人教a版数学【选修1-1】作业：模块综合检测(a)(含答案)

模块综合检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0 (x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1
b .给出
下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．以x 24－y 2
12＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.x 216＋y 212＝1
B.x 212＋y 2
16＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 2
16
＝1 4．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )
A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥1
2ax 20－bx 0
B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤1
2ax 20－bx 0
C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥1
2ax 20－bx 0
D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤1
2ax 20－bx 0
5．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1
的中点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．圆
C ．双曲线的一支
D ．线段
6．已知点P 在曲线y ＝4
e x ＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围
是( )
A ．[0，π4)
B ．[π4，π
2)
C ．(π2，3π4]
D ．[3π
4
，π)
7．已知a >0，函数f (x )＝x 3
－ax 在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．不存在
8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
9．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. 6
B. 5
C.62
D.5
2
10．若当x ＝2时，函数f (x )＝ax 3－bx ＋4有极值－4
3，则函数的解析式为( )
A ．f (x )＝3x 3－4x ＋4
B ．f (x )＝1
3x 2＋4
C ．f (x )＝3x 3＋4x ＋4
D ．f (x )＝1
3
x 3－4x ＋4
11．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y
2b
2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，
满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0
12．若函数f (x )＝x 2＋a
x
(a ∈R )，则下列结论正确的是( )
A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数
B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数
C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数
D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范
围是 ________________________________________________________________．
14．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛
物线y 2
＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为
________________________________________________________________________．
15．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、
BM 与坐标轴不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝________.
16．已知f (x )＝x 3＋3x 2
＋a (a 为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－4x ＋x 2－6x ＋8<0
，且綈q 是綈p 的必要条件，
求实数a 的取值范围．
18．(12分)设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π
3
，求△F 1PF 2
的面积．
19.（12分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →
|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．
20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－4
3
ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.
(1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．
21.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；
(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．
22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a
x
－1(a ∈R )．
(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)当a ≤1
2
时，讨论f (x )的单调性．
模块综合检测(A) 答案
1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]
2．B [命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．]
3．D [双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 2
4
＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对
椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2
＝4，因此方程为y 216＋x 24
＝1.]
4．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b
2
2a
，此时函数对应的图象开口向上，
当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20
－bx 0
＝－b 2
2a
，那么对于任意的x ∈R ，
都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12
ax 2
0－bx 0.]
5．A [∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OP |＝1
2
|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，
∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋1
2|MF 2|＝a .
∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆．] 6．D [∵y ＝4
e x ＋1，∴y ′＝－4e x
(e x ＋1)2. 令e x ＋1＝t ，则e x ＝t －1且t >1， ∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4
t .
再令1
t
＝m ，则0<m <1，
∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －1
2)2－1，m ∈(0,1)．
容易求得－1≤y ′<0，
∴－1≤tan α<0，得3
4
π≤α<π.]
7．B [因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以有f ′(x )≥0，x ∈[1，＋∞)，即3x 2－a ≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2.
因为x ∈[1，＋∞)时，3x 2≥3，从而a ≤3.] 8．B [由抛物线的定义， 得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]
9．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，∴－2＝－b
a ×4，∴a ＝2
b ，设
b ＝k ，
则a ＝2k ，c ＝5k ，∴e ＝c a ＝5k 2k ＝5
2.]
10．D [因为f (x )＝ax 3－bx ＋4，
所以f ′(x )＝3ax 2－b .
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
f ′(2)＝12a －b ＝0
f (2)＝8a －2b ＋4＝－43
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝13
b ＝4
，
故所求函数解析式为f (x )＝1
3
x 3－4x ＋4.]
11．D [如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，PF 1→＋PF 2→＝2PO →
，
∴（PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.
即 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ，
∴ |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→||PF 2→
|＝28a 2. ① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.
即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2. ② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2.
在△F 1PF 2中，由余弦定理得
cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1||PF 2|
，
∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，b
a
＝ 2. ∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0.]
12．C [f ′(x )＝2x －a
x 2，故只有当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上才是增函数，因此A 、B
不对，当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，因此C 对，D 不对．]
13．[3,8)
解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，
即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 14.x 24－y 2
12
＝1 解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得b
a ＝3，∴
b ＝3a .
∵抛物线y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，∴c ＝4. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2， ∴a 2＝4，b 2＝12.
∴所求双曲线的方程为x 24－y 2
12
＝1.
15．－b 2a
2
解析 设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)， 则B (－x 1，－y 1)，
则k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 2
1
x 20－x 2
1
＝⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 20＋b 2－⎝⎛⎭⎫－b 2
a 2x 21＋
b 2x 20－x 21
＝－b 2
a 2. 16．57
解析 f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝0， 得x ＝0或x ＝－2. 又∵f (0)＝a ，f (－3)＝a ， f (－2)＝a ＋4，f (3)＝54＋a ， ∴f (x )的最小值为a ，最大值为54＋a . 由题可知a ＝3，∴f (x )的最大值为57.
