2021版高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练 七 指 数 函 数 Word版含解析

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课时分层提升练七
指数函数
……………………30分钟60分
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2020·柳州模拟)已知a=(ln 2,b=(ln 3,c=log20.7,则a,b,c 的大小关系是( )
A.a<b<c
B.c<a<b
C.b<a<c
D.c<b<a
【解析】选B.c=log20.7<log21=0,0<(ln 2=a<1<(ln 3=b,故c<a<b.
2.已知集合A={x|2x≥1},B={x|x2-2x<0},则A∪B= ( )
A.{x|x≥0}
B.{x|0≤x<2}
C.{x|x>2}
D.{x|0<x<2}
【解析】选A.集合A={x|2x≥1}={x|x≥0},B={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},则A∪B={x|x≥0}∪{x|0<x<2}={x|x≥0}.
3.下列各式比较大小正确的是 ( )
A.1.72.5>1.73
B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2
D.1.70.3<0.93.1
【解析】选 B.A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<3,所以
1.7
2.5<1.73,故A错误.B中,因为y=0.6x在R上是减函数,-1<2,所以
0.6-1>0.62,故B正确.C中,因为0.8-1=1.25,所以问题转化为比较
1.250.1与1.250.2的大小.因为y=1.25x在R上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2,故C错误.D中,因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1,故D错误.
4.(2019·亳州模拟)已知函数f(x)=5x,若f(a+b)=3,则f(a)·f(b)=
( )
A.3
B.4
C.5
D.25
【解析】选A.f(x)=5x,f(a+b)=5a+b=3,f(a)·f(b)=5a·5b=5a+b=3.
5.已知0<a<b<1<c,则( )
A.a b>a a
B.c a>c b
C.log a c>log b c
D.log b c>log b a
【解析】选C.已知0<a<b<1<c.由于y=a x为减函数,故a b<a a.由于y=c x 为增函数,故c a<c b.由于y=lo g b x为减函数,故lo g b c<lo g b a.
6.(2020·桂林模拟)已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则8x·的取值范围是
( ) A.[2,28] B.
C.[2,27]
D.
【解析】选C.令3x-y=s(x+y)+t(x-y)=(s+t)x+(s-t)y,
则,所以,又-1≤x+y≤1①,
所以1≤x-y≤3,所以2≤2(x-y)≤6②,
所以①+②得1≤3x-y≤7.
则8x·=23x-y∈[2,27].
7.函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当a变动时,函数b=g(a)的图象可以是( )
【解析】选B.作出y=2|x|的图象,如图,
结合选项知a≤0,因为当a变动时,函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],所以-4≤a≤0,所以2|b|=16.即b=4,故-4≤a≤0,且b=4.
二、填空题(每小题5分,共10分)
8.已知2a=5b=10,则=________.
【解析】由2a=5b=10可得a=,b=,
所以+=2(lg 2+lg 5)=2,所以=2.
答案:2
9.(2020·大理模拟)函数f(x)=a x-1-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx-ny-4=0上,其中m>0,n>0,则+的最小值为________.
【解析】因为函数f(x)=a x-1-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,所以点A 坐标为(1,-1),
因为点A在直线mx-ny-4=0上,
所以m+n=4,因为m>0,n>0,所以+=×=×
≥×(1+2+1)=1,当且仅当==1,即m=n=2时取等号,所以+的最小值为1.
答案:1
三、解答题
10.(15分)若函数f(x)=是R上的减函数,求实数a的取值范围.
【解析】依题意,a应满足
解得<a≤.
……………………20分钟40分
1.(5分)(2019·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.[-2,+∞)
D.(-∞,-2]
【解析】选B.由f(1)=,得a2=,
解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.
2.(5分)(2020·绵阳模拟)已知函数f(x)=,若f(f(0))=2,则实数a的值是________.
【解析】因为f(0)=20+2=3,
所以f[f(0)]=f(3)=lo g a2,因为f[f(0)]=2,
所以lo g a2=2,因为a>0,所以实数a=.
答案:
3.(5分)已知函数f(x)=设a>b≥0,若f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是________.
【解析】由图可知,≤b<1,≤f(a)<2,且b,f(a)的值依次增大,均为正值,所以≤bf(a)<2.
答案:≤bf(a)<2
4.(5分)若函数f(x)=在(1,3)上是减函数,则关于x的不等式a x>1的解集为________.
【解析】因为f(x)=在(1,3)上是减函数,且t=x2-2x+1在(1,3)上是增函数,所以函数y=a x在(-∞,+∞)上是减函数,所以0<a<1.
由a x>1得x<0.
答案:{x|x<0}
5.(10分)(2020·资阳模拟)已知函数f(x)=+2为奇函数.
(1)求实数a的值.
(2)求不等式log3f(x)<x+1的解集.
【解析】(1)f(x)=,
f(-x)==,
由题知f(-x)=-f(x),故a-2=2,即a=4.
(2)lo g3<x+1⇔>0①,且<3x+1②,又3x>0,故由①得3x>1,此时<3x+1⇔3·32x-5·3x-2>0⇔(3x-2)(3·3x+1)>0,
故3x>2,所以x>lo g32,即不等式的解集为(lo g32,+∞).
6.(10分)已知函数f(x)=,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).
(1)求h(a).
(2)是否存在实数m,n同时满足下列条件:
①m>n>3;
②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)因为x∈[-1,1],
所以f(x)=∈,设t=∈.
则y=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2.
当a<时,y min=h(a)=φ=-;
当≤a≤3时,y min=h(a)=φ(a)=3-a2;
当a>3时,y min=h(a)=φ(3)=12-6a.
所以h(a)=
(2)假设存在m,n满足题意.
因为m>n>3,h(a)=12-6a在(3,+∞)上是减函数,
又因为h(a)的定义域为[n,m],
值域为[n2,m2],所以
两式相减得6(m-n)=(m-n)(m+n),
即m+n=6,与m>n>3矛盾,所以满足题意的m,n不存在.
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