初中数学-三角形角平分线例题

例01．已知：如图，BD 是ABC 的平分线，BC AB ，P 在BD 上，AD PM ，CD PN .
求证：PN PM .
分析：要证PN PM ，可以证明点P 在ADC 的平分线上. 证明：因为BD 是ABC 的平分线， 所以CBD ABD . 在ABD 和CBD 中，
)()()(已知已证公共边CB AB CBD ABD BD BD 所以)(SAS CBD ABD ，
所以CDB ADB （全等三角形的对应角相等） 因为CD PN AD PM ,，
所以PN PM （角平分线上的点到角的两边距离相等）
说明 本题也可以在证明了CBD ABD 后再证明DPN DPM . 但利用角平分线的性质定理来证明更简洁.
今后证明一定要注意灵活运用所学知识.
例02．已知：如图，P A 、PC 分别是ABC 外角MAC 和NCA 的角平分线，它们交于P .
求证：PB 为MBN 的角平分线.
分析：要证BP 为MBN 的角平分线，只须证点P 到BM 、BN 距离相等，而P A 、PC 为外角平分线，故可过P 作AC PE ，BM PD ，BN PF .
证明：过点P 作AC PE ，BM PD ，BN PF 于F . 因为P A 、PC 分别是MAC 和NCA 的平分线，且BM PD ，BN PF ，
∴PE PD ，PF PE （角平分线上的点到角两边距离相等）.
∴PF PD .
又∵BN PF BM PD ,，
∴点P 在MBN 的角平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上） ∴BP 为MBN 的角平分线. 说明 当有角平分线这个条件时，常常经过角平分线上的点向角的两边作垂线，利用“角平分线上的点到角两边距离相等”来证题. 同样，要证明某射线是角平分线时，只要经过射线上一点向角的两边作垂线，再证垂线段相等.
本题不能只想到应用三角形全等来解决总是，防止形成思维误区.
例03．如图，已知：AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD 和ACD 的高. 求证：AF AE .
分析：因为AD 为ABC 的角平分线，DE 、DF 是点D 到AB 、AC 边上的距离，∴有DF DE . 再利用直角三角形全等可证明AF AE .
证明：AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD 和ACD 的高. ∴ DF DE （角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等） 在ADE Rt 和ADF Rt 中，
)()
(已证公共边DF DE AD AD ∴ )(HL ADF Rt ADE Rt
∴ AF AE （全等三角形的对应边相等）
说明：本题也可以用AAS 来证明三角形全等，但直接使用角平分线的性质更简单.
例04．已知：如图，在ABC 中， 90C ，BC AC ，AD 是A 的平分线. 求证：AB CD AC .
分析：证明AB CD AC . 可用延长的方法或截取的方法，我们用截取的方法证明本
题. 在AB 上取一点E ，使AE AC ，则易证ADE ACD ，由此 得到DE CD ， 90DEB ，又由 45B ，得CD BE DE . 可证明本命题，那么利用角平分线的性质，作辅助线的时候，也可作AB DE 于E ，可直接得到DE CD .
证明：过D 点作AB DE 垂足为E . 则 ∵AD 为角平分线，
∴DE CD （角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等） 在ACD Rt 和AED Rt 中，
)
()
(已证公共边DE CD AD AD )(HL AED Rt ACD Rt ，
∴ AE AC （全等三角形的对应边相等） ∵ CB AC （已知）， 90C （已知） ∴ 45CAB B
在DEB Rt 中， 90DEB ， 45B ， ∴ 45B EDB . ∴CD BE DE ∵BE AE AB ， ∴CD AC AB .
例05．已知：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ，AB DE 于E ，AC DF 于F .
求证：EF AD .
分析：欲证：EF AD ，就要证
902
1
EOF AOE AOB 所以考虑证AFO AEO
由题中条件可知AEO 、AFO 已有一边（公共边）一角对应相等，只要证AF AE 即可，所以先证明AFD AED
证明：∵AD 是BAC 的平分线. AB DE ，AC DF ∴ DF DE （角平分线上的点到这个两边距离相等） 在AED Rt 和AFD Rt 中
)
()
(公共边已证AD AD DF DE ∴)(HL AFD Rt AED Rt
∴AF AE （全等三角形的对应边相等） 在AEO 和AFO 中
)()()(公共边已知已证AO AO FAO EAO AF AE ∴)(SAS AFO AEO
∴ AOF AOE （全等三角形对应角相等） ∴
902
1
EOF AOE ∴ EF AD （垂直定义）
例06．已知：如图，在ABC 中，BE 、CF 分别平分ABC 、ACB ，且交于点O ， 求证：点O 在A 的平分线上.
分析：要证点O 在A 的平分线上，只需证明点O 到A 的两边的距离相等，即证OG OH .
证明：过点O 分别作三边的垂线OD 、OG 、OH ，
∵AB OH DC OD ,，BO 平分ABC （已知）
∴OD OH （角平分线上的点到这个角两边的距离相等） 同理OG OD ， ∴OG OH
∴点O 在A 的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
例07．写出下列命题的逆命题，并判断真假. （1）同位角相等，两直线平行. （2）如果3 x ，那么92
x
（3）如果ABC 是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，三角形的三个外角只有两个钝角.
（4）如果C B A ABC ，那么C B BC ，C A AC ，C B A ABC . 分析：准确理解原命题、逆命题、真命题、假命题等概念，分清题设和结论，是写出逆命题的关键，对于假命题，可以举一个反例，全面地考虑问题.
解答：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是一个真命题.
（2）逆命题是：如果92
x ，那3 x 它是一个假命题
∵9)3(2 ，∴3 x 或3 x
（3）逆命题是：如果ABC 的三个外角中只有两个钝角，那么ABC 是直角三角形. 它是一个假命题，因为ABC 还可能是钝角三角形.
（4）逆命题是：如果ABC 和C B A 中，C B BC ，C A AC ，C B A ABC ，那么C B A ABC ，这是一个假命题，因为有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形.
角的平分线
例1、已知：如图1，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P.
求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等.
分析：这是证明线段相等问题，由已知利用定理不难证明.
证明：（略）
说明：已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，证明它们相等必须标出它们，这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理。

