C语言 动态规划ppt课件

子问题的决策中，只对同一城市（结点）比较优劣。 而同一阶段的城市（结点）的优劣要由下一个阶段去 决定。
19 7 A
5
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13 5 B1
8 7
6
7
B2
14
5
C81 3
7
C72 3 5
7
10 整C理3ppt 8
D1
5
E
2
D2
10
2、数塔问题
有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每 一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底 层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。
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10.3 最长有序子序列
I
012 3 4 5 6 7 8
Num[I] 1 4 7 2 5 8 3 6 9
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子问题的构造
• 子问题——“求以ak（k=1, 2, 3…N）为终 点的最长上升子序列的长度”
• 虽然这个子问题和原问题形式上并不完全 一样，但是只要这N 个子问题都解决了， 那么这N 个子问题的解中，最大的那个就 是整个问题的解。
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例如，若X={A，B，C，B，D，B，A}， Y={B，D，C，A，B，A}，则
序列{B，C，A}是X和Y的一个公共子序 列，但它不是X和Y的一个最长公共子序列。
序列{B，C，B，A}也是X和Y的一个公 共子序列，它的长度为4，而且它是X和Y的一 个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4 的公共子序列。
(如3)若X=x{mA≠BynC，B则Dz}k≠Yyn=蕴{B涵D ZC是A XB}和Zy=n-{1B的C最B长} 公共子序 列。
如 X={A B C B } Y={B D C B A} Z={B C B}
由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀 的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结 构性质。
3
5
C1
7
B1
7
D1 5
A
5
78 6
7
B2
C2 3 5 7
E
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5
D2
C3 8
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• 如图从A到E共分为4个阶段，即第一阶段 从A到B，第二阶段从B到C，第三阶段从C到 D，第四阶段从D到E。
• 除起点A和终点E外，其它各点既是上一阶 段的终点又是下一阶段的起点。
例若在如选第从择二AB阶2到的段B决，的策再第，从一BB阶22就段点是中出第，发一A，为阶对起段于点在B，2我点终们就点决有有策一B之个1，下可的供 B结选2果两择，个的它，终既因点是而集第这合一时(C阶走1，段的C路路2线，线的C有3终两)；点个若，选选又择择是，由第一B二是2走阶走至段到C路B21为线， 一的第是始二走点阶到。段B的2。决策，则C2就是第二阶段的终点，同时又 是第三阶段的始点。
第十章 动态规划
• 用递推代替递归 • 用空间换时间
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10.1 什么是动态规划
1、最短路径问题 2、数塔问题
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1 最短距离问题
下图表示城市之间的交通路网，线段 上的数字表示费用，单向通行由A->E。 试用动态规划的最优化原理求出A->E的 最省费用。
AGTGAT- G
- GT - -TAG 这种匹配的函数值是(-3)+5+5+(-3)+(-3)+5 +(-3)+5=8
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穷举法
• 对X的所有子序列，检查它是否也是Y的子序 列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。
• X的所有子序列都检查过后即可求出X和Y的 最长公共子序列。X的每个子序列相应于下 标集{1,2,...,m}的一个子集。因此，共有 2m个不同子序列，故穷举搜索法需要指数时 间。
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25Biblioteka 最长公共子序列• 给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的 子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y 的公共子序列。
• 问题：给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和 Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共 子序列。
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• 而事实上，最长公共子序列问题具有最优子 结构性质
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最长公共子序列的结构
首先引入前缀的概念：
给定一个序列X={x1,x2,…,xm}，对i=1,…,m定义X的第i 个前缀为Xi={x1,x2,…,xi} 例如：X={A ,B, C, B,D,A,B}
则X4={A ,B, C, B}，X0为空序列
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动态规划问题的特征
动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具 有的两个重要性质：
1、最优子结构：当问题的最优解包含了其子 问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。
2、重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问 题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些 子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用 了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解 一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽 可能多地利用这些子问题的解。
• 生物学家们假设类似的基因表示类似的功能。 确定与待研究基因最相近的一个已知基因对 生物试验非常必要。
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• 那么如何确定两个基因序列的相似性呢，这主要是 通过相似性函数来判断的。
• 比如已知两个序列AGTGATG和GTTAG，他们有多 相似？一个判断的方法是在两个序列中分别插入若 干空格使得两序列的长度相等，
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用暴力的方法，可以吗？
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试想一下：
这道题如果用枚举法（暴力思想），在 数塔层数稍大的情况下（如31），则 需要列举出的路径条数将是一个非常庞 大的数目（2^30= 1024^3 > 10^9=10亿）。
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• 生物学家对鉴别人类基因和确定他们的功能 很感兴趣。因为这对诊断人类疾病和开发新 药很有用。
• 一旦一段基因被确定后，接下来的工作便是 确定它的功能，这个工作一般是通过搜索基 因数据库来进行的。数据库中存储了很多基 因序列及其相应的功能，将返回与新基因序 列功能相似的已知序列。
