5.1 基于状态空间模型的约束预测控制
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1
（20）
从而令 L( , ) 0 可得最优解
opt a
前面讨论中已经知道
（21）
F T W
它们都不依赖于k时刻的信号。可以得出结论只要起作用约束集是固定的， 那么有约束预测控制律是线性时不变的。
i 1
可以把（2）式写成
F uˆ(k / k ) F uˆ(k 1/ k ) F
j 1 j j 2 i
Hu
Hale Waihona Puke HuHuˆ u (k H u 1/ k ) Fj u (k 1) f 0
j 1
Hu
定义 Fi Fj
i j
Hu
和 F [ F1 ,, FHu ] 那么（2）式可写成 （4）
2013-11-25
实际上起作用的约束集在寻优过程中是变化的，所以可以将控制律想象成是由 大量的线性控制器组合而成的。如果确信起作用约束集发生变化足够的少—— 一般来讲，这样的假设是不合理的——就可以利用这种结构来实现有约束控制 器的某些分析。
2013-11-25
谢谢
Make Presentation much more fun
y(k ) x(k ) u(k 1) u(k )
（5）
y (k ) G 0 1
假设全部状态可测，
x(k ) u (k 1) u (k ) G 0 1
令G=[T,g],其中g是G的最后列，上式可以写成
T [x(k ) u(k 1) u(k )] g 0
（1 ） （2 ）
y (k ) G 0 1
（3）
T T T ˆ ˆ 式中， u (k ) [u (k / k ) ,, u (k H u 1/ k ) ]
与 u(k ) 的定义类似。
必须用 u(k ) 来表达所有这些约束。
2013-11-25
假设F有下列形式
F [ F1 , F2 ,, FHu , f ]
其中每个
Hu
Fi
i
维数是q*m,而f是q*1,于是（2）可以改写成
ˆ F u (k i 1 / k )
i 1
f 0
因为
ˆ ˆ u (k i 1/ k ) u (k 1) u (k j / k )
j 0
或
（6）
（7）
T u(k ) T [x(k ) u(k 1)] g
2013-11-25
可以将不等式（3）转换成如下形式
W u(k )
（8）
于是可以将不等式（4）、式（7）、式（8）汇总成单一的不等式
F1u (k 1) f F T u (k ) T [x (k ) (k 1) g W
z z 1
u (k )
装置
y (k )
u (k 1)
z
1
ˆ x(k / k )
观测器 控制器
2013-11-25
假设一个特定的约束集合是起作用的，也就是在命题式（11）、（12）的QP 问题中，假设
a a
（14）
式中 a 是由 的涉及起作用约束的那些行组成的，而 a 是由 的相应 元素组成的。如果在该问题解决之前就已知道这些会起作用约束，因而这些约束 是等式而不是不等式约束，那么可以将优化命题变成
2013-11-25
1 min( T T ) 2
类似于求解无约束问题那样，把QP转换成“平方根”形式表达 的求解算法是比较好的。可以转换成如下形式
S u (k ) (k ) min u ( k ) S u (k )
因为
2
（13）
所以需要求解的QP问题是凸的。这对于必须要求在线应用 并 能跟得上装置的在线运行的算法系统，是一个极好的合乎要求的性质。 约束最优化中可能出现的主要问题是命题可能是不可行的。当QP用于预测控制 时应该设法避免形成一个不可行问题或者提供一个计算控制作用的“备用”方法 是非常重要的。这些方法包括： （1） （3） • 对输出y避免使用 “硬”约束 （2） • 有效地管理在每一时 刻k定义的约束
基于状态空间模型的约束预测控制
姜剑 曹永健 李贺 朱学帅
1.利用二次规 划（QP）求解
2.控制器的结 构
3.求解QP问题
4.约束软化与 管理
1.利用二次规划（QP）求解
讨论具有约束的情形，回顾以下不等式
u ( k ) E 0 1
u ( k ) F 0 1
F u(k ) Fu(k 1) f 1
这样就转换成了一个线性不等式约束
2013-11-25
如果要求一个简单的输入区间约束
ˆ ulow (k i ) u (k i / k ) uhigh (k i )
那么不等式可以取相当简单的形式。 下面还必须对式（3）做一些类似的事情。 可采用式（4-67）来改写式（3）成为
（9）
必须使用其最小化的目标函数的V（k）是与约束情况仍然一样的，从式（4-72 ）可以看到，我们必须解下列有约束的最优化问题 T T min(u (k )Tu (k ) g T u (k )) （10 V (k ) const u(k ) g u(k ) u(k ) ） 具有不等式约束为式（9）。这个问题具有如下一般的形式 （11 ） (12 s.t. ) 这是一个标准的最优化问题，可以利用标准算法 来求解。
2013-11-25
于是
L( , ) T a
（18） （19）
L( , ) a a
或
L( , ) a
T a 0 a
T a 0 a
1 T T min( ) 2 s.t. a a
（15）
该命题用拉格朗日乘子理论用下述等价命题来求解
min L ( , )
,
（16）
式中
1 L( , ) T T (a a ) 2
（17）
2013-11-25
0
• 有效地管理每一时刻 k的预测时域 （4） • 利用非标准的求解算 法
2.控制器的结构
如果全部约束是不起作用的，则预测控制器的解与无约束情况是完全一样的。 但是如果约束变成起作用时那么控制器变成非线性的，下图所示的控制器结 构就是针对这种情况的。