例2、已知：如图2，PB 、PC 分别是△ABC 的外角平分线，相交于点P.
求证：P 在∠A 的平分线上
分析：要证结论成立，需要证明P 到∠A 两边的距离相等，
所以作PE ⊥AB 于E 、PG ⊥AC 于G ， 为证PE ＝PG ，考虑利用已知的两个角平分线，
自然应再作PH ⊥BC 于H ，此时易于发现PE ＝PH ，PH ＝证明：（略）
说明：解题关键是标出距离，运用角平分线性质定理的逆定理求证。

例3、写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题 （1） 全等三角形的对应角相等； （2） 对顶角相等 （3） 如果5 a
那么5 a
（4） 直角三角形的两个锐角互余
分析：写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论。

然后将其“换位”；判断一个命题为真要证明，为假要举反例。

解：它们的逆命题分别是：
（1） 三个角对应相等的两个三角形全等
（2） 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 （3） 如果5 a ，那么5 a
（4） 有两个锐角互为余角的三角形是直角三角形 其中（1）、（2）、（3）为假命题，而（4）为真命题，证明略。

说明：“如果”、“那么”这是标明条件和结论的关键词，若题目没有需转化成这样的句式。

例4、已知：如图3，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，PB ＝PC ，D 是AP 上一点 求证：∠BDP ＝∠CDP
分析：要证结论成立，只需证△BDP 与△CDP 全等，
A B C M
N P 图1
这可由条件不难证得。

证明：
PDC
POB POC PDB PD PD APC APB PC PB POC PDB APC APB PAC APC PAB APB PAC PAB PC PB AC PC AB PB
中和在009090,,
说明：本题的证法说明证明角平分线，不一定都要用其判定定理。

