6 >1，log0.7 6<0，
6
所以 log 6<0.7 <6 .
【赔偿训练】(2016 ·北京高一检测) 设 a=0.，b=0.，c=log3，则()
A.c<b<a
B.c<a<b
C.a<b<c
D.b<a<c
【解析】选 B. 由幂函数和对数函数的性质有b>a>0>c.
5. 若奇函数 f(x) 在 [1 ， 3]上为增函数，且有最小值0，则它在 [-3 ， -1] 上 ()
A. 是减函数，有最小值0
B. 是增函数，有最小值0
C. 是减函数，有最大值0
D. 是增函数，有最大值0
【解题指南】利用奇函数在其关于原点对称的区间上单调性同样，此后借助函数图象即可找出正确答案.【解析】选 D. 奇函数在其对称区间上有同样的单调性，故也是增函数且有最大值0.
6.若幂函数 f(x)=x a在 (0 ， +∞ ) 上是增函数，则()
A.a>0
B.a<0
C.a=0
D. 不可以确立
【解析】选 A. 当 a>0 时， f(x)=x a在 (0 ，+∞ ) 上递加，选 A.
7. 函数 f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大体区间是 ()
A.(0 ， 1)
B.(1 ， 2)
C.(2 ， e)
D.(3 ，4)
【解析】选 B. 本题观察零点存在定理，直接计算可得f(1)=ln(1+1)-=ln2-2
=ln2-lne 2<0， f(2)=ln(2+1)-=ln3-1>0 ，所以函数的零点必在区间(1，2)内.
8. 函数 f(x)=lnx的图象与函数 g(x)=x 2-4x+4的图象的交点个数为()
【解析】选 C. 在同一坐标系中作出f(x)=lnx和 g(x)=x2-4x+4 的图象就看出有两交点 .
9.(2016 ·大庆高一检测 ) 已知函数f(x)=a x在 (0 ，2) 内的值域为 (a 2，1) ，则函数 y=f(x)的图象是 ()
【解析】选 A. 由 f(x)=a x 在(0，2)内的值域是(a2，1)可知函数必为减函数.
10. 已知 f(x)=log2x-，若实数x0是方程 f(x)=0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值()
A. 恒为负
B. 等于零
C. 恒为正
D.不小于零
【解题指南】因为 f(x 0)=0，又 x1<x0，所以要判断 f(x 1) 的正负，只要判断f(x) 的单调性即可 .
【解析】选 A. 因为函数y=log 2x 在 (0 ， +∞ ) 上为增函数， y=-在 (0 ， +∞ ) 上为增函数，所以f(x)=log2x-在 (0 ， +∞ ) 上为增函数，
因为 f(x0)=0，0<x1<x0，所以f(x 1)<f(x 0)=0.
【赔偿训练】已知 a 是单调函数 f(x)的一个零点，若x1<a<x2，则 ()
A.f(x)f(x)>0
B.f(x )f(x
2)<0
121
C.f(x)f(x) ≥0
D.f(x)f(x) ≤ 0
1212
【解析】选 B. 若 f(x) 为增函数，则由x1<a<x2，
知 f(x 1)<f(a)<f(x 2) ，
又 f(a)=0 ，故 f(x 1)<0 ， f(x 2)>0 ，
所以 f(x 1)f(x2)<0，
若 f(x) 为减函数，则由 x1<a<x2，
知 f(x 1)>f(a)>f(x 2) ，
又 f(a)=0 ，故 f(x 1)>0 ， f(x 2)<0 ，所
以 f(x 1)f(x 2)<0 ，
综上知 f(x 1)f(x2)<0.
11. 某市出租车收费标准以下：起步价为8 元，起步里程为3km(不超出 3km 按起步价收费 ) ；超出 3km 但不超出 8km 时，超出部分按每千米 2.15 元收费；超出8km 时，超出部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附带费 1 元. 现某人乘坐一次出租车付费22.6 元，则此次出租车行驶了()
【解析】选 D.
由 y=
可得 x=9，则出租车行驶了9km.
