高中数学必修2知识点与练习题(K12教育文档)

高中数学必修2知识点与练习题(word版可编辑修改)
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高中数学必修2各章知识点总结
第一章空间几何体
一、柱、锥、台、球的结构特征
二、空间几何体的三视图和直观图
1、三视图：正视图---从前往后；侧视图-—-从左往右;俯视图——-从上往下。

2、画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等。

3、直观图:斜二测画法。

4、斜二测画法的步骤:
（1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
（2)平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
(3)画法要写好。

5、用斜二测画法画出长方体的步骤：(1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
二、空间几何体的表面积与体积
1、空间几何体的表面积
（1)、棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和
（2）、圆柱的表面积 S=2πl+πr2
（3)、圆锥的表面积S=2πl+πr2
（4)、圆台的表面积S=πrl+πr2+πRL+πR 2
(5）、球的表面积S=4πR2
2、空间几何体的体积
(1）、柱体的体积：h
V⨯
=
S
底
1
(2）、锥体的体积：h
=
V⨯
S
底
3
(3)、台体的体积：h S S S S V ⨯++=)3
1下下上上（ （4)、球体的体积：33
4R V π= 第二章 直线与平面的位置关系
一、空间点、直线、平面之间的位置关系
1、平面含义：平面是无限延展的
2、平面的画法及表示
(1）、平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450
，且横边画成邻边的2倍长。

（2）、平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3、三个公理:
(1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理1作用:判断直线是否在平面内。

(2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理2作用:确定一个平面的依据。

(3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
二、空间中直线与直线之间的位置关系
1、空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内，没有公共点；
异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点。

共面直
2、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

强调:公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4、注意点：
(1)两条异面直线所成的角θ∈(0，90°）；
（2）当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；（3)两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
（4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
(1）直线在平面内有无数个公共点
（2）直线与平面相交有且只有一个公共点
（3)直线在平面平行没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可表述为a不包含于α来表示。

2、直线、平面及其他平行的判定
（1）、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行。

(2)、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
(3）、判断两平面平行的方法:用定义、判定定理、垂直于同一条直线的两个平面平行。

四、直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行.
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。

五、直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。

直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足.
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意:（1)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
（2)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直"互相转化的数学思想。

六、平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形。

2、二面角的记法：二面角α-l—β或α—AB—β。

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

七、直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2、性质定理: 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第三章直线与方程
一、倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间
所成的角α叫做直线l的倾斜角。

特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、倾斜角α的取值范围: 0°≤α＜180°（当直线l与x轴垂直时，α= 90°）.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α（α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα。

注:⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时，α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式：给定两点P1（x1,y1),P2（x2，y2）,x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:K P1P2=(y2-y1）/（x2-x1)。

二、两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行.
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提，结论并不成立.即“如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2”是真命题;反之“如果L1∥L2，那么一定有k1=k2.”是假命题.
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数；反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直，即如果L1垂直于L2，那么K1K2=—1。

三、直线的点斜式方程
1、直线的点斜式方程:直线L经过点P0（x0，y0)，且斜率为k，那么直线方程为y—y0=k（x—x0）。

2、直线的斜截式方程：已知直线L的斜率为k，且与y轴的交点为（0,b），那么直线方程为
y=kx+b 。

3、直线的两点式方程：已知两点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2）其中（x1≠x2，y1≠y2），那么直线方程为（y-y 1)(x 2—x 1）=(y 2—y 1）（x-x 1)。

（分式形式是怎么写的？)
4、直线的截距式方程：已知直线L 与x 轴的交点为A(a,0）,与y 轴的交点为B(0，b)，其中ab ≠0，那么直线方程为x/a+y/b=1。

5、直线的一般式方程：关于x ，y 的二元一次方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为0）。

四、直线的交点坐标与距离公式
1、联立两直线方程，成为一个方程组，每个解就对应一个点，这些点就是两直线的交点。

2、两点间的距离
12PP =。

3、点到直线的距离：点),(00y x P 到直线L ：Ax+By+C=0的距离为：2200B A C
By Ax d +++=
4、两平行线间的距离:已知两条平行线直线L 1和L 2的一般式方程为L1：Ax+By+C 1=0,L2：Ax+By+C 2=0，则L 1与L 2的距离为222
1B A C C d +-=。

第四章 圆与方程
一、圆的标准方程
1、圆的标准方程：（x-a)2+（y-b ）2=r 2
表示圆心为A （a ，b)，半径为r 的圆。

2、点M （x 0，y 0）与圆（x —a ）2+（y-b)2=r 2的关系的判断方法：
（1）（x —a ）2+（y-b ）2> r 2，点在圆外;
（2)(x —a ）2+(y —b ）2= r 2,点在圆上；
（3)（x-a)2+（y-b ）2〈 r 2,点在圆内。