选择题
（1）下列命题中的假命题是（ ）
（A ）等腰直角三角形是直角三角形 （B ）等边三角形是等腰三角形 （C ）等腰三角形是锐角三角形 （D ）等边三角形是锐角三角形 （2）下列说法正确的是（ ）
（A ）每个命题都有逆命题 （B ）每个定理都有逆定理
（C ）真命题的逆命题是真命题 （D ）假命题的逆命题是假命题 （3）命题“若a 是偶数，则a 3是偶数”的逆命题是（ ）
（A ）若a 3是偶数，则a 是偶数 （B ）若a 3是偶数，则a 是奇数 （C ）若a 3是奇数，则a 是偶数 （D ）若a 3是奇数，则a 是奇数 （4）下列命题正确的是（ ）
（A ）三角形的一个外角等于两个内角的和 （B ）三角形的一个外角大于任何一个内角
（C ）有两边和一角对应相等的两个三角报全等 （D ）有两边对应相等的两个直角三角形全等
（5）以下命题的逆命题为真命题的是（ ）
（A ）三个角相等的三角形是等边三角形 （B ）同角的余角相等
（C ）在三角形中，钝角所对的边最长 （D ）对顶角相等
（6）下列定理中，有逆定理的是（ ）
（A ）同旁内角互补，两直线平行 （B ）直角三角形中没有钝角
（C ）互为相反数的数绝对值相等 （D ）若b a ，则2
2
b a
D
A
B C
P 图3
参考答案：
（1）C （2）A （3）A （4）D （5）A （6）A
填空题
（1）原命题成立，它的逆命题_____成立.
（2）一个角的平分线可以看作是________的点的集合. （3）“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”的逆命题是______. （4）“对顶角相等”的逆命题是______，它是_______命题. （5）“有两角和其中一边对应相等的两个三角形全等”的逆命题是________. （6）如图，已知：AN AM ，BN BM ，
①若BM AM ，那么N 在AMB 的_______上.
②若M 在ANB 的角平分线上，那么_______＝_______.
参考答案：
（1）不一定 （2）到角的两边的距离相等的所有 （3）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行 （4）如果两上角相等，那么它们是对顶角；假 （5）两个三角形全等，那么有两角和其中一边对应相等 （6）①角平分线 ②AM ；BM
解答题
1．如图，ABC 是等腰直角三角形， 90A ，BD 是ABC 的平分线，BC DE 于E ，cm BC 10 ，求DEC 的周长.
2．证明题
（1）如图，已知，AD 平分BAC ，AB DB 于B ，AC DC 于C ，E 是AD 上一点，
求证：EC EB .
（2）如图，已知：在ABC 中，外角CBD 和BCE 的平分线BF ，CF 相交于点F . 求证：点F 在DAE 的平分线上.
（3）如图，已知：BD 是ABC 的平分线，BC AB ，点P 在BD 上，
CD PN AD PM ,，垂足分别是M 、N ，
求证：PN PM .
（4）如图，已知：在ABC 中AD 是BAC 的平分线，AB DE 于E ，AC DF 于F .
求证：EF AD .
（5）如图，已知，OM 平分POQ ，E 是OM 上一点，过E 分别作OP ，OQ 的垂线，垂足是C ，D ，且分别交OP ，OQ 于A ，B .
求证：BE AE .
（6）如图，已知：CD BD ，AC BF 于F ，AB CE 于E . 求证：D 在BAC 的平分线上.
参考答案：
1．∵BD 是ABC 的平分线，∴DE AD ∴AB CD AD DC DE .易证EBD Rt ABD Rt ， ∴AB BE ∴周长cm BC EC DC DE 10
2． （1）∵AD 平分BAC ， ∴CD BD ，可证ACD Rt ABD Rt ，∴AC AB ，而CAE BAE ，AE AE ，∴ACE ABE ，∴EC EB
（2）过点F 作AD FG ，BC FH ，AC FI ，垂足为G 、H 、I.易知FH FG ，FI FH ，∴FI FG ，∴F 在DAE 的角平分线上.
（3）可证CBD ABD ，∴CDB ADB ，∴PN PM .
（4）AD 是BAC 的平分线，∴DF DE .∴可证AFD Rt AED Rt ，∴AF AE ，而∴FAG EAG ，AG AG ，∴FAG EAG ，∴AGF AGE ，∴EF AD .
（5）可证，AEC BED ，∴BE AE （6）可证CDF BDE ， ∴DF DE
∴D 在BAC 的平分线上.
3.9 角的平分线
（一）习题精选 1、判断题
（1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； （2） 三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等；
（3） 三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等；
（4） 点E 、F 分别在∠AOB 的两边上，P 点到E 、F 两点距离相等，所以P 点在∠AOB
的平分线上；
（5） 若OC 是∠AOB 的平分线，过OC 上的点P 作OC 的垂线，交OB 于D ，交OA 于
E ，则线段PD 、PE 的长分别是P 点到角两边的距离
2、下面说法正确的是（ ）
A 、每个命题都有逆命题；
B 、每个定理都有逆定理；
C 、真命题的逆命题是真命题；
D 、假命题的逆命题是假命题
3、写出下列定理的逆命题，并判断真假 （1） 同位角相等，两直线平行
（2） 如果3 x ，那么92
x
（3） 如果△ABC 是直角三角形，那么当△ABC 的三个外角中有两个钝角
逆命题是：如果△ABC 的三个外角中只有两个是钝角，那么△ABC 是直角三角形 （4） 全等的两个三角形的面积相等
提示：任何命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理 。

