第71课面面垂直备课手册定稿

第71课 面面垂直
一、考纲要求
理解平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能够运用两个定理证明简单的面面垂直问题．
二、基础知识回顾与梳理
回顾
1、二面角的有关概念
(1)二面角：一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作 于棱的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
注：二面角平面角的范围：
2、平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直．
符号表示:
(2)平面与平面垂直的性质
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 的直线垂直于另一个平面．
符号表示:
解析
·两个平面垂直的判定定理和性质定理分别由线面垂直推出面面垂直，以及由面面垂直推出线面垂直，因此在解决有关问题时，经常利用“线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直”这种转化思想．
·两平面垂直时，过第一个平面内任一点作第二个平面的垂线，则该垂线必在第一个平面内．
1、平面α⊥平面β，l αβ=，点P α∈，点Q l ∈，那么PQ l ⊥是PQ β⊥的___________条件． （填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
【教学建议】帮助学生复习面面垂直性质定理和简易逻辑相关知识．教学时，可以要求学生写出面面垂直性质定理的符号语言，强调书写应规范、到位．
2、已知平面α⊥平面β，a αβ=，若a l ⊥，则下列结论正确的是________．
①l 必与,αβ中的一个垂直 ②l 不可能与,αβ中的一个垂直
③l 同时与,αβ垂直 ④l 不可能同时与,αβ垂直
【教学建议】本题是在第一题基础上的加深，主要帮助学生理解面面垂直性质定理中的关键条件，训练学生思维的完备性．教学时，可以结合图形说明上述各选项的对错，并再次强调性质定理书写的规范．
3、对于直线,m n 和平面,,αβαβ⊥的一个充分条件是________．
①,//,//m n m n αβ⊥ ②,,m n m n αβα⊥=⊂
③//,,m n n m βα⊥⊂ ④//,,m n m n αβ⊥⊥
【教学建议】通过填空题的形式帮助学生理解面面垂直判定定理的概念和简易逻辑相关知识．教学时，让学生简述理由，对于正确的选项，可以结合面面垂直判定定理，强调定理的书写规范；对于不正确的选项，可以让学生举出反例，或若由此条件应得到怎样的结论．
4、ABCD 是正方形，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，则平面PAB 、平面PBC 、 平面PDC 、平面PAD 、平面ABCD 这五个平面中，互相垂直的平面有________对．
【教学建议】通过常见图形的研究，复习面面垂直的判定定理．帮助学生加深理解一些常见几何体中面面垂直的结论．
三、诊断练习
1、教学处理：课上由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的解题思路及主要错误．教学时，对题１，题４点评要充分，对于学生不正确的解答要求其举出反例，最好能够画出相应的图形，使教学言而有物．
2、诊断练习点评
题1 、已知直线a 和两个平面α,β,给出下列四个命题：
①若a ∥α,则α内的任何直线都与a 平行；
②若a ⊥α，则α内的任何直线都与a 垂直；
③若α∥β，则β内的任何直线都与α平行；
④若α⊥β，则β内的任何直线都与α垂直.
则其中正确的是________(填序号).
【分析与点评】①错误.平行或异面.
②正确.由线面垂直的定义可知.
③正确.由面面平行的定义可知.
④错误.也可能在α内与α斜交或平行.
【交流】要求学生根据立体几何的公理、定理、性质，列举类似命题，并交流讨论．
题2 、如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面各边相等，M 是PC 上的一点，当点M 满足_______________时，平面MBD ⊥平面PCD 。

【分析与点评】BM ⊥PC 。

根据线面垂直，面面垂直的判定定理可得结果．让学生体会数学图形的对称美。

题3 、设,αβ是空间两个平面，,m n 是平面,αβ外的两条不同的直线，从
①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④m α⊥中选取三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个你认为正确的命题： （用序号表示）．
【分析与点评】①③④⇒②或②③④⇒①。

因为当n β⊥,m α⊥时，平面α及β所成的二面角与直线,m n 所成的角相等或互补，所以若m n ⊥，则αβ⊥，从而由①③④⇒②；同理若αβ⊥，则m n ⊥，从而由②③④⇒①。