12.(2016 ·衡水高一检测) 若函数f(x)=log a(2x+1)(a>0，且a≠ 1) 在区间内恒有f(x)>0 ，则f(x)的单调递减区间是()
A. B.
C. D.
【解析】选 B. 当 x∈时， 2x+1∈ (0 ， 1) ，
所以 0<a<1.
又 f(x) 的定义域为，
2x+1 在上为增函数，
所以 f(x) 的单调递减区间为.
二、填空题 ( 本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分 . 把答案填在题中的横线上)
13.(2016 ·郑州高一检测 ) 设 P， Q是两个非空会集，定义会集间的一种运算“☉”：P☉ Q={x|x ∈ P∪ Q，且x?P∩ Q}，假如 P={y|y=} ， Q={y|y=4 x， x>0} ，则 P☉ Q=.
【解析】 P=[0 ， 2] ，Q=(1， +∞) ，所以 P☉ Q=[0， 1] ∪ (2 ， +∞ ).
答案： [0 ，1] ∪ (2 ，+∞ )
14. 函数 y=f(x) 与 y=a x(a>0且 a≠ 1) 互为反函数，且 f(2)=1 ，则 a=.
【解析】由题意知 f(x)=log a
x 又 f(2)=1
a
，故 log 2=1 即 a=2.
答案： 2
15.(2016 ·长春高一检测) 以以下图形可以表示为以M={x|0 ≤x≤ 1} 为定义域，以N={y|0 ≤y≤ 1} 为值域的函数是.
【解析】①选项，函数定义域为M，但值域不是N；
②选项，函数定义域不是M，值域为N；
④选项，会集 M中存在 x 与会集 N 中的两个 y 对应，不构成照耀关系，故也不构成函数关系 . 答案：
③
16.(2015 ·北京高考 ) 设函数 f(x)=
①若 a=1，则 f(x)的最小值为；②若f(x)恰有2个零点，则实数 a 的取值范围是.
【解题指南】关于①问，可以作出图象求最小值. 关于②问议论 a 找零点个数 .
【解析】①f(x)=由图象可知当x= 时，取最小值-1.
②若 a>0，当 x<1， f(x)=2x-a恰有一个零点log 2a 时，有解得≤ a<1；
当 x<1， f(x)=2 x -a 无零点时，有
解得 a≥ 2.
若 a≤ 0，当 x<1 时， f(x)无零点；当x≥ 1 时，由题意知应恰有两个零点，
所以无解 .
综上，≤ a<1 或 a≥ 2.
答案：① -1 ② ≤ a<1 或 a≥ 2
三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共70 分，解答时写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分 )(2016 ·广州高一检测 ) 已知会集 A={x|x ≤ a+3} ， B={x|x<-1或 x>5}.
e R B.
(1)若 a=-2 ，求 A∩
(2)若 A? B，求 a 的取值范围 .
【解析】 (1) 当 a=-2 时，会集 A={x|x ≤ 1} ，e R B={x|-1 ≤ x≤ 5} ，
所以 A∩e R B={x|-1 ≤ x≤ 1}.
(2)因为 A={x|x ≤ a+3} ， B={x|x<-1或 x>5} ，
A?B，
所以 a+3<-1 ，
所以 a<-4.
18.(12分)已知函数f(x)=
(1)在直角坐标系内画出 f(x) 的图象 .
(2)写出 f(x) 的单调递加区间 .
【解析】 (1) 函数 f(x) 的图象以以以下图：
(2) 函数 f(x) 的单调递加区间为[-1 ， 0] 和 [2 ， 5].
19.(12分)已知函数f(x)=2 x +2ax+b，且 f(1)=，f(2)=.
(1)求 a， b 的值 .
(2)判断 f(x) 的奇偶性并证明 .
(3)判断并证明函数 f(x) 在 [0 ，+∞ ) 上的单调性 .
【解析】 (1)??
(2)f(x)=2x+2-x，f(x)的定义域为R，
f(-x)=2-x +2x=f(x)，
所以 f(x) 为偶函数 .