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用动态规划法求解
• 决策过程： •
（1）由目标状态E向前推，可以分成四个阶 段，即四个子问题。
DE CE BE AE
（2）策略：每个阶段到E的最省费用为本阶 段的决策路径。
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（3）D1，D2是第一次输入的结点。他们到 E都只有一种费用：
B2:B2C1 费用 f(B2)= 6+8=14，
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8 7
6
7
B2
14
5
C81 3
7
C72 3 5
7
10 C3 8
D1
5
E
2
D2
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（6）第四次输入结点为A，决策输出结点可能为B1， B2。
同理可得决策路径为A：AB2，费用5+14=19
此时才正式确定每个子问题的结点中，那一个结点将 在最优费用的路径上。
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基本步骤
（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。
（2）递归地定义最优值。
（3）以自底向上的方式计算出最优值。
（4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
其中（1）－（3）步是动态规划算法的基本步骤。 在只需要求出最优值的情形，步骤（4）可以省去。 若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤 （4）。此时，在步骤（3）中计算最优值时，通常 需记录更多的信息，以便在步骤（4）中，根据所记 录的信息，快速构造出一个最优解。
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动态规划的基本步骤
动态规划算法通常用于求解具有某 种最优性质的问题。在这类问题中，可 能会有许多可行解。每一个解都对应于 一个值，我们希望找到具有最优值（最 大值或最小值）的那个解。设计一个动 态规划算法，通常可以按以下几个步骤 进行：
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典型应用
• 计算两个文本的相似程度 • 生物学上的基因比较
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人类基因组计划的研究成果
• 一个细胞核内的23个染色体含31亿个核苷 酸（只有A、G、T、C四种）；
• 基因数在3万-3.5万，每个基因有几千个核 苷酸；
• 人与人之间有99.99%的基因序列是相同 的。
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拒绝暴力，倡导和谐～
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考虑一下：
从顶点出发时到底向左走还是向右走 应取决于是从左走能取到最大值还是从 右走能取到最大值，只要左右两道路径 上的最大值求出来了才能作出决策。
可见，由下层的子问题可以得到上层 的子问题，所以，可从底层开始，层层 递进，最后得到最大值。
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子问题的递归结构
• 由以上三个性质可知，要X={x1,x2,…,xm}和 Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列，可能要检 查如下子问题：
• 若xm=yn时，我们就要找出Xm-1和Yn-1的LCS,将 xm=yn拼接到这个LCS后，就得到 Xm和Yn的 LCS
• 该子问题可以递推求解
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• 假定MaxLen (k)表示以ak 做为“终点” 的最长上升子序列的长度，那么：
• MaxLen (1) = 1
• MaxLen (k) = Max { MaxLen (i)：1<i < k 且 ai < ak 且 k≠1 } + 1
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• 若xm≠yn时，我们需要解决两个子问题： 找出 Xm-1和Yn的 LCS，和 Xm和Yn-1 的LCS，取两
者中较长的作为Xm和Yn的 LCS}
同理递推下去，可看到各个阶段的决策不同，线路就 不同。
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要求在各阶段选取一个恰当的决策
很明显，当某阶段的起点给定时，它直接 影响着后面各阶段的行进路线和整个路线的长 短。
故此问题的要求是：在各个阶段选取一个 恰当的决策，使由这些决策组成的一个决策序 列所决定的一条路线，其总路程最短。如何解 决这个问题呢？
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实例：
I 0 12345 6 7 8
9
Num[I] 1 4 7 2 5 8 3 6 9
2
F[I] 1 2 3 2 3 4 3 4 5 2
所求最大值是F[n]吗？
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10.4 最长公共子序列
•一个给定序列的子序列是在该序列中删去 若干元素后得到的序列。
•给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X 的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和 Y的公共子序列。
计算结果是f(C1)= C1D1+ f(D1)=8 （D1)
同理C2的决策路径计算结果是C2+D2+ E ,
f(C2)=7 。
同理C3的决策路径C计81算结3 果是C3+D2+E，
f(C3)=10。
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C72 3 5
D1 5
E
7
10
2
D2
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C3
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（5）第三次输入结点为B1，B2，而决策输出结 点可能为C1，C2，C3。仿前计算可得Bl，B2的 决策路径为如下情况。 Bl: B1C1 费用 f(B1)=5+8=13，
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最长公共子序列的结构
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子 序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则 (1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公 共子序列。
(2)若如xXm=≠{yAn，B C则Bzk}≠xYm=蕴{B涵DZC是AxBm}-1和Z=Y{B的C最B}长公共子序 列。
结论：自顶向下的分析，自底向上的计算。
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10.2 动态规划的基本思想
如果各个子问题不是独立的，不同的子问 题的个数只是多项式量级，如果我们能够 保存已经解决的子问题的答案，而在需要 的时候再找出已求得的答案，这样就可以 避免大量的重复计算。由此而来的基本思 路是，用一个表记录所有已解决的子问题 的答案，不管该问题以后是否被用到，只 要它被计算过，就将其结果填入表中。
f(D1)=5
f(D2)=2
D1
5
E
D2 2
目前无法定下，哪一个点将在全程最优策略的路 径上。第二阶段计算中，5，2都应分别参加计算
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（4）C1，C2，C3是第二次输入结点，他们到D1， D2各有两种费用。此时应计算C1，C2，C3分别到 E的最少费用。 f(C1) =min{C1D1+ f(D1) ，C1D2+ f(D2)}。