2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文) 专题14 不等式选讲 含答案解析

专题14 不等式选讲
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）
222111
a b c a b c
++≤++； （2）3
3
3
()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）因为2
2
2
2
2
2
2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有
222111
ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c
++++≥++=
=++．
所以
222111
a b c a b c
++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有
333()()()a b b c c a +++++≥ =3(+)(+)(+)a b b c a c
3≥⨯⨯⨯
=24．
所以3
3
3
()()()24a b b c c a +++++≥．
【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞
【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．
当1x <时，2
()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．
所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．
当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．
【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．
3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．
（1）求222
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；
（2）若222
1
(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）
43
；（2）见详解． 【解析】（1）由于2
[(1)(1)(1)]x y z -++++
222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-
222
3(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，
故由已知得222
4
(1)(1)(1)3
x y z -++++≥， 当且仅当x =
53，y =–13，1
3
z =-时等号成立． 所以222
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43
．
（2）由于2
[(2)(1)()]x y z a -+-+-
222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--
222
3(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，
故由已知2
2
2
2
(2)(2)(1)()3
a x y z a +-+-+-≥，
当且仅当43a x -=
，13a y -=，22
3
a z -=时等号成立． 因此2
2
2
(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2
(2)3a +．
由题设知2(2)1
33
a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．
【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -． 【答案】1
{|1}3
x x x <->或．
【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13
-
；
当0≤x ≤
1
2
时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >
1
2
时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3
x x x <->或．
【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数
()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，．
（1）解不等式()10f x >；
（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4x >或1x <-；（2）40a -≤≤
【解析】（1）不等式等价于3
4610x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨>⎩或36410x x <⎧⎨
->⎩
解得4x >或1x <-．
（2）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()=()f x g x 成立，即()g x 的值域包含()f x 的值域．
46,3
()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪
=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩
，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[2,)+∞．
()442(4)(42)2g x x a x x a x a =-++≥--+=+，当且仅当4x a -与42x +异号时取等号，
所以()g x 的值域为[2,)a ++∞，
由题[2,)+∞⊆[2,)a ++∞，所以22a +≤，解得40a -≤≤．
【名师点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．
6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()2f x ax =-，不等式()4f x ≤的解集为{}|26x x -≤≤． （1）求实数a 的值；
（2）设()()(3)g x f x f x =++，若存在x ∈R ，使()2g x tx -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1(,1][,)2
t ∈-∞-+∞．
【解析】（1）由42ax -≤得－4≤2ax -≤4，即－2≤ax ≤6，
当a >0时，26
x a a -≤≤，所以2
266a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a ＝1；
当a <0时，62
x a a ≤≤-，所以6
226a a
⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解．
所以实数a 的值为1．
（2）由已知()()(3)g x f x f x =++＝|x ＋1|＋|x －2|＝()
()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪
-<<⎨⎪-≥⎩
，
不等式g （x ）－tx ≤2转化成g （x ）≤tx ＋2，
由题意知函数()g x 的图象与直线y ＝tx ＋2相交，作出对应图象，
由图得，当t <0时，t ≤k AM ；当t >0时，t ≥k BM ， 又因为k AM ＝－1，12
BM k =， 所以t ≤－1或12
t ≥
， 即t ∈（－∞，－1]∪[
1
2
，＋∞）． 【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．
7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数()|1|f x x =+． （1）若+2>2f x x （），求实数x 的取值范围；
（2）设=+>1g x f x f ax a （）（）（）（），若g x （）
的最小值为1
2
，求a 的值．
【答案】（1）1
3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，；（2）2a =． 【解析】（1）()22f x x +>，即1>22x x
+-
⇔101>22x x x +≥⎧⎨
+-⎩或10122x x x
+<⎧⎨-->-⎩1
3x ⇔>， ∴实数x 的取值范围是1
3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，．
（2）∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧
⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡
⎤=-∈--⎨⎢⎥
⎣⎦⎪
⎪⎛⎫
++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩
