上海市闸北区2021届新高考数学一模试卷含解析

上海市闸北区2021届新高考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()12x f x e -=，
()ln 12
x
g x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）
A ．0
B ．4
C ．132e -
D ．5+ln 6
2
【答案】A 【解析】 【分析】
令()()f m g n t ==，进而求得122ln 2t n m e t --=--，再转化为函数的最值问题即可求解. 【详解】
∵()()f m g n t ==∴12
ln
12
m n
e t -=+=（0t >）
，∴122ln 2t n m e t --=--， 令：()1
22ln 2t h t e
t -=--，()12
2t h t e t
-'=-，()h t '在()0,∞+上增，
且()10h '=，所以()h t 在()0,1上减，在()1,+∞上增，
所以()()min 1220h t h ==-=，所以n m -的最小值为0.故选：A 【点睛】
本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示n 和
m 是本题的关键，属于中档题.
2．函数()sin()(0)4
f x A x π
ωω=+
>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3
π的等差数列，要得到
函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向左平移
12
π
个单位 B ．向右平移
4π
个单位 C ．向左平移4
π
个单位 D ．向右平移
34
π
个单位 【答案】A 【解析】
依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x π
ωω
⎛
⎫=
=
==+ ⎪⎝
⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故应左移π12.
3．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式
0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．5
(,]2
-∞- B ．1(,]2
-∞-
C ．[4,)+∞
D ．(,4]-∞-
【答案】B 【解析】 【分析】
依据线性约束条件画出可行域，目标函数0010x my ++≤恒过()1,0D -，再分别讨论m 的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解 【详解】
作出不等式对应的平面区域，如图所示：
其中()2,6A ，直线10x my ++=过定点()1,0D -，
当0m =时，不等式10x +≤表示直线10x +=及其左边的区域，不满足题意； 当0m >时，直线10x my ++=的斜率1
0m
-
<， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=下方的区域，不满足题意； 当0m <时，直线10x my ++=的斜率1
0m
-
>， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点()00,x y ，
使不等式0010x my ++≤成立，只需直线10x my ++=的斜率1
2AD k m -≤=，解得12
m ≤-. 综上可得实数m 的取值范围为1
(,]2
-∞-， 故选：B. 【点睛】
本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题
4．已知1F 、2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线
交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B
．2)
C
．
D
．
【答案】A 【解析】
双曲线2
2x a
﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，
不妨设过点F 1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=b
a
（x ﹣c ）， 与y=﹣
b a x 联立，可得交点M （2
c ，﹣2bc a
）， ∵点M 在以线段F 1F 1为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF 1|，即有24c +22
2
4b c a ＞c 1， ∴2
2b a
＞3，即b 1＞3a 1， ∴c 1﹣a 1＞3a 1，即c ＞1a ． 则e=
c
a
＞1． ∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）． 故选：A ．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
5．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A ．08
B ．07
C ．02
D ．01
【答案】D 【解析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是
01，选D.
考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 6．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ） A ．21,2n n n ∀>> B ．21,2n n n ∃≤≤ C ．21,2n n n ∀>≤ D ．21,2n n n ∃>≤
【答案】C 【解析】
根据命题的否定，可以写出p ⌝：2
1,2n
n n ∀>≤，所以选C.
7．设1tan 2
α=
，4
cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）
A ．724-
B ．524-
C ．524
D ．724
【答案】D 【解析】 【分析】
利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】
1tan 2
α=
，22tan 4
tan21tan 3ααα==-，
()4
cos cos 5
πββ+=-=-，()(0,βπ∈，
4cos 5β∴=，3sin 5
β=，3
tan 4β=，
()43tan2tan 7
34tan 2431tan2tan 24
134αβαβαβ-
--===++⨯，
故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
8．函数2()1cos 1x
f x x e ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、C ，再判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上函数值与0的大小，即可得出答案. 【详解】
解：因为21()1cos cos 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫
=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
， 所以()()111()cos cos cos 111x x x x x x
e e e
f x x x x f x e e e --⎛⎫----=-===- ⎪+++⎝⎭
， 所以函数()f x 是奇函数，可排除A 、C ； 又当0,2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()0f x <，可排除D ； 故选：B. 【点睛】
本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题. 9．已知复数z 满足
i z
1
1=-，则z =（ ） A ．1122i + B ．
1122i - C ．1122
-+i
D ．1122
i --
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.