3、圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0
4、圆的一般方程的特点：
（1)x2和y2的系数相同，不等于0；
（2）没有xy 这样的二次项；
（3)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；
(4）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

二、 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ,圆心)2
,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：(1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；
（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交;
2、圆与圆的位置关系
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
(1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；
（2)当21r r l +=时,圆1C 与圆2C 外切；
(3)当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；
(4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；
(5)当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；
三、直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系的步骤：
（1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；
（2)通过代数运算，解决代数问题；
(3)将代数运算结果“翻译”成几何结论．
四、空间直角坐标系
1、任何一点M 对应着唯一确定的有序实数组（x ，y ，z ),x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标;
2、有序实数组（x ，，z ），对应着空间直角坐标系中的唯一一点；
3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组（x ，y ，z ）来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记M （x ,y ，z )，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。

4、空间中任意一点P 1（x 1,y 1，z 1）到点P 2(x 2，y 2，z 2）之间的距离公式
2
2122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=
第一章 空间几何体 习题
一、选择题
1、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为
（ )
A 、1：2:3
B 、1：3：5
C 、1：2：4
D 、1:3:9
2、在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）
A 、23
B 、76
C 、45
D 、56
3、已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V 1和V 2,则V 1：V 2=（ )
A 、1：3
B 、1：1
C 、2：1
D 、3：1
4、如果两个球的体积之比为8：27,那么两个球的表面积之比为（ ）
A 、8：27
B 、2：3
C 、4:9
D 、2:9
5、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（cm ）,该几何体的表面积及体积为（ ）
A 、224cm π,212cm π
B 、215cm π,212cm π
C 、224cm π，236cm π
D 、以上都不正确
二、填空题
1、若圆锥的表面积是15π,侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是 。

2、一个半球的全面积为Q,一个圆柱与此半球等底等体积，则圆柱的全面积是 .
3、球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 倍。

4、一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米。

5、 已知棱台的上下底面面积分别为4，16,高为3，则该棱台的体积为 。

三、解答题
1、如图在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为√3的圆柱，求圆柱的表面积。

2、如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=,5AB =，22CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积
第二章空间中直线与平面习题
一、选择题
1、a、b是两条异面直线，A是不在a,b上的点，则下列结论成立的是 ( ）
A、过A点有且只有一个平面与 a,b都平行
B、过A点至少有一个平面与a，b都平行
C、过A点有无数个平面与a,b都平行
D、过A点且平行于a,b的平面可能不存在
2、下列说法正确的是（ )
A、两两相交的三条直线共面
B、两条异面直线在同一平面上的射影可以是一条直线
C、一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线和该平面平行
D、不共面的四点中，任何三点不共线
3、直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 ( )
A、两条直线不相交
B、三条直线不相交
C、无数条直线不相交
D、任意一条直线都不相交
4、两条平行线中的一条平行于一个平面，那么另一条与此平面的位置关系是（）
A、平行
B、相交或平行
C、平行或在平面内．
D、相交或平行或在平面内
5、已知直线l∥平面α，直线aα
⊂，则l与a必定（ )
A、平行
B、异面
C、相交
D、无公共点
二、填空题
6、三条直线a、b、c两两异面，它们所成的角都相等且存在一个平面与这三条直线都平行,则a与b所成角的度数为 .
7、空间四边形ABCD中，AC=2cm，BD=4cm，AC与BD成45°角，M、N、P、Q分别是四边中点，则四边形MNPQ的面积是。

三、解答题
8、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E、F是AD1、DB上的点，AE=BF.求证：EF∥平面CD1。

9、P是平行四边形ABCD外一点，Q是PA的中点，求证PC∥平面BDQ。

10、如图，正方形ABCD和正方形ABEF不共面,M、N分别是对角线AC和BF上的点，且AM=FN，求证MN∥平面BCE。

11、如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=√2，AF=1，M是线段EF的中点，求证AM∥平面BDE。

