陕西省西安市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题word版有答案AKlqAq

数学（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{123}A =，，，{|(1)(2)0}B x x x =+->∈Z ，，则A
B =（ ）
A ．{1}
B ．{12}，
C ．{0123}，，，
D ．{10123}-，，，， 2.复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
3.设a R ∈，则“”是“直线1l ：210ax y +-=12z z ⋅=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4.2
0ln 1()231m
x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩
⎰，，≤，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1 B ．2 C.1- D ．2-
5.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入（ ）
A ．6?k >
B ．7?k > C.6?k < D ．7?k <
6.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足1a ，3a ，4a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则32
53
S S S S --的值
为（ ）
A ．2-
B ．3- C.2 D ．3 7.()()8
4
11x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ） A ．56 B ．84 C.112 D ．168
8.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B
两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）
A
．4 D ．8
9.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，
12，13，14，…，1
n
.①第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列（记为）1a ，2a ，3a ,…，n a .则12231n n a a a a a a -++
+等于（ ）
A ．(1)n n -
B ．2(1)n - C.2n D ．(1)n n +
10.直线1(3)y k x -=-被圆22(2)(2)4x y -+-=所截得的最短弦长等于（ ）
11.已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）
A.52π
B.5π
C.4π
D.3
π5 12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，（0A >，0ω>，2π
ϕ<）满足()()22f x f x ππ+=-，且()()66
f x f x ππ
+=-，
则下列区间中是()f x 的单调减区间的是（ ） A ．[]63ππ5-
-， B ．45[]36ππ--， C.27[]36ππ， D ．[0]3
π
-， 第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石；（结果四舍五入，精确到各位）． 14.设x ，y 满足约束条件70
310350x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
≤≤≥则2z x y =-取得最大值时的最优解为 ．
15.已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如右图所示，则该几何体的体积是 ．
16.若对于曲线()x f x e x =--上任意点处的切线1l ，总存在()2sin g x ax x =+上处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 若向量(3sin sin )a x x ωω=，，(cos sin )b x x ωω=，，其中0ω>.记函数1
()2
f x a b =⋅-
，若函数()f x 的图象上相邻两个对称轴之间的距离是2
π. （1）求()f x 的表达式；
（2）设ABC △三内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、
c ，若3a b +=，c =，()1f C =，求ABC △的面积.
18. 某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为4
5
，m ，n （m n >），设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为24125，都未取得优秀成绩的概率为6125
，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. （1）求m ，n ；
（2）设X 为该同学取得优秀成绩的课程门数，求X 的分布列和数学期望.
19. 如图，在四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 的正方形，E ，F 分别为PC ，AB 的中点.
（1）求证：EF ⊥平面PAD ；
（2）若PA BD ⊥，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小.
20. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3
2
，短轴端点到焦点的距离为2.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设A ，B 为椭圆C 上任意两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥.求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值.
21. 已知函数21
()2
x f x e ax =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若1a =，函数221
()()()4
x g x x m f x e x x =--++在区间(0)+∞，上为增函数，求整数m 的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 、B 的极坐标分别为(1)3π，、2(3)3π
，，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.
（1）求直线AB 的直角坐标方程；
（2）若直线AB 和曲线C 只有一个交点，求r 的值. 23.选修4-5：不等式选讲
已知关于x m 对于任意的x R ∈恒成立. （1）求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下求函数2
1
()(2)f m m m =+-的最小值.
数学（理）参考答案
一、选择题
1-5:ADCBB 6-10:CDBAC 11、12：BA
二、填空题
13.169 14.(52)， 15.200 16.1
[0]2
，
三、解答题
17..解：（1）∵(3sin sin )a x x ωω=，
，(cos sin )b x x ωω=，
