2023届高三数学培优试卷含详细答案解析(九)

2023届高三培优试卷（九）
一、单选题
1．设集合{}2A x x =>，{}
2
60B x x x =-->，则R
A
B =（ ）
A ．[)2,-+∞
B ．()2,+∞
C ．(],2-∞-
D ．(],3-∞ 2．在复平面内，复数24i
i
+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知向量(,1)a m =-，(3,4)b =-，且||1a =，则a b ⋅=（ ） A ．-4
B ．1
C ．4
D ．7
4．在12n
x ⎫-⎪⎭的展开式中，第4项和第5项的二项式系数相等，则展开式中5x 的系
数为（ ） A ．
358
B ．358
-
C ．92
D ．92
-
5．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为83
π
，则球的表面积为（ ） A ．16π B ．32π
C ．36π
D ．48π
二、多选题
6．已知双曲线22
2:1(0)4x y C b b -=>，则（ ）
A ．C 的焦点在y 轴上
B ．
C 的虚轴长为2
C ．直线x =C 相交的弦长为1
D ．C 的渐近线方程为2y x =±
三、填空题
7．已知等比数列{}n a 满足16118a a a =，则48a a =________.
8．函数()
2()1e 1x
f x x =+-的零点个数为________.
四、解答题
9．已知公比大于0的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，15a +是2S 和3a 的等差中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n n
n
b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
10．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交椭
圆C 于M ，N 两点(l 与x 轴不重合)，1F MN △，12F F M △的周长分别为12和8. （1）求椭圆C 的方程；
（2）在x 轴上是否存在一点T ，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T 的坐标；若不存在，请说明理由.
2023届高三培优试卷（九）答案
1．【答案】A
【详解】由题意得()(),23,B =-∞-+∞，所以
[]R
2,3B =-，所以[)R
2,A
B =-+∞,故选：A
2．【答案】D
【详解】由复数的运算法则，可得
224(24)42421
i i i i
i i i ++-+===--，对应的点(4,2)-位于第四象限. 故选：D. 3．【答案】C
【详解】因为||1a =，所以0m =，所以03(1)(4)4a b ⋅=⨯+-⨯-=.故选：C 4．【答案】B
【详解】由已知可得34
n n C C =，则7n =，
所以二项式7
12x ⎫⎪⎭
的展开式的通项公式为：772
1771212r r
r r r
r r T C x C x +-+⎛⎪ ⎫-⎪⎛⎝⎫=-= ⎭⎭⎝，
令752r +=解得3r =，所以3
3557413528T C x x ⎛⎫-=-⎪⎝= ⎭，即5x 的系数为358-，故选：B ．
5．【答案】C
【详解】设球的半径为R ，圆锥的底面半径为r ，因为球心到截面的距离为1，所以有：221r R =-，
则题中圆锥体积()2
181133
V R ππ=⨯⨯-=，解得3R =，故球的表面积为2436R ππ=.故选：C
6．【答案】BC
【详解】由22
2:1(0)
x y C b
-=>可知双曲线C 的焦点在x 轴上，A 错误；
C 的离心率e ==
1
b =，C 的虚轴长为22b =，故B 正确； 由B 选项知1b =，把x =2
214
x y -=得12y =±，故弦长为1，C 正确；
由B 选项知1b =且2a =，且焦点在x 轴上，双曲线C 的渐近线方程为1
2
b y x x a =±=±，故D 错误. 故选：BC.
7．【答案】4
【详解】因为3161168a a a a ==，所以3
68a =，解得62a =. 所以24864a a a ==. 故答案为：4 8．【答案】1
【详解】因为()
22()2e 1e (1)0e x x x
f x x x x '++=+≥=，所以()f x 单调递增，又因为(0)0f =，
所以()f x 有且仅有1个零点. 故答案为：1 9．【详解】（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >. 由题意知()12325a S a +=+，
即44
2544q q q
⎛⎫⨯+=++ ⎪⎝⎭，化简得22320q q --=，
因为0q >，所以2q . 所以222422n n n
n a a q --==⨯=.
（2）由（1）可知2
n n n n n b a =
=. 所以1231232222
n n n
T =+++⋅⋅⋅+，①
231112122222
n n n n n
T +-=++⋅⋅⋅++，② 由-①②，可得12311111111111222112222222212
n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭
=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以222n n n T +=-. 10．【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2(0)c c >，由题意可得412
228a
a c =⎧⎨
+=⎩
，
解得31a c =⎧⎨=⎩
，所以b C 的方程为
22
198x y . （2）因为直线l 过点2(1,0)F 且不与x 轴重合，所以设l 的方程为1x my =+，
联立方程22119
8x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()22
8916640m y my ++-=，
设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221221689
6489m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪=-
⎪+⎩
，所以()12122
18289x x m y y m +=++=+， ()()()22
12121212272911189
m x x my my m y y m y y m -+=++=+++=
+. 设(,0)T t ，则直线TM 与TN 的斜率分别为11TM y k x t =-，2
2TN y k x t =-，则()()1212TM TN y y k k x t x t ⋅=
--
()212222
1212226489729188989
y y m m x x t x x t t t
m m -
+==-+-++-⋅+++()222648729189t m t t -=-+-+.
所以当28720t -=，即
当3t =-时，m ∀∈R ，4
9TM TN k k ⋅=-；
当3t =时，m ∀∈R ，16
9
TM TN k k ⋅=-.
因此，所有满足条件的T 的坐标为(3,0)-和(3,0).。