由i z
11=-，得
()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以，1122
z i =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.
10．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人
2019年的储畜费用为（ ）
A ．21250元
B ．28000元
C ．29750元
D ．85000元
【答案】A 【解析】 【分析】
根据 2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 得到就医费用8000010%8000⨯=，再根据2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收人15%，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解. 【详解】
因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 所以就医费用8000010%8000⨯=
因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元， 所以2019年的就医费用12750元， 而2019年的就医费用占总收人15%
所以2019年的家庭总收人为127501585000÷%= 而储畜费用占总收人25%
所以储畜费用：850002521250⨯%=
【点睛】
本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.
11．设双曲线22
:1916
x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于
点B ，则AFB △的面积为（ ） A ．
3215
B ．
6415
C ．5
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】
由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴=，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的
坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：4
3
y x =±
，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为43，因此直线FB 方程为：4
(5)3
y x =-，
因此点B 的坐标是方程组：22
4(5)31
916y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：175
3215x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为：
13232
(53)21515
⨯-⨯-=. 故选：A 【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.
12．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，
6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．8π
D ．13π
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC 的外接球的半径，再求出外接球球心到D 的距离，利用勾股定理求
得过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径，则答案可求. 【详解】
如图，设三角形ABC 外接圆的圆心为G ，则外接圆半径AG=2
33233
⨯=,
设三棱锥S-ABC 的外接球的球心为O ，则外接球的半径R=(
)
2
223
24+=
取SA 中点E ，由SA=4，AD=3SD ，得DE=1, 所以OD=
(
)
2
223
113+=.
则过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径为()
2
2413
3-=
所以过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为()
2
33ππ⋅
=
故选：A 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()1
21x e f x f x -<-的解集为__________．
【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】
根据条件构造函数F （x ）()x
f x e
=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】 设F （x ）()x
f x e
=
，
则F′（x ）()()
'x
f x f x e
-=
，
∵()()f x f x '>，
∴F′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增．
∵()()1
21x e
f x f x -<-
∴
()()21
21x
x f x f x e
e
--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）
∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()1
21x e
f x f x -<-的解为()1,+∞
故答案为：()1,+∞ 【点睛】
本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．
14．6
3
2x x ⎛
- ⎪⎝
⎭的二项展开式中，含x 项的系数为__________． 【答案】160- 【解析】 【分析】
写出二项展开式的通项，然后取x 的指数为1
2
求得r 的值，则x 项的系数可求得. 【详解】
()
()563661663212r
r r
r r r r
r T C x
C x x ---+⎛=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝
⎭，
由51
362
r -
=，可得3r =. ∴含x 项的系数为()3
633
612160C --⋅⋅=-.
故答案为：160- 【点睛】
本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题. 15．已知点是直线上的动点，点是抛物线
上的动点.设点为线段
的中点，为原
点，则
的最小值为________.
【答案】
【解析】 【分析】
过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.
【详解】
如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，
，则，，故抛物线的与直线平行的切线为.
