全等三角形讲义最经典2017.8

全等三⾓形讲义最经典2017.8
全等三⾓形经典讲义
⽂档内容指引:全等三⾓形性质全等三⾓形判定全等三⾓形综合过关
全等三⾓形性质及判定1
⼀、全等三⾓形
1、全等三⾓形的定义
全等三⾓形是能够完全重合的两个三⾓形或形状相同、⼤⼩相等的两个三⾓形．
2、全等三⾓形性质
全等三⾓形相等，相等
如图，∵△ABC≌DFE，(已知)
∴AB= ，AC= ， =FE，(全等三⾓形的对应边相等)
∠ =∠D，∠B=∠，∠ =∠F．(全等三⾓形的对应⾓相等)
(1) 全等⽤符号_________表⽰.读作__________.
(2) 三⾓形ABC全等于三⾓形DEF,⽤式⼦表⽰为______________
(3) 已知△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′∠C=∠C′;
AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.则△ABC_______△A′B′C′.
(4) 若△ABC≌△DEF,∠A的对应⾓是∠D,∠B的对应⾓∠E,则
∠C与____是对应⾓;AB与_____是对应边, BC与_____是对应边,
AC与____是对应边.
（5）判断题:
①全等三⾓形的对应边相等,对应⾓相等.( )
②全等三⾓形的周长相等.( )
③⾯积相等的三⾓形是全等三⾓形.( )
④全等三⾓形的⾯积相等.( )
例1 已知：△ABC≌△DFE，∠A=96°，∠B=25°，DF=10cm．求∠E的度数及AB的长．
例2 如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上⼀点．求∠EBG 的度数和CE的长．
⼆、探索三⾓形全等的条件（⼀）
1、下列三⾓形全等的是
2、三边对应相等的两个三⾓形例全等，简写为或
3、如图，AB=AC ， BD=DC
4、如图，AM=AN ， BM=BN 求证：△ABD ≌△ACD 求证：△AMB ≌△ANB 证明：在△ABD 和△ACD 中证明：在△AMB 和△ANB 中
∴△ABD △ACD （）∴≌（）
5、如图，AD=CB ，AB=CD
6、如图，PA=PB ，PC 是△PAB 的
中线，∠A=55°
求证：∠B=∠D 求：∠B 的度数
提⾼练习：
1、如图，AB=DC ，BF=CE ，AE=DF ，你能找到⼀对全等的三⾓形吗？
说明你的理由。

2、如图，A 、C 、F 、D 在同⼀直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF
你能找到哪两个三⾓形全等？说明你的理由。

3、如图，已知AC=AD ，BC=BD ，CE=DE ，则全等三⾓形共有对，
===)_________(_______)(___________)_______(__公共边已知BN AM ??
===)()_______(_______)(公共边已知已知AD AD AC AB A
B
C
D
A
N
M
B
A B C D 第5题P
A
B
C
第6题
A
D
B F E C
A
P
B C
F E
并说明全等的理由。