(3)函数 f(x) 在 [0 ，+∞ ) 上是增函数，证明以下：
任取 x1<x2，且 x1， x2∈ [0 ，+∞ ) ，
f(x 1)-f(x2)=(+)-(+)
=(-)+
=(-)·，
因为 x1<x2，且 x1， x2∈ [0 ，+∞ ) ，
所以-<0，>1，
所以 f(x 1)-f(x2)<0，
所以 f(x) 在 [0 ， +∞) 上为增函数 .
【赔偿训练】(2016 ·兰州高一检测) 已知函数 f(x)=.
(1)求 f(x) 的单调区间 .
(2) 若 f(x) 的最大值等于，求a的值.
【解析】 (1) 令 t=|x|-a，则f(x)=，
不论 a 取何值， t 在(- ∞， 0] 上单调递减，在[0 ， +∞ ) 上单调递加，又 y=是单调递减的，
所以 f(x) 的单调递加区间是(- ∞， 0] ，
单调递减区间是[0 ，+∞ ).
(2)因为 f(x)的最大值是，且 =，
所以 t=|x|-a应当有最小值 -2，从而 a=2.
20.(12 分 ) 已知函数 f(x)=log a(1+x)，g(x)=log a(1-x)，(a>0，a≠1).
(1)设 a=2，函数 f(x)的定义域为 [3 ， 63] ，求 f(x) 的最值 .
(2)求使 f(x)-g(x)>0的 x 的取值范围 .
【解析】 (1)当 a=2 时， f(x)=log 2(1+x)，
在 [3 ， 63] 上为增函数，
所以当 x=3 时， f(x) 最小值为 2.
当 x=63 时， f(x) 最大值为 6.
(2)f(x)-g(x)>0即f(x)>g(x).
当 a>1 时， log a(1+x)>log a(1-x)，
满足所以 0<x<1，
当 0<a<1 时， log a(1+x)>log a(1-x)，
满足所以 -1<x<0 ，
综上 a>1 时，解集为 {x|0<x<1}，0<a<1时解集为{x|-1<x<0}.
21.(12分)已知y=f(x)是定义域为R 的奇函数，当x∈ [0 ， +∞ ) 时， f(x)=x2-2x.
(1)写出函数 y=f(x) 的解析式 .
(2) 若方程 f(x)=a恰有3个不同样的解，求 a 的取值范围 .
【解析】 (1) 当 x∈ (- ∞， 0) 时， -x ∈(0 ， +∞ ) ，
因为 y=f(x)是奇函数，
所以 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]
2
=-x -2x ，
所以 f(x)=
(2) 当 x∈ [0 ， +∞ ) 时， f(x)=x 2-2x=(x-1)2-1，最小值为 -1.
所以当 x∈(- ∞， 0) 时， f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2，
最大值为 1.
所以据此可作出函数y=f(x)的图象，以以以下图，
依据图象得，若方程f(x)=a恰有3个不同样的解，则a的取值范围是 (-1 ， 1).
22.(12分)某地上年度电价为0.8 元，年用电量为 1 亿千瓦时，今年度计划将电价调至0.55 元～ 0.75 元之间，经测算，若电价调至x 元，则今年度新增用电量y( 亿千瓦时 ) 与 (x-0.4)元成反比率.又当时，
y=0.8.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式 .
(2) 若每千瓦时电的成本价为0.3 元，则电价调至多少时，今年度电力部门的收益将比上年度增添20%？ [ 收益 =用电量× ( 实质电价 - 成本价 )]
【解析】 (1) 因为 y 与 (x-0.4)成反比率，
所以设 y=(k ≠ 0).
把 x=0.65 ， y=0.8 代入上式，
得 0.8=，k=0.2.
所以 y==，
即 y 与 x 之间的函数关系式为y=.
(2) 依据题意，得·(x-0.3)
=1× (0.8-0.3)× (1+20%).
整理，得x2-1.1x+0.3=0，解得x1，x2=0.6.
经检验 x1=0.5 ， x2=0.6 都是所列方程的根.
因为 x 的取值范围是0.55 ～0.75 ，
故 x=0.5 不切合题意，
应舍去 . 所以 x=0.6.
答：当电价调至0.6 元时，今年度电力部门的收益将比上年度增添20%.。