(k )
最优化器
u (k )opt
（20）
从而令 L( , ) 0 可得最优解
opt a
前面讨论中已经知道
（21）
F T W
它们都不依赖于k时刻的信号。可以得出结论只要起作用约束集是固定的， 那么有约束预测控制律是线性时不变的。
i 1
可以把（2）式写成
F uˆ(k / k ) F uˆ(k 1/ k ) F
j 1 j j 2 i
Hu
Hale Waihona Puke HuHuˆ u (k H u 1/ k ) Fj u (k 1) f 0
j 1
Hu
定义 Fi Fj
i j
Hu
和 F [ F1 ,, FHu ] 那么（2）式可写成 （4）
2013-11-25
实际上起作用的约束集在寻优过程中是变化的，所以可以将控制律想象成是由 大量的线性控制器组合而成的。如果确信起作用约束集发生变化足够的少—— 一般来讲，这样的假设是不合理的——就可以利用这种结构来实现有约束控制 器的某些分析。
2013-11-25
谢谢
Make Presentation much more fun
y(k ) x(k ) u(k 1) u(k )
（5）
y (k ) G 0 1
假设全部状态可测，
x(k ) u (k 1) u (k ) G 0 1
令G=[T,g],其中g是G的最后列，上式可以写成
T [x(k ) u(k 1) u(k )] g 0
（1 ） （2 ）
y (k ) G 0 1
（3）
T T T ˆ ˆ 式中， u (k ) [u (k / k ) ,, u (k H u 1/ k ) ]
与 u(k ) 的定义类似。
必须用 u(k ) 来表达所有这些约束。
2013-11-25
假设F有下列形式
F [ F1 , F2 ,, FHu , f ]
其中每个
Hu
Fi
i
维数是q*m,而f是q*1,于是（2）可以改写成
ˆ F u (k i 1 / k )
i 1
f 0
因为
ˆ ˆ u (k i 1/ k ) u (k 1) u (k j / k )
j 0
或
（6）
（7）
T u(k ) T [x(k ) u(k 1)] g
2013-11-25
可以将不等式（3）转换成如下形式
W u(k )
（8）
于是可以将不等式（4）、式（7）、式（8）汇总成单一的不等式
F1u (k 1) f F T u (k ) T [x (k ) (k 1) g W
z z 1
u (k )
装置
y (k )
u (k 1)
z
1
ˆ x(k / k )
观测器 控制器
2013-11-25
假设一个特定的约束集合是起作用的，也就是在命题式（11）、（12）的QP 问题中，假设
a a
（14）
式中 a 是由 的涉及起作用约束的那些行组成的，而 a 是由 的相应 元素组成的。如果在该问题解决之前就已知道这些会起作用约束，因而这些约束 是等式而不是不等式约束，那么可以将优化命题变成
2013-11-25
1 min( T T ) 2
类似于求解无约束问题那样，把QP转换成“平方根”形式表达 的求解算法是比较好的。可以转换成如下形式
S u (k ) (k ) min u ( k ) S u (k )
因为
2
（13）
所以需要求解的QP问题是凸的。这对于必须要求在线应用 并 能跟得上装置的在线运行的算法系统，是一个极好的合乎要求的性质。 约束最优化中可能出现的主要问题是命题可能是不可行的。当QP用于预测控制 时应该设法避免形成一个不可行问题或者提供一个计算控制作用的“备用”方法 是非常重要的。这些方法包括： （1） （3） • 对输出y避免使用 “硬”约束 （2） • 有效地管理在每一时 刻k定义的约束
基于状态空间模型的约束预测控制
姜剑 曹永健 李贺 朱学帅
1.利用二次规 划（QP）求解
2.控制器的结 构
3.求解QP问题
4.约束软化与 管理
1.利用二次规划（QP）求解
讨论具有约束的情形，回顾以下不等式
u ( k ) E 0 1
u ( k ) F 0 1
F u(k ) Fu(k 1) f 1
这样就转换成了一个线性不等式约束
2013-11-25
如果要求一个简单的输入区间约束
ˆ ulow (k i ) u (k i / k ) uhigh (k i )
那么不等式可以取相当简单的形式。 下面还必须对式（3）做一些类似的事情。 可采用式（4-67）来改写式（3）成为
（9）
必须使用其最小化的目标函数的V（k）是与约束情况仍然一样的，从式（4-72 ）可以看到，我们必须解下列有约束的最优化问题 T T min(u (k )Tu (k ) g T u (k )) （10 V (k ) const u(k ) g u(k ) u(k ) ） 具有不等式约束为式（9）。这个问题具有如下一般的形式 （11 ） (12 s.t. ) 这是一个标准的最优化问题，可以利用标准算法 来求解。
2013-11-25
于是
L( , ) T a
（18） （19）
L( , ) a a
或
L( , ) a
T a 0 a
T a 0 a
1 T T min( ) 2 s.t. a a
（15）
该命题用拉格朗日乘子理论用下述等价命题来求解
min L ( , )
,
（16）
式中
1 L( , ) T T (a a ) 2
（17）
2013-11-25
0
• 有效地管理每一时刻 k的预测时域 （4） • 利用非标准的求解算 法
2.控制器的结构
如果全部约束是不起作用的，则预测控制器的解与无约束情况是完全一样的。 但是如果约束变成起作用时那么控制器变成非线性的，下图所示的控制器结 构就是针对这种情况的。
(k )
最优化器
u (k )opt