点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键. 16．已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A ∪B)＝________. 【答案】{5} 【解析】
易得A ∪B ＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A ∪B)＝{5}．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数2
()sin 2cos 3cos 6f x x x x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
． （1）若||4
x π
<
，求函数()f x 的值域；
（2）设,,A B C 为ABC V 的三个内角，若5
53,cos()22
14A f A C ⎛⎫=+=-
⎪
⎝⎭，求cos C 的值； 【答案】（1）1
53,22⎛⎤- ⎥⎝⎦（2）33cos C =【解析】 【分析】
（1）将2
()sin 2cos cos 6f x x x x x π⎛⎫
=+
++ ⎪⎝
⎭
，利用三角恒等变换转化为：
，()12sin 262π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭f x x ，再根据正弦函数的性质求解，
（2）根据522A f ⎛⎫=
⎪⎝⎭，得sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，又A 为ABC V 的内角，得到3A π=，再根据
cos()A C +=，利用两角和与差的余弦公式求解， 【详解】
（1）11cos 2()2cos 222222
x f x x x x +=
+++， 11
2cos 22sin 2262x x x π⎛
⎫=++
=++ ⎪⎝
⎭，
2||2sin 214
3
6
36x x x π
π
π
ππ⎛
⎫<
∴-
<+
<
<+≤ ⎪⎝
⎭Q ， 15
()22
f x ∴-≤，
即()f x 的值域为1
52
2⎛⎤-
⎥⎝⎦；
（2）由5
22A f ⎛⎫=
⎪⎝⎭，得sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 又A 为ABC V 的内角，所以3
A π
=
，
又因为在ABC V 中，cos()14
A C +=-
， 所以11sin()14
A C +=
，
所以1
cos cos cos())32C A C A C A C π⎛⎫=+-=++= ⎪
⎝
⎭. 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题， 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD 平面PAD ，//AD BC ，1
2
AB BC AP AD ===
，30ADP ∠=o ，90BAD ∠=o ，E 是PD 的中点．
()1证明：PD PB ⊥；
()2设2AD =，点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 10
，求二面角M AB P --的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）7
7
【解析】 【分析】
（1）由平面ABCD ⊥平面PAD 的性质定理得AB ⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥.在PAD ∆中，由勾股定理得PD AP ⊥，PD ∴⊥平面PAB ，即可得PD PB ⊥；
（2）以P 为坐标原点建立空间直角坐标系，由空间向量法和异面直线BM 与CE 10，得点M 的坐标，从而求出二面角M AB P --的余弦值. 【详解】
（1）Q 平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD I 平面PAD =AD ，90BAD o ∠=，所以AB AD ⊥ .由面面垂直的性质定理得AB ⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥，在PAD ∆中，1
2
AP AD =
Q ，30ADP ∠=o ，∴由正弦定理可得：1
sin sin 2
ADP APD ∠=
∠， 90APD ∴∠=o ，即PD AP ⊥，PD ∴⊥平面PAB ，PD PB ∴⊥.
（2）以P 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,1B ，31,122C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 3E ⎫
⎪⎪⎝⎭，设31,,2M a a ⎫⎪⎪⎝⎭ ()01a ≤≤，则31,1,12BM a a ⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u u v ， 10,,12CE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
u u u v ,cos ,BM CE BM CE BM CE ⋅∴=u u u u v u u u v
u u u u v u u u v u u u u
v u u u v 235
102452322
a a a -==
-+⨯
得
2
3 a=
，
321
,,
33
BM
⎛⎫
∴=--
⎪
⎪
⎝⎭
u u u u v
，而()
0,0,1
AB
u u u v
=，设平面ABM的法向量为()
,,
n x y z
=
r
，由
n BM
n AB
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
u u u u v
r
u u u v
r可得：
320
x y z
z
⎧--=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，令2
x=，则()
2,3,0
n=
r
，取平面PAB的法向量()
1,0,0
m=
r
，则
27
cos,
7
7
m n
m n
m n
r r
r r
r r
⋅
===，故二面角M AB P
--的余弦值为
27
.
【点睛】
本题考查了线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用，属于中档题.
19．已知曲线M的参数方程为
1
cos
2
1
sin
2
x
y
α
α
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为
2
2sin2
ρ
θ
=
-
．
（1）写出曲线M的极坐标方程；
（2）点A是曲线N上的一点，试判断点A与曲线M的位置关系．
【答案】（1）
1
2
ρ=（2）点A在曲线M外．
【解析】
【分析】
（1）先消参化曲线M的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；
（2）由点A是曲线N上的一点,利用sin2θ的范围判断ρ的范围,即可判断位置关系.