，，，，，，， 易知函数()g x 在1a ⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭，单调递减，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫
=-=- ⎪
⎝⎭
． ∴11
12
a -
=，解得2a =． 【名师点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．
8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数21f x x a g x x =+=-（），（）． （1）若2f x g x +（）（）
的最小值为1，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式1f x g x +<（）（）的解集包含112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）8a =-或4．（2）312⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 【解析】（1）当1b =时，
()()1|||1||1||1|2222
a a a
f x
g x x x x x +=-++≥---=+， 因为
()()1
2
f x
g x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4．
（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，
当112x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3
a
x a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，，所以1a >且
132
a <， 即312a <<
，故实数a 的取值范围是312⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 【名师点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力． 9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；
（2）若()3231g x x m x =-+-，对12x x ∀∈∃∈R R ，，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}|01x x ≤≤；（2）1544
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，．
【解析】（1）不等式等价于132x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩或11222x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤+⎩或12
32
x x x >≤+⎧
⎪⎨⎪⎩
， 解得x φ∈或102x ≤≤
或1
12
x <≤， 所以不等式2f x x ≤+（）的解集为{}|01x x ≤≤．
（2）由311()212132x x f x x x x x ⎧
⎪-≤-⎪
⎪
=-+-<≤⎨⎪
⎪
>⎪⎩，，
，知，当12x =时，min 13()()22f x f ==， 323121g x x m x m ≥---=-（）（）（），
当且仅当(32)(31)0x m x --≤时取等号，
所以3212m -≤
，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，． 【名师点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数()f x x a =-．
（1）当2a =-时，解不等式()1621f x x ≥--；
（2）若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[0,2]，求证：()(2)2f x f x ++≥． 【答案】（1）17
{|3
x x ≤-
或5}x ≥（2）见解析 【解析】（1）当2a =-时，不等式为22116x x ++-≥， 当2x ≤-时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173
x ≤-， 当1
22
x -<≤时，原等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当1
2
x >
时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥； 不等式的解集为17
{|3
x x ≤-或5}x ≥．
（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+， 而()1f x ≤解集是[]
02，，所以10
12a a -=⎧⎨
+=⎩
，
解得1a =，从而()1f x x =-． 于是只需证明()(2)2f x f x ++≥， 即证112x x -++≥，
因为111x x x -++=-1112x x x ++≥-++= 所以112x x -++≥，证毕．
【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题．
11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数()2f x x x a =--+．
（1）当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；
（2）当x y ∈R ，时，2()()2()f y f x f y -+≤≤+，求a 的取值范围． 【答案】（1）3
{|}2
x x >；（2）[]
31--，
【解析】（1）当a =1时，31()121232x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩
，，，， 可得()2f x <-的解集为3{|}2
x x >； （2）当x y ∈R ，时，
[][]ma min 2()()2()()()2()()2x f y f x f y f x f y f x f x -+≤≤+⇔-≤⇔-≤，
因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()
222a a +--+≤． 所以21a +≤，所以31a -≤≤-． 所以a 的取值范围是[–3，–1]．
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用． 12．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数2f x x =-（）．
（1）求不等式1f x x x <++（）的解集；
（2）若函数()2log 32f x f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦（）（）的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1
3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
，．
【解析】（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++， 当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >； 当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以1
23
x <≤； 当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解． 综上可得所求不等式的解集为1
3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，．
（2）要使函数()()2log 32y f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦的定义域为R ， 只需()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可．
又()12212232g x x x a x x a a =++--≥+-+-=-，当且仅当[]
12x ∈-，时取等号． 所以只需320a ->，即32a <
． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
，． 【名师点睛】绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
13．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数()211f x x x =-++．
（1）解不等式()3f x ≥；
（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值． 【答案】（1）{}
11x x x ≤-≥或；（2）
914
． 【解析】（1）由题意，3,11()2,1213,2
x x f x x x x x ⎧
