河北省秦皇岛市卢龙中学2020学年高二数学下学期期末考试试题 理

2020～2020学年度第二学期期末质量检测试卷
高 二 数 学（理科）
注意：本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。

卷Ⅰ
一、选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1、已知集合{}
{
}
2
42,60M x x N x x x =-<<=--<，则M N =I （ ） A {}
43x x -<< B {}42x x -<<- C {}22x x -<< D {}
23x x <<
2、已知命题2
00:1,10p x x ∃>-> ，那么命题p 的否定为（ ） A 201,10x x ∀>-> B 2
01,10x x ∀>-≤ C 2001,10x x ∃>-≤ D 2
001,10x x ∃≤-≤
3、02x <<是不等式13x +<成立的（ ）条件
A 充分不必要
B 必要不充分
C 充要条件
D 既不充分也不必要 4、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ，离心率等于
3
2
，则C 的方程为（ ） A 221
4x -= B 22145x y -= C 22
125x y -= D 2212x = 5、已知变量x 和y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A $0.4 2.3y x =+
B $2 2.4y x =-
C $29.5y x =-+
D $0.3 4.4y x =-+ 6、函数2
1ln 2
y x x =
-的单调递减区间为（ ） A (]1,1- B ()0,+∞ C [)1,+∞ D (]0,1 7、若2
log 13
a >，则a 的取值范围是（ ） A 312a <<
B 01a << 或312a <<
C 213a <<
D 2
03
a <<或1a >
8、等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为公差是2d 的等差数列，若
各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项积为n T ，则 等比数列{n
T n }的公比为（ ） A
2
q B 2
q C q D n q 9、有6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法有（ ）
A 60种
B 70种
C 75种
D 150种
10、设复数z 满足4z i z i -++=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ）
A 22143x y +=
B 22143y x +=
C 22143x y -=
D 22
143
y x -= 11、函数()
232x y x x e =+的图象大致是（ ）
A B C D
12、已知F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点，直线():,0l y kx k =>与椭圆交于A 、
B 两点，若,0,12AF BF FAB π⎛⎤
⊥∠∈ ⎥⎝⎦
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A 60,3⎛ ⎝⎦
B 60,3⎛ ⎝⎭
C 16,23⎛
⎝⎦ D 63⎫⎪⎪⎣⎭
总
分
2020～2020学年度第二学期期末质量检测试卷
高 二 数 学（理科）
一、选择题答题卡
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中横线上。

） 13、曲线3
2
3y x x =-+在点()1,2处的切线方程为__________
14、在2
)n
x
的二项展开式中，二项式系数和为 64，则n 等于__________． 15、抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为_______________ 16、函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x R ∈，()'
2f x >，则()24f x x >+
的解集为________________________________
三、解答题（本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17、(本题满分12分)
在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ
(φ为参数，0≤φ≤π)．以
O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π
3与半圆C
的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
18、（本题满分10分）某校工会对全校教职工收看体育赛事转播的时间作了一次调查，得到
如下频数分布表：
收看时间（单位：小
收看人数14 30 16 28 20 12
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非
列联表：
体育达人”，请根据频数分布表补全22
男女合计体育达人40
非体育达人30
合计
并判断能否有90％的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
(公式及附表如下)
0.15 0.10 0.05 0. 025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，19、(本题满分12分)在四棱锥P ABCD
AB BAD
=∠=o
2,60
（1）求证：BD⊥平面PAC；
=,求PB与AC所成角的余弦值。

（2）若PA AB
20、（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为1
2。

⑴求椭圆C 的方程；
⑵设直线l 经过点()0,1M ，且与椭圆C 交于,A B 两点，若2AM MB =u u u u r u u u r
，求直线l 的方程。

21、（本小题满分12分）某轮胎集团有限公司生产的轮胎的宽度(单位:)服从正态分布,公司规定:轮胎宽度不在内将被退回生产部重新生产.
(1)求此轮胎不被退回的概率(结果精确到)；
(2)现在该公司有一批轮胎需要进行初步质检,检验方案是从这批轮胎中任取件作检验,这件产品中至少有件不被退回生产部,则称这批轮胎初步质检合格.
(¡)求这批轮胎初步质检合格的概率;
(¡¡)若质检部连续质检了批轮胎,记为这批轮胎中初步质检合格的批数,求的数学期望.
附:若,则.
22、(本题满分12分)设函数()()22x
x f x ae a e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 两个零点，求a 的取值范围。

卢龙县中学2020学年度第二学期 高二年级期末质量检测数学理（答案）
一、选择题（每空5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
B
A
B
A
D
C
C
C
B
A
D
二、填空题（每空5分）
13、3x y 1=0-- 14．6 15．
4
3
16．(-1,+∞) 三、解答题 17．（本小题满分12分）
解：(1)半圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2
＝1(0≤y ≤1)，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 5分
(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，
则有⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ1＝2cos θ1，θ1＝π
3，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ1＝1，θ1＝π
3， 7分
设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧
ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝53，
θ2＝π
3，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ2＝5，θ2＝π
3， 9分
由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4. 12分 18、（本小题满分10分） 由题意得下表：
男
女 合计 体育达人 40 20 60 非体育达人 30 30 60 合计
70
50
120
4分 的观测值为
.
所以有
的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.
10分
19 (本小题满分12分)
(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD . 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，
又AC ∩PA ＝A ，∴BD ⊥平面PAC . 5分 (2)设AC ∩BD ＝O .∵∠BAD ＝60°，PA ＝AB ＝2，
BO ＝1，AO ＝CO ＝ 3.
如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则
P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)．
∴设PB →与AC →
的夹角为θ， ∴cos θ＝
PB →·AC
→
|PB →|·|AC →|
＝64.∴PB 与AC 所成角的余弦值为64.
12分
20．（本小题满分12分）
解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)．
因为c ＝1，e ＝c a ＝1
2
，所以a ＝2，b ＝3，
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1. 4分
(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，
则由⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝kx ＋1x 24＋y 23
＝1，得(3＋4k 2)x 2
＋8kx －8＝0，且Δ＞0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →
，得x 1＝－2x 2.
又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2x 1·x 2＝－83＋4k 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2－2x 2
2＝－83＋4k 2
，消去x 2得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k 2. 解得k 2＝14，k ＝±12
. 所以直线l 的方程为y ＝±12
x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 12分
21．（本小题满分12分）
解;(1)，.
，
即此轮胎不被退回的概率为 4分
(2)(i)这批轮胎初步质检合格的概率为
. 8分
(ii)由题可得服从二项分布
， .
12分
22．(本小题满分12分)
解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．
(ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减．
(ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .
当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增． 4分
(2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．
(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a
＋ln a .
①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；
②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a
＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点； ③当a ∈(0,1)时，1－1a
＋ln a <0，即f (－ln a )<0. 又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2
＋2>0，
故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点． 设正整数n 0满足n 0>ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a －1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0. 由于ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a －1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．
12分。