∴211()cos sin sin(2)226
f x a b x x x x π
ωωωω=⋅-
=+-=- 由题意可知其周期为π，22π
ωπ
=，即1ω=，
∴()sin(2)6
f x x π
=- （2）由()1f C =，得sin(2)16C π
-=
∵0C π<<，∴1126
6
6
C π
π
π
-<-
<
， ∴ 26
2
C π
π
-
=
，解得3
C π
=
又∵3a b +=，c =，由余弦定理得2222cos
3
c a b ab π
=+-，
∴2()33a b ab +-=，即2ab =
∴由面积公式得ABC △
面积为1sin 2ab C =
18.（1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件A 、B 、C ∴4
()5
P A =
，()P B m =，()P C n = 由已知条件可知：24()125P ABC =
，6()125
P ABC = ∴4
24512546
(1)(1)(1)5125mn m n ⎧=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩
又m n >，则35m =，25n =
（2）∵0123X =，，，，6(0)125P X ==，37
(1)()125
P X P ABC ABC ABC ==++=；58(2)()125P X P ABC ABC ABC ==++=
，24(3)125
P X == ∴x 的分布列为
19.解：（1）设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ，
则12EQ CD ∥，而1
2
AF CD ∥
∴EQ CD ∥
∴四边形AFEQ 为平行四边形. ∴EF AQ ∥，而EF ⊄平面PAD ，AQ ⊆平面PAD ∴EF ∥平面PAD ；
（2）由（1）知，EF AQ ∥，因为EF ⊥平面PCD
所以AQ ⊥平面PCD ，而PD ，CD ⊆平面PAD ∴AQ CD ⊥
∵AQ CD ⊥，AD CD ⊥，AQ
AD A =
∴CD ⊥平面PAD ，PA ⊆平面PAD ∴PA CD ⊥，而PA BD ⊥，CD
BD D =，所以PA ⊥平面ABCD
（注意：没有证明出PA ⊥平面ABCD ，直接运用这一结论的，后续过程不给分）
由题意，AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，向量AB ，AD ，AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -
在三角形APD 中AQ ⊥平面PCD ，而PD ⊆平面PAD ，知AQ PD ⊥，而PD 的中点为Q
知AP AD ==则(000)A ，，
，00)B ，
，(0Q
，(00)D
，(00P ， (022
AQ =，
，
，(20PB =，，AQ 为平面PCD 的一个法向量. 设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，1
sin 2
PB AQ PB AQ
θ⋅=
=⋅ 所以直线PB 与平面PCD
所成角为6
π
. 20.解：（1
）由题意知，c e a ==
2，又222
a b c =+， 所以2a =，c =1b =
所以椭圆C 的方程为2
214
x y
+=.
（2）证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为
x =. 此时，原点O 到直线AB . 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，11()A x y ，，22()B x y ，. 由22
14x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得222(14)8440k x kmx m +++-= 则22222(8)4(14)(44)16(14)0km k m k m =-+-=+->△，
122
814km
x x k +=-
+，21224414m x x k -=+ 则22
12122
4()()14m k y y kx m kx m k -=++=+，由OA OB ⊥得1OA OB
k k ⋅=-，即12121y y x x ⋅=-，
所以2212122
544014m k x x y y k --+==+，即2
24(1)5
m k =+，
所以原点O 到直线AB 的距离为d =
=
综上，原点O 到直线AB . 21.解：（1）由21
()2
x f x e ax =-得2()x f x e a '=-
当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()-∞+∞，上为增函数；
当0a >时，ln ()2a x ∈-∞，时，()0f x '<，ln ()2a x ∈+∞，时，()0f x '>，
所以()f x 在ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，为减函数，在ln 2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，为增函数，
（2）当1a =时，22211
()()()24
x x g x x m e x e x x =---++
则2()()(1)1x g x x m e x '=--++
若()g x 在区间(0)+∞，上为增函数，则()0g x '≥在(0)+∞，上恒成立，即21
1
x x m x e +≤+-在(0)+∞，
上恒成立.
令21
()1
x x h x x e +=+-，(0)x ∈+∞，
；则2222(23)()(1)x x x e e x h x e --'=-，(0)x ∈+∞，； 令2()23x L x e x =--，则2()22x L x e '=-
当(0)x ∈+∞，时，2()220x L x e '=->，则()L x 在(0)x ∈+∞，单调递增 而1
()402
L e =-<，2(1)50L e =->
所以函数2()23x L x e x =--在(0)x ∈+∞，只有一个零点，设为α，
即(0)x α∈，时，()0L x <，即()0h x '<；()x α∈+∞，时，()0L x >，即()0h x '>， ∴21()1x x h x x e +=
+-，(0)x ∈+∞，，有最小值21
()1
h e αααα+=+-，
把223e αα=+代入上式可得1
()2
h αα=
+， 又因为1(1)2α∈，，所以3
()(1)2
h α∈，，
又()m h x ≤恒成立，所以()m h α≤，又因为m 为整数，所以1m ≤， 所以整数m 的最大值为1.
22.解：（1）∵点A 、B 的极坐标分别为(1)3π，、2(3)3
π
，，
∴点A，B
的直角坐标分别为
1
(
2
、
3
(
2
-，
∴直线AB
的直角坐标方程为40
yi
+-；
（2）由曲线C的参数方程
cos
sin
x r
y r
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
（α为参数），化为普通方程为222
x y r
+=，
∵直线AB和曲线C只有一个交点，
∴由点到直线的距离公式得半径r==
23.解：（1）∵关于x
m对于任意的x R
∈恒成立，可得
∴
max
m>根据柯西不等式，有
222222
(1[11]]6
=+⋅+=
≤
1
2
x=
时等号成立，故m.
（2）由（1）知20
m->，则
22
1111
()(2)(2)2
(2)22(2)
f m m m m
m m
=+=-+-++
--
∴()22
f m≥=
当且仅当
2
11
(2)
2(2)
m
m
-=
-
，即26
m=>时取等号，
所以函数
2
1
()
(2)
f m m
m
=+
-
2。