17．解 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧
1<x <3
2<x <4，
即2<x <3.∴q ：2<x <3.
设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p ，∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，
要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0，
需⎩⎪⎨⎪
⎧
f (2)≤0f (3)≤0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
8－18＋a ≤018－27＋a ≤0.
∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 18．解 如图所示，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，
则S △F 1PF 2＝12mn sin π3
＝34mn . 由椭圆的定义知 |PF 1|＋|PF 2|＝20，
即m ＋n ＝20. ① 又由余弦定理，得
|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π
3
＝|F 1F 2|2，
即m 2＋n 2－mn ＝122. ②
由①2－②，得mn ＝256
3
.
∴S △F 1PF 2＝64
3
3.
19．解 设 P ＝(x ，y )，则 MN →＝(4,0)，MP →
＝(x ＋2，y )， NP →
＝(x －2，y )．
∴ |MN →|＝4，|MP →
|＝(x ＋2)2＋y 2， MN →·NP →＝4(x －2)，
代入 |MN →|·|MP →|＋MN →·NP →
＝0， 得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 即(x ＋2)2＋y 2＝2－x ， 化简整理，得y 2＝－8x .
故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .
20．解 (1)f ′(x )＝2ax －4
3a ，
由已知得⎩
⎨⎧
f ′(1)＝2a －4
3
a ＝1
f (1)＝a －4
3
a ＋
b ＝2
，
解得⎩⎨⎧
a ＝32
b ＝5
2
，
∴f (x )＝32x 2－2x ＋52
.
(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.
21．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1
消去y ，
得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.
依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
3－a 2
≠0，
Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.
(2)设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，则⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝2a
3－a 2
，
x 1x 2
＝－2
3－a 2
.
∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，
即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，
即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2
＋1)·－23－a 2＋a ·2a
3－a 2
＋1＝0，
∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.
22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2
x －1，
x ∈(0，＋∞)，
所以f ′(x )＝x 2＋x －2
x 2，x ∈(0，＋∞)，
因此f ′(2)＝1，
即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，
所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0. (2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a
x
－1，
所以f ′(x )＝1
x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．
令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 所以当x ∈(0,1)时，g (x )>0， 此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0， 此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，
即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1
a
－1.
a ．当a ＝1
2时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，
此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．
b ．当0<a <12时，1
a －1>1，
x ∈(0,1)时，g (x )>0，
此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； x ∈⎝⎛⎭
⎫1，1
a －1时，g (x )<0， 此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； x ∈⎝⎛⎭⎫1
a －1，＋∞时，g (x )>0， 此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．
c ．当a <0时，由于1
a
－1<0.
x ∈(0,1)时，g (x )>0，
此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，
此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 综上所述：
当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增；
当a ＝1
2
时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；
当0<a <1
2时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a －1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞上单调递减．
第一章 章末总结
知识点一 四种命题间的关系
命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．
例1 判断下列命题的真假．
(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题； (2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题； (3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．
知识点二 充要条件及其应用
充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：
(1)定义法
(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．
(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．
(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．
例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2
＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？
例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0. q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.
且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
知识点三 逻辑联结词的应用
对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假． 利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一． 例4 判断下列命题的真假．
(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0； (2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.
例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭⎫ax 2－x ＋1
16a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．
知识点四 全称命题与特称命题
全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．
全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．
全称命题的否定是特称命题，应含存在量词． 特称命题的否定是全称命题，应含全称量词． 例6 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)3＝2； (2)5>4；
(3)对任意实数x ，x >0；
(4)有些质数是奇数．
例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.
(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．
章末总结
重点解读
例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．
(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，
∴0≤|x －2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真．
否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.
例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52
<3. 故否命题为假．
(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．
逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．
否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．
例2 解 若a ＝－1，b ＝12
，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，
则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .
于是0<－a <2,0<b <1，
即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .
所以，p 是q 的必要不充分条件．
例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．
B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}
＝{x |x <－4或x ≥－2}．
∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，
∴q 是p 的必要不充分条件．
∴A
B ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0
， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭
⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；
(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，
∴命题为假．
例5 解 p ：由ax 2－x ＋116
a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧
a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由
2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12
， ∴t <1＋a ·t 2－12
， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．
∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1
，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．
若p 真q 假，a >2且a <1不存在．
若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.
故a 的取值范围为1≤a ≤2.
例6 解 (1)3≠2，真命题；
(2)5≤4，假命题；
(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；
(4)所有质数都不是奇数，假命题．
例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，
即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.
要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，
只需m >－4即可．
故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.
(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .
又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.
所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。