课后练习： 1、如图1，AB=AD ，CB=CD ，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD 的度数是( )
A.120°
B.125°
C.127°
D.104°
2、如图2，线段AD 与BC 交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ，?则下⾯的结论中不正确的是( ) A.△ABC ≌△BAD
B.∠CAB=∠DBA
C.OB=OC
D.∠C=∠D
3、在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，则补充条件____________，可得到△ABC ≌△A 1B 1C 1．
4、如图3，AB=CD ，BF=DE ，E 、F 是AC 上两点，且AE=CF ．欲证∠B=∠D ，可先运⽤等式的性质证明AF=________，再⽤“SSS ”证明______≌_______得到结论．
5、如图，AB=AC ，BD=CD ，求证：∠1=∠2．
6、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D ．
7、如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B ；⑵AE ∥CF ．
8、已知如图，A 、E 、F 、C 四点共线，BF=DE ，AB=CD.
⑴请你添加⼀个条件，使△DEC ≌△BFA ；⑵在⑴的基础上，求证：DE ∥BF.
C A
B
D
E
全等三⾓形判定⼆
三、探索三⾓形全等的条件（⼆）
如果两个三⾓形有两边和它们的夹⾓对应相等，那么这两个三⾓形全等，简写成或
1．填空：
(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要⽤边⾓边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具
有两个条件，⼀是AD＝CB(已知)，⼆是( )＝( )；还需要⼀个条件( )＝( )(这个条件可以证得吗？)．
(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要⽤边⾓边公理证明△ABD≌ACE，需要满⾜的三个条件中，已
具有两个条件：( )＝( )，( )＝( )(这个条件可以证得吗？)．
问题：如果把图3中的△ADC沿着CA⽅向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌△CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要⼀个什么条件(AF＝CE或AE＝CF)？怎样证明呢？
提⾼练习：
1．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．
2．已知：点A、F、E、C在同⼀条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
3．已知：AB＝AC，BE＝CD．
求证：∠B＝∠C．
D
C B
A
4．已知：如图，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ．
求证：∠B ＝∠C ．
课后练习：
1、如图1，AB ∥CD ，AB=CD ，BE=DF ，则图中有多少对全等三⾓形( )
A.3
B.4
C.5
D.6
2、如图2，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD
3、如图3，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是( ) A.AB ∥CD B.AD ∥BC C.∠A=∠C D.∠ABC=∠CDA
4、如图4，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD=________，?根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从⽽可以得到AD=_________．
5、如图5，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由．∵AD 平分∠BAC ，∴∠________=∠_________(⾓平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中，
∵____________________________，∴△ABD ≌△ACD （） 6、如图6，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证
∠ADE=∠B.
7、如图，已知AB=AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？
8、如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、F 、C ，在同⼀直线上，下⾯有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的⼀个作为结论，写⼀个真命题，并加以证明.
①AB=DE ；②AC=DF ；③∠ABC=∠DEF ；④BE=CF.
9、如图⑴，AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，点C 是BD 上⼀点，且BC=DE ，CD=AB ．
⑴试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由．
⑵如图⑵，若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第⑴问中AC 与BE 的位置关系还成⽴吗？
(注意字母的变化)
四、探索三⾓形全等的条件（三）
两⾓和它们的夹边对应相等的两个三⾓形全等，简写成或两⾓和其中⼀⾓的对边对应相等的两个三⾓形全等，简写成或1、如图，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，你能证明△ABD ≌△ACE 吗？证明：△ABD 和△ACE 中
∠
∠
∠=∠（公共⾓）
＝（已知）
＝（已知）
∴≌（）
2、如图，已知AC 与BD 交于点O ，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，你能说明BO=DO 吗？
3、如图，∠B ＝∠C ，AD 平分∠BAC ，你能证明△ABD ≌△ACD ？若BD ＝3cm ，则CD 有多长？
4、如图，在△ABC 中，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BE ＝CF ，那么BD 与DC 相等吗？你能说明理由吗？
5、如图，已知AB ＝CD ，∠B ＝∠C ，你能说明△ABO ≌△DCO 吗？
提⾼练习：
1、如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DCF 的度数。

A B C D O A B
C D A B
C
D E
A B C D
O A
B C
D E
F
A
B
C
D
E
F
F
E
B
A
C
D
O
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A D
E
C
B
A
F
D
E
C
B
A
4
32
1O
D
C
B
A
A
2、如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，BE 是⾓平分线，ED ⊥AB 于D ，且BD ＝AD ，试确定∠A 的度数。