⎪-≤-⎪
⎪
=--<<⎨⎪
⎪≥⎪⎩，
所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧
-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233
x x ⎧≥
⎪⎨⎪≥⎩．
解得1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}
11x x x ≤-≥或； （2）由（1）可知，当12x =时，()f x 取得最小值3
2
， 所以3
2
m =
，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222
()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=，
整理得222
914
a b c ++≥， 当且仅当
123a b c ==时，即369
,,141414
a b c ===时等号成立． 所以222a b c ++的最小值为9
14
．
【名师点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型．
14．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知000a b c >>>，，设函数
f x x b x c a x =-+++∈R （），．
（1）若1a b c ===，求不等式5f x <（）的解集； （2）若函数f x （）
的最小值为1，证明：149
18a b c a b b c c a
++≥+++++（）．
【答案】（1）(2,2)-；（2）详见解析．
【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即|1||1|4x x -++<， 当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-， 当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<， 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<， ∴解集为(2,2)-；
（2）()f x x b x c a =-+++x c x b a ≥+--+（）（）b c a =++， ∵000a b c >>>，，，∴min ()1f x a b c =++=， ∴
149a b b c c a ++=+++1
49a b b c c a ⎛⎫++ ⎪
+++⎝⎭a b c ++（） 11492a b b c c a ⎛⎫
=
++ ⎪
+++⎝⎭
a b b c a c +++++（）
222
12⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
222
⎡⎤++⎣⎦
2
12≥1818a b c ==++（）． 【名师点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难． 15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()2
1f x x x =-+，且a b c ∈R ，，．
（1）若1a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值； （2）若1x a -<，求证：()()()
21f x f a a -<+． 【答案】（1）
7
3
；（2）见解析 【解析】（1）由柯西不等式得，()2
2221433a b c a b c ++≥
++=（当且仅当23
a b c ===时取等号），所以()()()()
()22247
3133
f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=，
即()()()f a f b f c ==的最小值为7
3
；
（2）因为1x a -<， 所以()()(
)()2
2
•11f x f a x a
x a x a x a x a -=---=-+-<+-
()()()()212112121x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+，
故结论成立．
【名师点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题．
16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数()25f x x a x =-+，
其中实数0a >．
（1）当3a =时，求不等式()51f x x ≥+的解集；
（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．
【答案】（1）不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）3a =
【解析】（1）当3a =时，()51f x x ≥+可化为231x -≥，
由此可得1x ≤或2x ≥，
故不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；
（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）
由()0f x ≤，得25x a x -≤-， 此不等式化等价于2
250a x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+≤⎩或()2250
a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+≤⎩， 解得27a x a x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或23a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩
， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3a
x x ≤-， 由题设可得13
a -=-，故3a =． 法二：（从等价转化角度考虑）
由()0f x ≤，得25x a x -≤-，此不等式化等价于525x x a x ≤-≤-，
即为不等式组5225x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩，解得37a x a
x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩
，
因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3
a
x x ≤-，
由题设可得13
a -=-，故3a =． 法三：（从不等式与方程的关系角度突破）
因为{|1}x x ≤-是不等式()0f x ≤的解集，所以1x =-是方程()0f x =的根，
把1x =-代入250x a x -+=得37a a ==-或，因为0a >，所以3a =．
【名师点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小．
17．【广东省揭阳市2019届高三高考二模数学】已知正实数x ，y 满足x +y =1．
（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤
； （2）证明：2211(1)(19x y
--≥）． 【答案】（1）1
[16，）
．（2）见解析． 【解析】（1）∵1x y +=，且0x >，0y >， ∴0152522212x x y x y x x <<⎧⎪++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩
， 0101111212122
2x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩（）， 解得
116x ≤<，所以不等式的解集为1[16
，）． （2）解法1：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222
2222
11()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+---=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x y y x =+
+59≥=． 当且仅当12
x y ==
时，等号成立． 解法2：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴22
22221111(1)(1)x y x y x y
----=⋅ 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xy xy
+++=
21xy =+2219()2
x y ≥+=+，当且仅当12x y ==时，等号成立． 【名师点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题．对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法．而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式．。