(数学分析教学案)第二章

第二章 数列极限
（14学时）
§1 数列极限概念
教学目的与要求
1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.
2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数. 教学重点: 数列极限概念.
教学难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数. 学时安排: 4学时
教学方法：讲练结合。

教学程序：
若函数f 的定义域为全体正整数集合N+，则称 R N f →+: 或 ),(n f n +∈N
为数列．因正整数集N +的元素可按由小到大的顺序排列，故数列)(n f 也可写作
,,,,,21 n a a a
或简单地记为}{n a ，其中n a
，称为该数列的通项． 关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．
例1 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．
把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)：
第一天截下21，第二天截下221，……，第n 天截下n
21
，……这样就得到一个数列
,21
,,21,212n ．或⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21. 不难看出，数列{n 21}的通项n
21随着n 的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列}{n a ，若当n 无限增大时n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a
称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列． 收敛数列的特性是“随着n 的无限增大，n a 无限地接近某一常数a ”
．这就是说，当n
充分大时，数列的通项n a 与常数a 之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其
极限的精确定义． 定义1 设}{n a 为数列，a 为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当，n >N
时有
ε<-||a a n 则称数列}{n a 收敛于a ，定数a 称为数列}{n a 的极限，并记作a a n n =∞
→lim ，或
)
(∞→→n a a n
.
读作“当n 趋于无穷大时，n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”
．
若数列
}{n a 没有极限，则称}{n a 不收敛，或称}{n a 为发散数列．
定义1常称为数列极限的ε—N 定义．下面举例说明如何根据N -ε定义来验证数列极限．
例2 证明0
1lim
=∞→α
n n ，这里α为正数
证 由于
,1
|01|
α
αn n
=- 故对任给的ε>0，只要取N=
111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡αε，则当N n >时，便有 εαα<<N n 11 即.|01|εα
<-n
这就证明了0
1lim =∞→αn n .
例3 证明
333lim 22
=-∞→n n n .
分析 由于
n n n n 9
39|33|222≤
-=- ).3(≥n )1( 因此，对任给的ε>o ，只要ε
<n 9，便有
,
|333|22
ε<--n n )2(
即当
ε9>
n 时，(2)式成立．又由于(1)式是在n ≥3的条件下成立的，故应取
}.
9
,3max{ε=N
证 任给,0>ε取
}.
9
,3max{ε=N 据分析，当N n >时有（2）式成立.于是本题得证. 注 本例在求N 的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N 就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E 能确定出N ．又(3)式给出的N 不一定是正整数．一般地，在定义1中N 不一定限于正整数，而只要它是正数即可．
例4 证明n
n q ∞
→lim =0，这里||q <1．
证 若q =0，则结果是显然的．现设0<||q <1．记1
||1-=
q h ，则h >0．
我们有
,)1(1
|||0|n
n n h q q +=
=-
并由
≥+n
h )1(1+nh 得到
.
1
11||nh nh q n <+≤
)4( 对任给的,0>ε只要取,1h N ε=则当N n >时，由（4）式得.|0|ε<-n
q 这 就证明了0
lim =∞
→n n q .
注 本例还可利用对数函数x y lg =的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：
对任给的ε>0(不妨设ε<1)，为使
ε<=-n n q q |||0|，只要 εlg ||lg <q n 即
||lg lg q n ε
>
（这里也假定).1||0<<q
于是，只要取
||lg lg q N ε
=
即可。

