高中数学 第1部分 第1章 常用逻辑用语 1.2 简单的逻辑联结词(第二课时)含逻辑联结词的命题的真

第二课时含逻辑联结词的命题的真假判断
[对应学生用书P10]
含逻辑联结词的命题的真假判断
[例1] 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点．
q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(3)p：函数y＝cos x是周期函数．q：函数y＝cos x是奇函数．
[思路点拨]先判断命题p、q的真假，再判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．
[精解详析](1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
(2)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
(3)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
[一点通]判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：
(1)确定复合命题的构成形式，是“p∧q”、“p∨q”还是“綈p”形式；
(2)判断其中简单命题p，q的真假；
(3)根据真值表判断含逻辑联结词的命题的真假．
1．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”的形式的命题的真假：
(1)p：a2＋1≥1，q：2＞3；
(2)p：2＋2＝5，q：3＞2；
(3)p：1∈{1,2}，q：{1}⊆{1,2}；
(4)p：∅⊆{0}，q：∅＝{0}．
解：
p q p或q p且q
(1)真假真假
(2) 假 真 真 假 (3) 真 真 真 真 (4)
真
假
真
假
2.分别指出下列命题的构成形式及各命题的真假： (1)全等三角形周长相等或对应角相等； (2)9的算术平方根不是－3；
(3)垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两段弧．
解：(1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：全等三角形周长相等，q ：全等三角形对应角相等，因为p 真q 真，所以p ∨q 为真．
(2)这个命题是綈p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以綈p 为真． (3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真.
含有逻辑联结词的命题的综合应用
[例2] 已知p ：函数y ＝x 2
＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝4x 2
＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值X 围．
[思路点拨]由p 或q 为真，p 且q 为假，可判断p 和q 一真一假，进而求m 的X 围． [精解详析]若函数y ＝x 2
＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－m
2≤－1，解得m ≥2，
即p ：m ≥2；
若函数y ＝4x 2
＋4(m －2)x ＋1恒大于零，
则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3. 因为p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p 、q 一真一假，
当p 真q 假时，由⎩⎪⎨
⎪⎧
m ≥2，
m ≥3或m ≤1，得m ≥3，
当p 假q 真时，由⎩⎪⎨
⎪⎧
m <2，
1<m <3，
得1<m <2.
综上可知，m 的取值X 围是{m |m ≥3或1<m <2}．
[一点通]
1．含有逻辑联结词的命题p ∧q 、p ∨q 的真假可以用真值表来判断，反之根据命题p ∧
q 、p ∨q 的真假也可以判断命题p 、q 的真假．
2．解答这类问题的一般步骤：
(1)先求出构成命题p ∧q 、p ∨q 的命题p 、q 成立时参数需满足的条件； (2)其次根据命题p ∧q 、p ∨q 的真假判定命题p 、q 的真假； (3)根据p 、q 的真假求出参数的取值X 围．
3．命题p ：关于x 的不等式x 2
＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x
是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，某某数a 的取值X 围．
解：由Δ＝4a 2
－16<0，得－2<a <2， 故命题p ：－2<a <2. 由5－2a >1，得a <2， 故命题q ：a <2.
若p 或q 为真，p 且q 为假，则
①p 真，q 假．则由⎩⎪⎨
⎪⎧
－2<a <2，
a ≥2，得a ∈∅.
②p 假，q 真.⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≤－2或a ≥2，
a <2，
∴a <－2.
综上可知，符合条件的a 的取值X 围为(－∞，－2)
4．已知a ＞0，且a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减，q ：曲线y ＝x 2
＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，某某数a 的取值X 围．
解：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．
曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2
－4＞0，即a ＜12或a
＞52
. (1)若p 为真且q 为假，即函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y ＝x 2
＋(2a
－3)x ＋1与x 轴不交于不同的两点，则a ∈(0,1)∩⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，52， 即a ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1. (2)若p 为假且q 为真，即函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的，曲线y
＝x 2
＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，则a ∈(1，＋∞)∩⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞，即a
∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，＋∞.
综上可知，a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，＋∞.