4、在△ABC 中，∠C ＝0
90，BC ＝16cm ，∠A 的平分线AD 交BC 于D ， 且CD ：DB ＝3：5，则D 到AB 的距离等于＿＿＿＿
提示：根据题意画出图形，作出表示D 到AB 距离的线段DE ，则有DE ＝CD 5、已知：如图1，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，2
36cm S ABC
AB ＝18cm,BC ＝12cm,求DE 的长
提示：由题目条件及图形知BCD ABD ABC S S S 于是要求△BCD 中BC 边上的高DF ， 利用角平分线的性质知道DE ＝DF
6、已知：如图2， ∠B ＝∠C ＝0
90，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC 求证：AM 平分∠DAB
提示：要证AM 平分∠DAB ， 只需证点M 在∠DAB 的平分线上
因此可考虑运用角平分线的判定定理。

6、已知：如图3，在△ABC 中，∠B ＝0
60，△ABC 的角平分线AD 、CE 线相交于点O
求证：AE+CD ＝AC
提示：在AC 上截取AF ＝AE
由条件不难证得CF ＝CD 。

7、如图，BC AD //，点E 在线段AB 上，ECB DCE CDE ADE ，， 求证：BC AD CD 。

分析：结论是BC AD CD ，可考虑在AB 上截取
AF=AC ，只要再证BF=BD 即可，这就转化为证明两线
段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