【详解】
（1）由曲线M的参数方程为
1
cos
2
1
sin
2
x
y
α
α
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
可得曲线M的普通方程为22
1
4
x y
+=,则曲线M的极坐标方程为2
1
4
ρ=,即
1
2
ρ=
（2）由题,点A是曲线N上的一点,
因为[]sin 21,1θ∈-,所以2,23ρ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即12
ρ>
, 所以点A 在曲线M 外. 【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系. 20．已知函数()x
f x e x =-，()()()ln
g x x k x k x =++-．
（1）若1k =，()()f t g t ''=，求实数t 的值．
（2）若,a b R +∈，()()()()00f a g b f g ab +≥++，求正实数k 的取值范围． 【答案】（1）1（2）1k ³ 【解析】 【分析】
（1）求得()f x '和()g x '，由1k =，()()f t g t '='，得()ln 110t e t -+-=，令()()ln 11t t e t ϕ=-+-，
令导数求得函数()t ϕ的单调性，利用()()00t ϕϕ≤=，即可求解．
（2）解法一：令()()()()()00h x f x bx g b f g =-+--，利用导数求得()h x 的单调性，转化为
()()()ln 1h x h b ≥+，令()()()()()ln 1ln 1ln t x x k x k x x k k =++-++-（0x >），利用导数得到()
t x 的单调性，分类讨论，即可求解．
解法二：可利用导数，先证明不等式，10x e x --≥，1ln x x -≥，ln 10x x x --≤，
令()()()()()00h x g x ax f a f g =-+--（0x >），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】
（1）由题意，得()1x
f x e '=-，()()ln
g x x k ='+，
由1k =，()()f t g t '='…①，得()ln 110t
e t -+-=， 令()()ln 11t
t e t ϕ=-+-，则()11
t
t e t ϕ='-
+， 因为()()
2
1
01t
t e t ϕ=+
+'>'，所以()t ϕ'在()1,-+∞单调递增，
又()00ϕ'=，所以当10x -<<时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增； 当0x >时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减；
所以()()00t ϕϕ≤=，当且仅当0t =时等号成立．
故方程①有且仅有唯一解0t =，实数t 的值为1．
（2）解法一：令()()()()()00h x f x bx g b f g =-+--（0x >）， 则()()1x
h x e b ='-+，
所以当()ln 1x b >+时，()0h x '>，()h x 单调递增; 当()0ln 1x b <<+时，()0h x '<，()h x 单调递减;
故()()()
ln 1h x h b ≥+ ()()
()()()()ln 100ln 1f b g b f g b b =++---+
()()()()ln 1ln 1ln b k b k b b k k =++-++-．
令()()()()()ln 1ln 1ln t x x k x k x x k k =++-++-（0x >）， 则()()()ln ln 1t x x k x =+-+'．
（i ）若1k >时，()0t x '>，()t x 在()0,+∞单调递增， 所以()()00t x t >=，满足题意． （ii ）若1k =时，()0t x =，满足题意．
（iii ）若01k <<时，()0t x '<，()t x 在()0,+∞单调递减， 所以()()00t x t <=．不满足题意． 综上述：1k ≥．
解法二：先证明不等式，10x e x --≥，1ln x x -≥，ln 10x x x --≤…（*）． 令()1x
x e x ϕ=--，
则当0x ≥时，()10x
x e ϕ='-≥，()x ϕ单调递增，
当0x ≤时，()10x
x e ϕ='-≤，()x ϕ单调递减，
所以()()00x ϕϕ≥=，即()10x
e x x R --≥∈．
变形得，1x e x ≥+，所以1x >-时，()ln 1x x ≥+， 所以当0x >时，1ln x x -≥. 又由上式得，当0x >时，
11
1ln x x
-≥，1ln x x x -≥-，ln 10x x x --≤. 因此不等式（*）均成立．
令()()()()()00h x g x ax f a f g =-+--（0x >）， 则()()ln h x x k a '=+-，
（i ）若ln a k >时，当a x e k >-时，()0h x '>，()h x 单调递增; 当0a x e k <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减;
故()()
a
h x h e k ≥- ()()
()()()00a
a
g e k a e k f a f g =---+--
()11ln k a k k k =-+--．
（ii ）若0ln a k <≤时，()0h x '≥，()h x 在()0,+∞单调递增， 所以()()()()00h x h f a f >=- 1a e a =--．
因此，①当01k <≤时，此时ln 0k <，ln a k >，()()11ln 0h x k a k k k ≥-+--≥，
则需10,
10,
k k klnk -≥⎧⎨
--≥⎩
由（*）知，ln 10k k k --≤，（当且仅当1k =时等号成立），所以1k =． ②当1k >时，此时ln 0k >，0a >，
则当ln a k >时，()()11ln h x k a k k k ≥-+-- ()1ln 1ln k k k k k >-+-- ln 10k k =-+->（由（*）知）
； 当0ln a k <≤时，()10a
h x e a >-->（由（*）知）．故对于任意0a >，()0h x >．
综上述：1k ≥． 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
21．已知数列{}n a 满足12a =，()
*
122n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S .