例5 证明1
lim =∞
→n n a =1，其中a >0．
证 (ⅰ)当1=a 时，结论显然成立.
(ⅱ) 当1>a 时，记11-=n
a α，则0>α.由 )1(11)1(1-+=+≥+=n
n
a n n a αα
得 .1
11n a a n
-≤
- )5(
任给0>ε，由(5)式可见，当
N
a n =->
ε
1
时，就有ε<-11n
a ，即|
1|1-n
a ε<.所以
1
lim =∞
→n n a .
(ⅲ) 当10<<a 时，,β
=－１１
n
a
则0>β.由
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+≥+=1111)1(1
n n a n n a ββ 得
()()a n a n a a n a a n
111
111.1111
11-+<-+-=-+-≤--- （6） 任给0>ε，由（6）式可见，当
N
a n =-+
>-ε
1
1１时，就有ε<-n
a 11，即|
1|1-n
a ε<.
所以1
lim =∞→n n a .
关于数列极限的ε—N 定义，应着重注意下面几点： 1．ε的任意性 定义1中正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与定数a 的接近程度，ε
愈小，表示接近得愈好；而正数ε可以任意地小，说明
n a 与a 可以接近到任何程度．然而，
尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N ，又ε既时
任意小的正数，那么2
3,2
εεε
或等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式
ε<-||a a n 中的ε可用或
εε
3,2
2ε等来代替．同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε
小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定ε<1)．另外，定义1中的ε｜＜a a n -|也可改写成.||ε≤-a a n
2．N 的相应性 一般说，N 随ε的变小而变大，由此常把N 写作N(ε)，来强调N 是依赖于ε的；但这并不意味着N 是由ε所唯一确定的，因为对给定的ε，比如当N=100时，能
使得当•n >N 时有ε
<-||a a n ，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N
的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n >N 也可改写成n ≥N ．
3．从几何意义上看，“当n >N 时有
ε<-||a a n ”意味着：所有下标大于N 的项ｎa 都落在邻域U(ε;a )内；而在U(a;ε)之外，数列{n a }中的项至多只有N 个(有限个)．反之，
任给ε>0，若在U(ε;a )之外数列}{n a 中的项只有有限个，
设这有限个项的最大下标为N ，
则当n >N 时有),(εa U a n
∈，即当n >N 时有||a a n -<ε．由此，我们可写出数列极限的一
种等价定义如下：
定义'
1 任给ε>0，若在U(ε,a )之外数列{}n a 中的项至多只有有限个，则称数列{}
n a 收敛于极限a ．
由定义1，可知，若存在某0>０ε，使得数列}{n a 中有无穷多个项落在U(0,εa )之外，
则
n a {}一定不以a 为极限．
例6 证明2{n }和{n )1(-}都是发散数列．
证 对任何∈a R ，取10=ε，则数列{2n }中所有满足1+>a n 的项(有无穷多个)显然
都落在U(0;εa )之外，故知}{2n 不以任何数a 为极限，即
}{2
n 为发散数列. 至于数列{})1(n -，当1=a 时取10=ε，则在U );(0εa 之外有
})1{(n
-中的所有奇数项；当≠a 1时取
|,1|21
0-=
a ε则在U （);0εa 之外有{})1(n -中的所有偶数项．所以{
})1(n
-不以任何数a 为极限，即{n
)1(-}为发散数列．
例7 设a y x n n n n ==∞→∞→lim lim ，做数列}{n z 如下：
.,,,,,,,:}{2211 n n n
y x y x y x z
证明.
lim a z n n =∞
→
证， 因,
lim lim a y x n n n n ==∞
→∞
→故对任给的0>ε，数列}{n x 和{}n y 中落在);(εa U 之外的项都至少只有有限个.所以数列
}{n z 中落在);(εa U 之外的项也至多只有有限个．故由定
义'1，证得a z n n =∞→lim ．
例8 设
}{n a 为给定的数列，}{n b 为对}{n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列
}{n b 与}{n a 同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．
证 设}{n a 为收敛数列，且a a n n =∞→lim ．按定义'1，对任给的ε>0，数列}{n a 中落在
U(ε;a )之外的项至多只有有限个．而数列}{n b 是对}{n a 增加、减少或改变有限项之后得到
的，故从某一项开始，
}{n b 中的每一项都是}{n a 中确定的一项，所以}{n b 中落在U();εa 之
外的项也至多只有有限个．这就证得a
b n n =∞→lim ．
现设
}{n a 发散．倘若}{n b 收敛，则因{}n a 可看成是对}{n b 增加、减少或改变有限项
之后得到的数列，故由刚才所证，}
{n a 收敛，矛盾．所以当}
{n a 发散时，}
{n b 也发散． 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义2 若0
lim =∞→n n a ，则称}
{n a 为无穷小数列． 由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：
定理1.2 数列}{n a 收敛于a 的充要条件是：}
{a a n -为无穷小数列． Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出a
a n n ≠∞
→lim 和n
n a ∞
→lim 不存在的“ε—N ”定义.
Ⅴ 课外作业: ２７P 2、3、4、6、7、8.
§２ 收敛数列的性质
教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。