1．含逻辑联结词的综合问题，一般会出现“p 或q ”为真，“p 或q ”为假，“p 且q ”为真，“p 且q ”为假等这些条件，解题时应先将这些条件翻译成p ，q 的真假，p ，q 的真假有时是不确定的，需要讨论，然后当它们为假时，取其补集即可．
2．相关结论：使“p 或q ”为真的参数X 围为使命题p ，q 分别为真的参数X 围的并集，使“p 且q ”为真的参数X 围为使命题p 、q 分别为真的参数X 围的交集．
[对应课时跟踪训练(四)]
1．若p 是真命题，q 是假命题，则下列说法错误的是________． ①p ∧q 是真命题 ②p ∨q 是假命题 ③綈p 是真命题 ④綈q 是真命题
解析：p 是真命题，则綈p 是假命题．q 是假命题，则綈q 是真命题．故p ∧q 是假命题，
p ∨q 是真命题．
答案：①②③
2．已知命题p ：若a >1，则a x
>log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *
)，则下面为真命题的是________．
①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q . 解析：当a ＝1.1，x ＝2时，
a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，
此时，a x
<log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质，
当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，
当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，
所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨((綈q )为真命题．
答案：②
3．已知命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x | x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x
－b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 或q ”“p 且q ”和“非p ”形式的命题中，真命题为________．
解析：命题p 是假命题，因为当a <0或a ＝0时解集与已知不同；命题q 也是假命题，因为不知道a ，b 的大小关系．所以只有非p 是真命题．
答案：非p
4．已知命题p ：所有自然数都是正数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)
①綈p 且q ；②p 或q ；③綈p 且綈q ；④綈p 或綈q .
解析：因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以綈p 且綈q 为真命题，綈p 或綈q 为真命题．
答案：③④
5．(某某高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定X 围”，q 是“乙降落在指定X 围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定X 围”可表示为________．
①(綈p )∨(綈q )；②p ∨(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨q .
解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定X 围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定X 围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p )∨(綈q )．
答案：①
6．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；
(2)p ：不等式x 2
－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)，
q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)．
解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数；
p 且q ：5是有理数且5是整数；
非p ：5不是有理数．
因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．
(2)p 或q ：不等式x 2
－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2
－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；
p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，
＋∞)；
非p ：不等式x 2
－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)． 因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．
7．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2
<0(a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧
|x －1|≤2，x ＋3
x －2≥0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，某某数x 的取值X 围； (2)若q ⇒綈p ，某某数a 的取值X 围． 解：(1)由于a ＝1，
则x 2
－4ax ＋3a 2
<0⇔x 2
－4x ＋3<0⇔1<x <3. 所以p ：1<x <3. 解不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
|x －1|≤2，x ＋3
x －2≥0得2<x ≤3，
所以q ：2<x ≤3.
由于p ∧q 为真，所以p ，q 均是真命题，
解不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
1<x <3，
2<x ≤3得2<x <3，
所以实数x 的取值X 围是(2,3)． (2)綈p ：x 2
－4ax ＋3a 2
≥0，a >0，
x 2－4ax ＋3a 2≥0⇔(x －a )(x －3a )≥0⇔ x ≤a 或x ≥3a ，
所以綈p ：x ≤a 或x ≥3a ， 设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， 由(1)知q ：2<x ≤3，
设B ＝{x |2<x ≤3}． 由于q ⇒綈p ，所以B
A ，
所以3≤a 或3a ≤2，即0<a ≤2
3
或a ≥3，
所以实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23∪[3，＋∞)． 8．命题p ：关于x 的不等式x 2
＋(a －1)x ＋a 2
≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2
－a )x
为增函数，分别求出符合下列条件的实数a 的取值X 围．
(1)p ∨q 为真命题；
(2)“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假． 解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2
－4a 2
＜0， 即a ＞1
3
或a ＜－1.①
命题q 为真时，2a 2
－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12
.②
(1)当p ∨q 为真时，即p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个X 围的并集为
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13；
∴“p ∨q ”为真时，a 的取值X 围是
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13.
(2)当“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p ，q 有且只有一个是真命题时，有两种情况：当p 真q 假时，13＜a ≤1；当p 假q 真时，－1≤a ＜－1
2
.
∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假时，a 的取值X 围是
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
a | 13＜a ≤1或－1≤a ＜－12.。