C
B
图1
A D
E
A B
C
D M
图2
D O A B
C
E
图3 C
角平分线
角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.到角两边距离相等的点在角的角平分线上. 三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等. 方法总结：
（1）有角平分线时，常国角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等. （2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例1. 如图，MP⊥NP，MQ 为ΔNMP 的角平分线，MT=MP，连接TQ，
则下列结论中，不正确的是（ ） A. TQ=PQ B. ∠MQT=∠MQP
C.∠QTN=900
D. ∠NQT=∠MQT
例2. 如图，OD 平分∠AOB，在OA，OB 边上取OA=OB，点P 在OD 上，PM⊥BD，PN⊥AD.
求证：PM=PN.
例3. 如图，∠B=∠C=900
,M 点是BC 中点，DM 平分∠ADC.求证：AM 平分∠DAB.
变式题. 如图，AB∥CD, ∠ABC、∠BCD 的平分线恰好交于AD 上一点E，试说明BC＝AB+CD.
例4.如图，CE⊥AB 于E，BD⊥AC 于点D,BD,CE 交于点O，且AO 平分∠BAC.
（1）求证：OB=OC;
(2 )若将条件“AO 平分∠BAC”和结论“OB=OC”互换，命题还能成立吗？请说明理由.
例5. 如图，BD 平分∠ABC，AD=DC，BC>AB,问∠A 与∠C 有怎样的关系？
M N P
Q T B O A D
M
P
N D C A B M A
B
C
E D
O B A C D E
变式题：若上题中条件该为“BD 平分∠ABC，BC>AB, ∠A＋∠C＝1800
.”求证：AD=DC.
例6. 如图，BD 平分∠ABC，ΔPAC 的面积与ΔPBD 面积相等.求证：OP 平分∠AOB.
例7. EG，FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的平分线，交点是G 点，BP，CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的平分线，交点
是P 点，点F,C 在AN 上，点B,E 在AM 上.如果∠G＝470
，那么∠P 的度数大小你能知道吗？试求出来.点A,P,G 的位置关系如何？证明你的结论.
例8. 如图，CE⊥AB,BF⊥AC，BF 交CE 于D，且BD=CD，求证：点D 在∠BAC 的平分线上.
例9.如图，BD＝DC,ED⊥BC 交∠BAC 的平分线于E，作EM⊥AB,EN⊥AC,求证：BM＝CN. 例10.如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，AC=AB+AD.求证：∠B=2∠C
D C
A
B O D B P
C A A B E F C P
G
B E
A D C F
B M E P N
C A
A
B D C
变式题: 如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=2∠C. 求证： AC=AB+AD
例11.如图，D 是等边△ABC 内一点，DB＝DA，BP＝AB， DBP＝ DBC.求证： P＝0
30
例12.如图，在△ABC 中，∠A＝90°，且AB=AC，BE 平分∠ABC 交AC 于F，过C 作BE 的垂线交BE 于E.
求证：BF=2CE
例13. D 是BAC 的平分线与ACB 的外角平分线的交点，DE∥BC，交AB 于E，交AC 于 F.求证：
.CF BE EF
A B D
P C A B D C A E F
D
B
C
A
B C
E
F
三角形的角平分线
例1．如图，已知：AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD 和ACD 的高.
求证：AF AE .
例2．已知：如图，BD 是ABC 的平分线，BC AB ，P 在BD 上，AD PM ，CD PN .
求证：PN PM .
例3．如图，已知：在ABC 中AD 是BAC 的平分线，AB DE 于E ，AC DF 于F .
求证：EF AD .
例4．已知：如图，在ABC 中， 90C ，BC AC ，AD 是A 的平分线.
求证：AB CD AC .
例5、如图，已知DC AB //， 90D A ，点E 在AD 上，BE 平分
，CE 平分。

求证：DC AB BC 。

例6．已知：如图，在ABC 中，BE 、CF 分别平分ABC 、ACB ，且交于点O ，
求证：点O 在A 的平分线上.
针对性练习
1、下列说法正确的有几个（ ）
（1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； （2） 三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等；
（3） 三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等；
（4） 点E 、F 分别在∠AOB 的两边上，P 点到E 、F 两点距离相等，所以P 点在∠AOB 的平分线上； （5） 若OC 是∠AOB 的平分线，过OC 上的点P 作OC 的垂线，交OB 于D ，交OA 于E ，则线段PD 、
PE 的长分别是P 点到角两边的距离
A ．2
B 3
C 4
D 5
2、在△ABC 中，∠C ＝0
90，BC ＝16cm ，∠A 的平分线AD 交BC 于D ， 且CD ：DB ＝3：5，则D 到AB 的距离等于＿＿＿＿
3、已知：如图1，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，236cm
S ABC
AB ＝18cm,BC ＝12cm,求DE 的长
4．如图，已知：CD BD ，AC BF 于F ，AB CE 于E . 求证：D 在BAC 的平分线上.
5、已知：如图2， ∠B ＝∠C ＝0
90，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC
求证：AM 平分∠DAB
6．如图，ABC 是等腰直角三角形， 90A ，BD 是ABC 的平分线，BC DE 于E ，cm BC 10 ，
求DEC 的周长.
C B 图1
A D E
A
B
C
D M
图2
7．如图，已知：在ABC 中，外角CBD 和BCE 的平分线BF ，CF 相交于点F .
求证：点F 在DAE 的平分线上.
8、如图，BC AD //，点E 在线段AB 上， ， 求证：BC AD CD 。

9、已知：如图3，在△ABC 中，∠B ＝0
60，△ABC 的角平分线AD 、CE 线相交于点O
求证：AE+CD ＝AC
10.如图在 △ABC 20°,求∠CED 的度数.
11.在四边形ABCD 中,B C﹥BA,AD＝CD,BD C D O A B
C E 图3。