（1）通过计算
102a ，21
2a ，3
22
a ，猜想并证明数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n
b 满足11b =，()*12n n n b b n N n +=∈+，()*
n n n t c S b n N n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝
⎭，若数列{}n c 是单调
递减数列，求常数t 的取值范围. 【答案】（1）1
(1)2n n a n -=+⋅，证明见解析；（2）1
,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）首先利用赋值法求出
3
12013
,,222a a a 的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数t 的范围．
【详解】
（1）数列{}n a 满足12a =，122(*)n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S ． 所以21226a a =+=，2322216a a =+=， 则
1022a =，2
32a =，3242
a =， 所以猜想得：1(1)2n n a n -=+g ．
证明：由于122n
n n a a +=+，
所以
11
1
222
n n n n a a ++=+， 则：
11
1
222
n n n n a a ++-=（常数）， 所以数列{}2n n a
是首项为1，公差为12
的等差数列． 所以
111(1)2222
n n a n n =+-=+，整理得1(1)2n n a n -=+g ． （2）数列{}n b 满足11b =，1(*)2
n n n
b b n N n +=
∈+， 所以12
n n b n
b n +=+， 则
121211221143
n n n n b b b n n b b b n n -----⋯=⋯+g g g ， 所以2(1)
n b n n =
+．则22(
)(1)n
n t c n n n n =-+g ， 所以1
12242
2(
)2()2(2)2121
n n n n n c c t t t t n n n n ++-=---=--+++++， 所以42021t n n --<++，整理得24222
221323n t n n n n n n
>-==
++++++， 由于2
36n n ++…，所以21
333n n
++…，即13t >． 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．
22
．已知向量(()2
2sin ,,cos ,2cos 1==-r r a x b x x ， ()f x a b =⋅r r .
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且1,=
=a b (
)f A ABC ∆的面积.
【答案】（1）π；（2）2或
2
【解析】 【分析】
（1）利用平面向量数量积的坐标运算可得()sin()f x x π
=-
223
，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）
由（1）可求sin(2)3
A π
-
=
，结合范围52333
A πππ
--剟，可求A 的值，由余弦定理可求c 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】
（1）()f x a b =⋅r r
22sin cos 1)x x x =-
sin 22x x =2sin(2)3
x π
=-
∴最小正周期22
T π
π=
= .
（2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
， ∴()2sin 23f A A π⎛⎫
=-
= ⎪⎝
⎭
∴sin 232
π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭A ， 又52A 333πππ-≤-≤ ∴2A 3
3
π
π
-=
或22A =
3
3π
π-
. 解得3
A π=或2A π=
当3
A π
=时，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-
即
2
22121cos
3
π
=+-⨯⋅c c ， 解得=2c .
此时11sin 12sin 223π∆==⨯⨯=
ABC S bc A . 当2
A π
=时，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-.
即
2
22121cos
2
c c π
=+-⨯⋅，解得c
此时11sin 1sin 222ABC S bc A π∆==⨯=
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．
23．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量
不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．
（I ）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式；
（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，
b 的值；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望.
【答案】（1）0.5,0200
{0.860,200400140,140
x x y x x x x ≤≤=-<≤->；（2）0.0015a =，0.0020b =；（3）见解析.
【解析】
试题分析: （1）根据题意分段表示出函数解析式;（2）将260y =代入（1）中函数解析式可得400x =，即()4000.80P x ≤=，根据频率分布直方图可分别得到关于,a b 的方程,即可得,a b ;（3）x 取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用y 值,对应得出每组电费的概率,即可得到Y 的概率分布列,然后求出Y 的期望.
试题解析:（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；
当当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-；
当当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为
0.5,0200
{0.860,200400140,140
x x y x x x x ≤≤=-<≤->.
（2）由（1）可知，当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知
0.121000.30.8{1000.050.2
b a +⨯+=+=，∴0.0015a =，0.0020b =
（3）由题意可知X 可取50，150，250，350，450，550， 当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==， 当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，
当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==， 当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，
当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 故Y 的概率分布列为
所以随机变量X 的数学期望
250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。