第三章直线与方程习题
一、选择题
1、下列直线中与直线x－2y＋1＝0平行的一条是（ )
A、2x－y＋1＝0
B、2x－4y＋2＝0
C、2x＋4y＋1＝0
D、2x－4y＋1＝0
2、直线ax+2y —4=0与直线x+y —2=0互相垂直，那么a=( ）
A 、1
B 、31-
C 、3
2- D 、-2
3、过点M （－2，a)和N （a,4）的直线的斜率为1,则实数a 的值为（ ）
A 、1
B 、2
C 、1或4
D 、1或2
4、如果AB ＞0，BC ＞0，那么直线Ax ―By ―C ＝0不经过的象限是（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
5、已知等边△ABC 的两个顶点A （0，0），B （4，0），且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是( )
A 、y ＝－3x
B 、y ＝－3(x －4)
C 、y ＝3(x －4）
D 、y ＝3（x ＋4)
6、直线l:mx －m 2
y －1＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l 的倾斜角互为补角的一条直线方程是（ )
A 、x ―y ―1＝0
B 、2x ―y ―3＝0
C 、x ＋y －3＝0
D 、x ＋2y －4＝0
7、以A （1，3），B （-5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）
A 、3x-y-8=0
B 、3x+y+4=0
C 、3x-y+6=0
D 、3x+y+2=0
8、已知两条平行直线l 1 ： 3x ＋4y ＋5＝0,l 2 ： 6x ＋by ＋c ＝0间的距离为3,则b ＋c ＝( ）
A 、－12
B 、48
C 、36
D 、－12或48
9、过点P （1,2）,且与原点距离最大的直线方程是（ )
A 、x ＋2y －5＝0
B 、2x ＋y －4＝0
C 、x ＋3y －7＝0
D 、3x ＋y －5＝0
10、a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ）
高中数学必修2知识点与练习题(word 版可编辑修改) A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ，61 － B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛61 － ，21 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛61 ，21 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21 － ，6
1
二、填空题
11、已知直线AB 与直线AC 有相同的斜率，且A(1，0），B （2，a ），C （a ，1)，则实数a 的值是 。

12、已知直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是 。

13、已知点（a ，2）(a ＞0）到直线x －y ＋3＝0的距离为1,则a 的值为 .
14、直线ax ＋y ＋a ＋2＝0恒过一点，则过这点和原点的直线方程是 。

15、已知实数x,y 满足5x ＋12y ＝60，则22 ＋ y x 的最小值等于 。

三、解答题
16、求斜率为4
3，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程。

17、过点P(1，2）的直线l 被两平行线l 1 : 4x ＋3y ＋1＝0与l 2 ： 4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长｜AB|＝2，求直线l 的方程。

18、已知方程（m2―2m―3)x＋(2m2＋m－1）y＋6－2m＝0（m∈R)。

(1)求该方程表示一条直线的条件;
(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程;
(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值；
(4）若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值。

19、△ABC中，已知C（2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，试求顶点B的坐标.
第四章圆与方程习题
一、选择题
1、若圆C的圆心坐标为（2,－3),且圆C经过点M（5，－7），则圆C的半径为( ）
A、√5
B、5
C、25
D、√10
2、过点A(1，－1),B（－1,1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（）
A、(x－3)2＋（y＋1)2＝4
B、（x＋3)2＋(y－1)2＝4
C、（x－1)2＋(y－1）2＝4
D、（x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3、以点（－3，4)为圆心,且与x轴相切的圆的方程是( ）、
A、（x－3）2＋（y＋4）2＝16
B、(x＋3)2＋（y－4）2＝16
C、（x－3)2＋(y＋4）2＝9
D、(x＋3)2＋（y－4)2＝19
4、若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )
A、0或2
B、2
C、√2
D、无解
5、圆(x－1)2＋（y＋2）2＝20在x轴上截得的弦长是（ )
A、8
B、6
C、6√2
D、4√3
6、两个圆C1:x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2:x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为( ）
A、内切
B、相交
C、外切
D、相离
7、圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A,B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）
A、x＋y－1＝0
B、2x－y＋1＝0
C、x－2y＋1＝0
D、x－y＋1＝0
8、圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有( )
A、4条
B、3条
C、2条
D、1条
9、在空间直角坐标系中,已知点M(a，b，c)，有下列叙述:
点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b,c）;
点M关于yoz平面对称的点的坐标是M2(a,－b，－c)；
点M关于y轴对称的点的坐标是M3（a，－b，c）；
点M关于原点对称的点的坐标是M4（－a，－b,－c）、
其中正确的叙述的个数是（ )
A、3
B、2
C、1
D、0
10、空间直角坐标系中，点A(－3，4，0）与点B（2，－1，6）的距离是( )
A、2√43
B、2√21
C、9
D、√86
二、填空题
11、圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为。

12、圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0）的圆的方程为。

13、以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是。

14、两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切,试确定常数a的值 .
15、圆心为C(3，－5），并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为。

16、设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1),则直线AB的方程是 .
三、解答题
17、求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程。

18、求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程（ab≠0）。

19、求经过A（4，2),B（－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.
20、求经过点(8，3），并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程。