教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；
（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求
某些收敛数列的极限。

教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。

教学难点：数列极限的计算。

学时安排: 4学时
教学方法：讲练结合。

教学程序：
引 言
上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a
→∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。

为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。

还需要对数列的性质作进一步讨论。

一、收敛数列的性质
性质１（极限唯一性） 若数列
{}n a 收敛，则它只有一个极限。

性质２（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。

注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。

例如数列
{}(1)n
-有界，但它
不收敛。

性质３（保号性） 若lim 0
n n a a →∞
=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），
存在正数Ｎ，使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）。

性质４（保不等式性）设数列
{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有
n n a b ≤，则lim lim n n
n n a b →∞→∞≤。

思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n
n n a b →∞→∞<？
保不等式性的一个应用：
例1 设0(1,2,3,)n a n ≥=，证明：若lim n n a a →∞=
，则n =思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？ 性质５（迫敛性） 设收敛数列
{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，
当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.
注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的
工具。

下面是其应用一例：
例2
求数列
的极限。

性质６（极限的四则运算法则） 若
{}
n a 、
{}
n b 为收敛数列，则
{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都收敛，且有
lim()lim lim n n n n
n n n a b a b a b →∞
→∞
→∞
±=±=±;
lim()lim lim n n n n
n n n a b a b a b →∞
→∞
→∞
⋅=⋅=⋅.
若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞
≠，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也收敛，且有
lim lim lim n
n n n n
n n a a a b b b →∞→∞→∞
==.
特别地，若n b c
=，则lim()lim n n n n a c a c →∞→∞+=+，lim lim n n
n n ca c a →∞→∞
=. 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。

下举几例；
例3 求
11101110lim
m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++，其中,0,0m k m k a b ≤≠≠. 例4 求lim 1n n n a a →∞+，其中1a ≠-.
例5
求n .
例6 求222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫
+++
⎪+⎝⎭.
二 数列的子列
１． 引言
极限是个有效的分析工具。

但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效。

这能说明什么呢？难道
{}n a 没有一点规律吗？当然不是！
出现这种情况原因是我们
是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。

那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。

２． 子列的定义
定义１ 设
{}n a 为数列，{}
k n 为正整数集
N +的无限子集，且
123k n n n n <<<
<<，则数列
12,,
,,
k n n n a a a
称为数列
{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .
注1 由定义可见，
{}n a 的子列{}k
n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的
先后次序。

简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就
是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列）。

注2 子列{}k
n a 中的k n 表示k
n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k
n a 是{}k
n a 中的第k 项，即
{}k
n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k
n n
a a =，即{}{}k
n n
a a =.
注3 数列
{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不
是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列。

如{}{}221,k
k a a -都是{}n a 的非平凡子列。

由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。

那么数列
{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理 数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任何非平凡子列都收敛。

由此定理可见，若数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一个极限。

于是，若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n
a 一定发散。

这是判断数列发散的一个很方便的方法。

§3 数列极限存在的条件
教学目的与要求
掌握数列极限存在的单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题
教学重点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则.
教学难点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则的证明及应用. 学时安排: 4学时
教学方法：讲练结合。