本题要求学生能熟练地将符号语言转化为数学语言，进而根据数学语言想象出空间图形，用所学过的知识得出答案。

在研究垂直问题时，要注意应用“转化”的思想，充分利用线线、线面、面面垂直(平行)关系的转化，将一个个空间问题化归到平面内去，使问题获得解决。

题4、对于直线m ，n 和平面α,β，α⊥β的一个充分条件是_______.(填序号)
(1)m ⊥n,m ∥α,n ∥β(2)m ⊥n,α∩β=m,n ⊂α
(3)m ∥n,n ⊥β,m ⊂α(4)m ∥n,m ⊥α,n ⊥β
【分析与点评】直接根据线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理及性质定理加以判断，可得只有(3)正确．复习线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理及性质定理．题给条件中线面元素较多，要求学生根据符号语言绘制出相应的图形，然后进行判断．
【交流】一是直线与平面平行，直线作任意平移（只要不在平面内）都与该平面平行，在经过这条直线与平面平行的平面内作任意旋转也与原平面平行；二是直线与平面垂直，直线作
任意平移仍然与平面垂直，偏转后不能与平面垂直．
四、范例导析
例1、如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ，
分别是棱1BC CC ，上
的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥，为11B C 的中点.
求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ;
(2)直线1//A F 平面ADE .
【教学处理】指导学生结合图形认真审题，看看能得出哪些
垂直的关系，分析条件与结论的关系，建议多提问，让学
生主动发现问题，解决问题，教师延迟引导．
【启发与引导分析】
提问：1、面面垂直的判定定理是什么？
2、在这两个平面中能否找到一条直线与另一个面垂直？
教师引导：
1、若在一个平面较难到一条直线与另一个面垂直，则可以在原
图中先寻找某个平面的其它位置的垂线，然后寻找另一个已知平
面内与该垂线平行的直线；
2、要证平面ADE ⊥平面11BCC B ,只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可.它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD DE ⊥证得.
要证直线1//A F 平面ADE ,只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可.
例2：在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ,
90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ．
(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；
（2）若平面PAB 平面PCD l =，问直线l 能否与平面ABCD 平行？
说明理由．
【教学处理】
第（1）问应让学生自行分析、解决，选择典型错误的学生上黑板板演，纠正并强调解题过程的规范性。

第（2）问要求学生认真分析条件与结论，通过提问引导学生主动发现问题，解决问题。

【启发与引导分析】
方法一：
提问：1、在原有图形中，平面PAB 与平面PCD 的交线l 是否存在？
2、怎样作出平面PAB 与平面PCD 的交线l ？
教师引导：
1、 两点可以确定一条直线，原图中平面PAB 与平面PCD 已有一个公共点P ，
只需再找到另一个公共点，将其与点P 连接，便可得到两平面的交线l 。

2、 在同一平面内找平面PAB 与平面PCD 内的线的交点。

图中PA
PD P =， P B
P C P =，只剩直线AB 与CD 。

故在平面ABCD 中，延长AB 与CD ，
它们的交点即为所求。

方法二：
提问：若不作出平面PAB 与平面PCD 的交线l ，能否有其他方式解决此问题？
教师引导：
1、 本题在没给出平面PAB 与平面PCD 的交线l ，直接证出结论比较困难的情况下，可采用反证法。

提问：反证法的步骤是怎样的？
教师引导：
1、假设直线l 能与平面ABCD 平行，过点P 作一条平行于AB 的直线，则这条直线就是平面PAB 与平面PCD 的交线l ，且直线//l 平面ABCD 。

2、由线面平行的性质定理，我们不难得出//l AB ，同理可得//l CD ，则//AB CD 。

这与原题中的四边形ABCD 是梯形，//AD BC ，这一条件矛盾。

故假设不成立，原结论正确。

【点评】
1、 本题主要考查立体几何中的线面平行、线面垂直等主要知识。

2、 第（2）问中两平面的交线，是公理2的应用。

通过探究空间线面关系，进一步培养学生观察、发现的
能力、空间想象能力和推理论证能力。

例3：如图，面ABEF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC ∥12AD ，BE ∥12AF ，G 、H 分别是FA 、FD 的中点。

(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；
(2)设AB=BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE.
【教学处理】
指导学生审题，标注条件，看看能得出哪些平行与垂直的关系，
让学生先尝试分析思考，教师延迟引导。

【启发与引导分析】
第（1）问由学生处理，可由学生口述证明过程，或让学生板演。

第（2）问，
提问：1、证明面面垂直方法是什么？
2、在这两个平面中，能否在其中一个平面内找一条直线与 另一个面垂直？
教师引导：
1、欲证平面α⊥平面β，可在α内找一直线垂直于β(也可在β内找一直线垂直于α)，若都找不出，可在β内任找一条垂直于β的直线l ，然后在α内找一直线平行于l 即可
2、由AB=BE 知BG 与AE 垂直,又AB,AD,AF 互相称垂直,故BG 与AD 垂直,由(1)知GH 平行与AD,则BG 与GH 垂直,又CH//BG,所以CH 与平面ADE 垂直,由(1)知CH 在平面ADE 内
3、在分析问题时要与前的问题进行联系,恰当地应用 前面的结论有时会化解难题.
【点评】
1、在证明面面垂直的过程中，教师要引导学生，在图中已有的线中寻找“线面垂直”中的线，如找不到，可以先在平面内先找一条线与已知平面垂直，再将其平移到欲证平面内。

2、根据条件仔细观察所给平面的特点，充分利用图形的特殊性(正方形、菱形等)。

几个问题之间的内在联系，要能发掘应用 。

五、解题反思
1、对立体几何中线面垂直（平行）、面面垂直（平行）的判定定理、性质定理的内容要深刻理解，条件、结论要清楚。

熟练地用符号语言叙述定理，能绘制出对应的图形。

2、处理面面垂直本质是由面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直化归下去，将复杂的立体几何问题转化为平面
几何问题，即所谓的“降维”。

3、证明面面垂直的过程就是找垂线的过程。

一般是先从一个平面内现有的直线中寻找另一个平面的垂线，若平面中这样的直线不存在，则可以先在原几何体中找平面的垂线，再证此垂线和另一个平面平行．当然也可以选两面中的一面作它们交线的垂线，选哪个平面，应根据条件决定。

题中等腰、等边三角形、矩形、菱形等都可以和垂直建立联系，应注意挖掘。