课后练习：⼀、判断正误
1. 顶⾓和底边对应相等的两个三⾓形全等（）
2. 顶⾓和底边对应相等的两个等腰三⾓形全等（）
3. 有⼀个⾓和⼀边对应相等的两个直⾓三⾓形全等（）
4. 斜边相等的两个等腰直⾓三⾓形全等（）⼆、填空题
1. 如图，AB ∥DE ，CD=BF ，若△ABC ≌EDF ，还需补充的条件是 .
2. 如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，BD 、AC 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，则图中全等的三⾓形有对.
第1题图第2题图第3题图第4题图
3. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AC 于E ，AD 与BE 交于点F ，若BF=AC ，则∠ABC= .
4. 如图，等腰直⾓△ACB 中，∠ACB=90o ，AE ⊥CD 于E ，BD ⊥CD 于D ，AE=6，DB=4，则ED= .
5. 在平⾯直⾓坐标系中有两点A （4，0），B （0，2），如果点C 在坐标平⾯内，当点C 的坐标为时，△BOC 与△AOB 全等.
三、计算与证明
1. 如图，已知△ABC 和△DEF ，BC=EF ，∠B=60o ，∠DFE=120o . 问：△ABC 和△DEF 的⾯积相等吗？为什么？
2. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，△AOB 的周长为10，BC=4，求△DCB 的周长.
3. 如图，BD 是△ABC 的中线，CE ⊥BD 于E ，AF ⊥BD 于F ，交BD 的延长线于F.
A
B
C
D
E
P
E
D
C B
A
E D
O
B
A
（1）求证：BE+BF=2BD.
（2）连结AE 、CF ，求证：AE ∥CF.
4. 如图，已知AB=AC ，BE=CF. 求证：DE=DF.
5. 如图，△ABC 是等边三⾓形，D 为AC 边上的⼀点，延长AB ⾄E ，使BE=CD ，连结DE 交BC 于点P ，求证：DP=EP.
6. 如图，AD ∥BC ，E 是DC 的中点，AE 平分∠DAB. 求证：（1）AB=AD+BC. （2）BE 平分∠ABC.
7. 如图，△AOB 中，∠AOB=90o ，OA=OB ，BD 平分∠ABO 交OA 于D ，AE ⊥BD 于E. 求证：BD=2AE.
全等三⾓形判定三
五、直⾓三⾓形全等的条件
⼀、填空题
1．判定两直⾓三⾓形全等的“HL”这种特殊⽅法指的是_____．
2．直⾓三⾓形全等的判定⽅法有_____ （⽤简写）．
3．如图5－1，E、B、F、C在同⼀条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．
图5－1
4．判断满⾜下列条件的两个直⾓三⾓形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）⼀个锐⾓和这个⾓的对边对应相等；（）
（2）⼀个锐⾓和这个⾓的邻边对应相等；（）
（3）⼀个锐⾓和斜边对应相等；（）
（4）两直⾓边对应相等；（）
（5）⼀条直⾓边和斜边对应相等．（）
⼆、选择题
5．下列说法正确的是（）
A．⼀直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等
B．斜边相等的两个直⾓三⾓形全等
C．斜边相等的两个等腰直⾓三⾓形全等
D．⼀边长相等的两等腰直⾓三⾓形全等
6．如图5－2，AB＝AC，AD⊥BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三⾓形．A．3B．4C．5D．6
三、解答题
7．已知：如图5－3，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．
求证：（1）AB＝DC：
（2）AD∥BC．
图5－3
8．已知：如图5－4，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．
求证：AD＝BC；
图5－4
综合、运⽤、诊断
9．已知：如图5－5，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．
求证：ED⊥AC．图5－5
10．已知：如图5－6，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.
求证：AB∥DC.
图5－2
A
B
C
D
E F
D
B
C
A
E F D
B
A
F
C
图5－6
课后练习：
1.如图，已知AD 为ΔABC 的⾼，E 为AC 上⼀点，BE 交AD 于F,且BF=AC,FD=CD.
求证：BE ⊥AC
2. 已知：BA ⊥BD,FD ⊥BD, AB=CD ,AC=CF 求证： AC ⊥FC.
3. 如图,在△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂⾜分别是E 、F ，AE ＝AF . 求证：∠B=∠C
4.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC . 求证：BE=DF.
5. 已知：BA ⊥DC,FD ⊥DC,∠ACF=90°,AB=CD. 求证：BD+DF=AB
6.如图10，已知AB=AD,AC=AE, ∠ABC=∠ADE=90°，BC 与DE 相交于点F. 求证：CF=EF ．
D
B A
F
C
2
1
F
E
B
D A C。