圆锥曲线的垂直与定点问题

圆锥曲线的垂直与定点问题（1）
1.22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，右焦点到直线1x y
a b +=的距离
7
d =
，O 为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与椭圆交于,A B 两点，以AB 为直径的圆过原点O ，求O 到直线l 的距离。

并求弦
长AB 的最小值。

2．已知椭圆E ：22
22x y a b
+＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过原点和x 轴不重
合的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，且|AF |＋|BF |＝|AB |的最小值为2.(1)求椭圆E 的方程；
(2)若圆x 2＋y 2＝2
3
的切线L 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当P ，Q 两点横坐标不相等时，OP (O 为坐标原点)与OQ 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
3．已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 和直线L:b y
a x -=1, 椭圆的离心率
3
6
=
e ，坐标原点到直线L 的距离为23。

（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E （﹣1，0），若直线y ＝kx ＋2（k≠0）与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存在实数k ，使得以CD 为直径的圆过定点E ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
4．已知椭圆C 的两个焦点分别为
12F F 和，且点(A B 在椭圆
C
上，又
1(F .
（1）求焦点F 2的轨迹Γ的方程；（2）若直线(0)
y kx b k =+>与曲线Γ交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆经过原点，求实数b 的取
值范围.
5．已知点
D 在双曲线22
221(0,0)x y C a b a b
-=>>：上，且双曲线的一条
渐近线的方程是03=+y x ．(1)求双曲线C 的方程；(2)若过点)1,0(且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同交点，求实数k 的取值范围； (3)设(2)中直线l 与双曲线C 交于B A 、两个不同点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．
6．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1
2
，右焦点到右顶点的距离为1.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，
是否存在实数m ，使OA OB OA OB +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
圆锥曲线的垂直与定点问题（2）
7．如图，椭圆E ：22
22x y a b
+＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，
离心率e ＝12
.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.
(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
8．已知椭圆C 的离心率2
e =
，长轴的左右端点分别为1(A ，
2A ．
（1）求椭圆C 的方程（2）设动直线:l y kx b =+与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使以PQ 为直径圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在说明理由.
9．已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，且直线2b y x =+是抛物线
24y x =的一条切线.（1）求椭圆的方程；（2）点P 00(,)x y 为椭圆上一点，
直线00:19
4
x x y y l +=，判断l 与椭圆的位置关系并给出理由；（3）过椭圆上
一点P 作椭圆的切线交直线x 于点A ，试判断线段AP 为直径的
圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
10．[2014·株洲模拟]已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点A (1
2
，m )，A 点到抛物线焦点的距离为1.
(1)求该抛物线的方程；
(2)设M (x 0，y 0)为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条互相垂直的弦MP ，MQ ，求证：PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)．
11．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．
12．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 右焦点
)0,1(F ，且2
1=
e （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，都不是顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
圆锥曲线的垂直与定点问题（3）
13．椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，两焦点F 1，F 2之间的距离
为2椭圆上第一象限内的点P 满足PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 的右顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m(k≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且满足AM ⊥AN ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
14．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 过点)23
,1(，且离心率21=e .（1）求
椭圆C 的标准方程；
（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），椭圆的右顶点为D ，且满足0DA DB ∙=，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
15．椭圆c ：22221x y a b +=（a>b>0，过其右焦点F 与长
轴垂直的弦长为1，
（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A ，B ，点P 是直线x=1上的动点，直线PA 与椭圆的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆的另一个交点为N ，求证：直线MN 经过一定点.
16．已知椭圆2222x y a b ＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，且过点A(0，1)．
(1)求椭圆的方程；(2)过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于
点M 、N ，求证：直线MN 恒过定点P 30,5⎛⎫
- ⎪
⎝
⎭
17 [2013·陕西高考]已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点． 18. [2013·安徽高考]设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2
＝1的焦点在x 轴上．
(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．。