教学程序：
极限理论的两个基本问题: 极限的存在性问题, 极限的计算问题．本节将重点讨论极限的存在性问题．
为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断．
首先讨论单调数列，其定义与单调函数相仿．若数列
{}n a 的各项满足关系式
()11++≥≤n n n n a a a a ，
则称{}n a 为递增（递减）数列．递增数列和递减数列统称为单调数列．如⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1为递减数列，
⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n 为{}
2n 递增数列，而()⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-n n
1则不是单调数列. 定理2．9(单调有界定理) 在实数系中，有界的单调数列必有极限． 证 不妨设
{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记
{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得
n a a <-ε．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a <<-ε．
另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时
有
εε+<<-a a a n ，
即a
a n n =∞→lim ．
同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界． 例1 设
,,2,1,1
31211 =++++
=n n a a a a n
其中实数2≥a ．证明数列{}n a 收敛．
证 显然
{}n a 是递增的，下证{}n a 有上界．事实上，
()n n n a n 1132121111312112
22-+
+⋅+⋅+≤++++
≤ ⎪
⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n 111
31212111 2
12<-=n ，1=,2, .
于是由单调有界定理，
{}n a 收敛．
例2 证明数列
,222,22,2个根号
n ++++
收敛，并求其极限． 证 记2
22+++= n a ，易见数列
{}n a 是递增的．现用数学归纳法
来证明
{}n a 有上界．
显然221<=
a ．假设2<n a ，则有22221=+<+=+n n a a ，从而对一切n 有
2<n a ，即{}n a 有上界．
由单调有界定理，数列
{}n a 有极限，记为a ．由于
n n a a +=+22
1，
对上式两边取极限得a a +=22
，即有
()()021=-+a a ，解得1-=a 或2=a ．
由数列极限的保不等式性，1-=a 是不可能的，故有：∞
←n lim
2222=+++ ．
例3 设S 为有界数集．证明：若S a S __
sup ∈=，则存在严格递增数列{}n x S ⊂，使
得a
x n n =∞
↔lim ．
证 因a 是S 的上确界，故对任给的,0>ε存在ε->∈a x S x 使得,．又因S a __
∈，
故a x <，从而有a x a <<-ε． 现取11=ε，则存在S x ∈1，使得
a x a <<-11ε
再取
,2
1min 12>⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=x a ε，则存在S x ∈2，使得
a x a <<-22ε，
且有()1122x x a a a x =--≥->ε．
一般地，按上述步骤得到S x n ∈-1之后，取
⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧-=-1,1min n n x a n
ε，则存在S x n ∈，
使得
a x a n n <<-ε，
且有.11)(--=--≥->n n n n
x x a a a x ε 上述过程无限地进行下去，得到数列}{n x ⊂S ，它是严格递增数列，且满足
.,2,1,1
|| =≤<-⇒+<<<-n n a x a a x a n n n n n εεε
这就证明了a
x n n =∞→lim .
例4 证明n
n n )1
1(lim +∞
→存在. 证先建立一个不等式．设0>>a b ，对任一正整数n 有
)()1(11a b b n a b n
n n -+<-++, 整理后得不等式.
])1[(1nb a n b a n n -+>+. （1）
以n b n a 11,111+=++
=代入(1)式.由于
1)1
1()111)(1()1(=+-++
+=-+n n n n nb a n ,
故有
n
n n n )11()111(1+>++
+.
这就证明了}
)1
1{(n n +为递增数列.
再以n b a 21
1,1+
==代人(1)式，得
=+
-+=-+)211()1()1(n n n nb a n 21.
故有
4
2112121112<⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+>n
n
n n .
上式对一切正整数n 都成立,即对一切偶数n 有4
11<⎪⎭⎫
⎝⎛+n
n .联系到该数列的单调性，可知对一切正整数n 都有411<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n ，即数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n
n 11有上界．于是由单调有界定理推知数列{
n
n )1
1(+}是收敛的. 通常用拉丁字母e 代表该数列的极限，即
e
n n n =+∞→)1
1(lim ,
它是一个无理数(待证)，其前十三位数字是 .
597182818284.2≈e .
以e 为底的对数称为自然对数，通常记
x
x e log ln = 单调有界定理只是数列收敛的充分条件．
定理2．10(柯西(Cauchy)收敛准则) 数列}{n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，
存在正整数N ，使得当N m n >,时有
ε
<-m
n a a ．
这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出．柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数．或者形象地说，
收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起．另外，柯西收敛准则把N -ε定义中n a 与a 的
关系换成了n a 与m a
的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a ，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收)敛(发)散性． 例5 证明：任一无限十进小数 n b b b 21.0=α的n 位不足近似(1=n ,2)所组成
的数列
,101010,,1010,102212211n n b b
b b b b ++++ )2( 满足柯西条件(从而必收敛)，其中k b 为9,,2,1,0 中的一个数，.,2,1 =k
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+=
101b a n .101022
n n b b ++ 不妨设,m n >则有 |m n a a -|=n n m m m m b b b 1010102111+++++++ )1011011(10911--++++≤m n m m m m n m 1101)1011(10
1<<-=- 对任给的,0>ε，取ε1=N ，则对一切N m n >>.有 <
-||m n
a a ε 这就证明了数列(2)满足柯西条件．
Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限、证明极限的存在性. Ⅴ 课外作业:
8３P 3、4、6、7、9、11、12.。