精品课件：湘教数学必修4第8章8.2第一课时

2×
6＋ 4
2
＝8－4 3.
∴c＝ 8－4 3＝ 6－ 22＝ 6－ 2.
由正弦定理得sincC＝sinaA，
∴sinA＝asicnC＝asinc15°＝2×6－6－4 2
2 ＝12，
∵b＞a，sinA＝12，
∴∠A＝30°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝135°.
【思维总结】 本题在求角A时，利用了正弦定理 ，需要由a，b的大小关系确定角A的大小．在学习 时应引起注意，若用余弦公式来解决，则避免了这 一问题的出现，但往往会带来很大的计算量．
【题后反思】 利用余弦定理解决实际问题，其 关键是在实际问题中画出相关示意图，构造三角 形，创设情景运用余弦定理解题．
变式训练3 据气象台预报，距S岛 300 km的A处有一台风中心形成， 并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动 ，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的 影响．问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现 在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续 时间多久？，由题意， ∠SAB＝90°－30°＝60°， 在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°， 由余弦定理得： SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB ＝3002＋(30t)2－2·300·30tcos60°. 若S岛受到台风影响，则应满足条件|SN|≤270， 即SB2≤2702.
【解】 如图所示， 经过 3 小时后，甲到达点 P， OP＝4×3＝12(km)． 乙到达点 Q， OQ＝4.5×3＝13.5(km)． 依余弦定理，知
PQ＝ OP2＋OQ2－2OP·OQcos∠POQ
＝ 122＋13.52－2×12×13.5cos80°≈16.4(km)． 所以 3 小时后两人相距约 16.4 km.
cosC＝ ____2_a_b____.
3．应用余弦定理可解决两类问题 因为余弦定理的每个表达式中，各含四个元素：三 边一角，所以用余弦定理可以解决以下两类有关三 角形的问题： (1)已知三边，求_三__个__角__． (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个 角.
课堂互动讲练
已知两边及夹角，解三角形
2．余弦定理的变式运用
b2＋c2－a2＝ _2_b_c_c_o_sA__，
a2＋c2－b2＝ _2_a_c_c_o_sB__，
a2＋b2－c2＝ _2_a_b_c_o_s_C_；
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
cosA＝ ____2_b_c____，cosB＝ ____2_a_c____，
a2＋b2－c2
8．2 余弦定理 第一课时 余弦定理
第
学习目标
一
课 时
课前自主学案
余
课堂互动讲练
弦
定
理
知能优化训练
学习目标 1．掌握余弦定理的内容及证明方法． 2．能初步应用余弦定理解斜三角形．
课前自主学案
1．余弦定理 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的 _平__方__和__减__去__这两边与它们_夹__角__的__余__弦__的__积__的__两__倍__. 即在△ABC中，有： a2＝_b_2_＋__c_2_－__2_b_cc_o_s_A__，b2＝_a_2_＋__c_2－__2_a_c_c_o_s_B_， c2＝_a_2_＋__b_2_－__2_a_b_c_o_sC__. 余弦定理的特例：勾股定理 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则_c_2_＝__a_2_＋__b_2 .
化简整理得，t2－10t＋19≤0， 解之得，5－ 6≤t≤5＋ 6， 所以从现在起，经过(5－ 6)小时 S 岛开始受到影响， (5＋ 6)小时后影响结束． 持续时间：(5＋ 6)－(5－ 6)＝2 6(小时)．
解：cosA＝b2＋2cb2c－a2＝120×2＋1602×－672＝0.725， ∴∠A≈44°.cosC＝a2＋2ba2b－c2≈0.8071，∴∠C≈36°. ∴∠B＝180°－(A＋C)＝180°－(44°＋36°)＝100°.
余弦定理的实际应用
例3 有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是 O.甲乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发， 速度分别是4 km/h，4.5 km/h.3小时后两人相距多 远(结果精确到0.1 km)? 【思路点拨】 先根据题目给出的条件画出图形， 然后根据题目条件，结合图形解答，注意构造三 角形应用余弦定理．
例1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，∠C＝15°， 求角 A，B 和边 c 的值． 【思路点拨】 首先利用余弦定理求出边c，然后 用正弦定理，结合边角关系以及三角形内角和定理 求得另外两角．
【解】
cos15°＝cos(45°－30°)＝
6＋ 4
2 .
由余弦定理知：
c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2×2×2
∴sinC＝acsinA＝57× 23＝5143.
法二：(∠A 的求法同法一)cosC＝a2＋2ba2b－c2 ＝722＋×372×－352＝1114，∴∠C 为锐角． sinC＝ 1－cos2C＝ 1－11142＝5143.
【名师点评】 在解三角形时，有时既可用余弦定 理，也可用正弦定理．
变式训练2 在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6 ，求三角．(精确到1°)
3 2 ＝134
3，
sinC＝csianA＝154 3.∴sinB·sinC＝14956.
(2)由(1)可得 sinB＋sinC＝47 3.
已知三边，解三角形
例2 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最 大角和sinC. 【思路点拨】 在三角形中，大边对大角，所以a 边所对角最大．
【解】 ∵a>c>b，∴∠A 为最大角． 法一：由余弦定理有 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－12， ∴∠A＝120°，又∵sinA＝ 23，
变式训练1 在△ABC中，∠A＝120°，b＝3，c＝ 5，求： (1)sinBsinC； (2)sinB＋sinC.
解：(1)∵b＝3，c＝5，∠A＝120°， ∴由余弦定理，得：
a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋25－2×3×5×(－12)＝49.
∴a＝7.由正弦定理，得
sinB＝bsianA＝3×7