最优飞行计划模型

空运战略物资的飞行计划模型
摘要本文讨论了空运战略物资的飞行计划优化问题。

针对该问题，利用线性规划思想建立了在作战中甲方空运战略物资的飞行计划优化模型，再运用Matlab软件进行求解。

要使甲方空运战略物资的花费最小，先根据飞机执行任务需求及限定条件讨论出每个月购买飞机所满足的数量关系，使购买飞机的费用尽量低。

再根据飞行员执行任务限定条件及需求条件讨论出每个月招聘新飞行员人数所需满足的条件。

由于同一个飞行员可以多次执行任务，因此在第三个月时分为两种方案进行讨论，方案一是一月份执行任务的飞行员不参与三月份的飞行任务，讨论出三月份不用招聘新飞行员，第一个月与第二个月招聘的新飞行员分别为：456人，418人，然后利用招聘的新飞行员数目求解出每个月教练人数分别为24人，22人，0人，0人以及闲置飞行员人数分别为6人，14人，4人，4人。

最后根据题设条件讨论出休假的飞行员人数分别为0人，240人，360人，360人。

依据以上求解的结果即可将甲方空运战略物资的飞行计划所需资费计算出来为
4
10
.6⨯。

方案二为一月份执行任务的飞行员均参与三月份的飞行任务，讨论393
出三月份需要招聘新飞行员，每个月招聘的新飞行员分别为：437人，209人，228人，0人，然后利用招聘的新飞行员数目求解出每个月教练人数分别为23人，11人，12人，0人以及闲置飞行员人数分别为7人，6人，4人，4人。

最后根据题设条件讨论出休假的飞行员人数分别为0人，240人，360人，360人。

依据以上求解的结果即可将甲方空运战略物资的飞行计划所需资费计算出来为4
.6⨯。

3855
10
综上两种方案比较，方案二为更优方案。

关键词费用最小；购买飞机；飞行员；战略物资
一、问题重述
虽然，和平与发展成为时代的主题，但战争却总是不可避免的发生。

在战争中，由于双方战略计划、军事实力水平、军事素质等不同，总有一方在战争中处于劣势地位，甲方的一部分部队被乙方包围，由于乙方封锁了所有的水陆交通，甲方需要依靠空运战略物资补给被围部队。

但空运过程中会遭到敌军攻击，因此需要制定一个最优的
飞行计划，使得完成任务的前提下甲方的损失最小。

参考附件1提供的数据，使得在满足表1的条件下，制定每次执行任务人员的配置方案，同时给出花费最小时每个月需购买的飞机的数量以及招聘新飞行员的人数，还要确定每月教练以及闲置飞行员的人数。

二、问题分析
这是一个对实际空运战略物资经过简化的飞行计划优化设计问题。

刚开始对这个问题会觉得过程比较复杂，对飞机既有限定需求条件，又对飞行员有限定和需求条件。

但是经过仔细分析会发现这个问题可以利用线性规划来求解。

首先将题目中给出的限定条件转化为表1的形式。

对于这个飞行计划优化问题求解目的是在完成任务的前提下追求费用最小，而由题可知每个月执行任务的飞行员人数固定，休假飞行员人数也固定。

因此这部分费用是一个定值，而可以优化的则为训练新飞行员所需的费用、教练、闲置飞行员及购买飞机的费用。

为实现费用最小，第四个月不需要招聘新飞行员和购买飞机。

三、模型假设
1.题中所给数据均真实可靠。

2.当月参与飞行任务的飞行员不同时当教练。

3.不考虑给执行任务中失踪或牺牲的飞行员家属的抚恤金。

4.不考虑第四个月执行任务的飞行员的休假报酬。

5.牺牲或失踪的飞行员拿的是执行任务的报酬，新飞行员在接受训练后去执行任务拿的是执行任务熟练飞行员的报酬，执行任务的飞行员当月只拿执行任务的报酬。

6.上个月被训练的新飞行员不一定投入到下一个月的飞行任务中。

7.飞行员必须在执行飞行任务后才能休假。

四、符号表示
五、模型的建立
首先假设每个月购买飞机数分别为321,,x x x ，0架由题设条件可知每个月需执行任务次数分别为2，3，3，4，又由于每个月飞机只飞行一次且每个月执行任务返回时会有20%被乙方击落，可得一下关系：
第一个月执行任务回来飞机数为
()9010%201100=+-⨯
设第一个月购进飞机1x 架，则第二个月能执行任务的飞机为
190x +
则第二个月未执行任务飞机数目满足关系式
0150901≥-+x
第二个月执行任务回来的飞机数目为120架
设第二个月购进飞机2x 架，则第三个月能执行任务的飞机为
6021++x x
则第三个月未执行任务的飞机数目满足关系式
01506021≥-++x x
第三个月执行任务回来的飞机为120架
设第三个月购进3x 架飞机，则第四个月能执行任务的飞机满足关系式
170321=++x x x
经过上述关系式的化简可以得到购买飞机的费用支出为
321190195200x x x ++
根据表1的题设条件，可建立每个月飞机数量的关系，如表2所示：
下对于招聘飞行员的数目讨论：
对于方案一，第一个月执行任务的飞行员不参与第三个月的飞行任务，则要参与第四个月的飞行任务，由于第一个月和第二个月执行任务回来的飞行员为600人，所以足以满足第四个月执行任务所需飞行员。

可讨论出第三个月不需要招聘新飞行员，则有以下数量关系
假设第一个月招聘新飞行员为1y ,那么可得第一个月教练数为19
1y
，
闲置的飞行员人数为
19
301y -
由于要使飞行员利用率最高，所以闲置的飞行员人数满足关系
019
301≥-y
第一个月执行任务回来的飞行员人数为240，则在第二个月休假的飞行员人数为240
假设第二个月招聘新飞行员为2y ,那么可得第一个月教练数为19
2y
，
闲置的飞行员人数满足关系为
042019
21≥--y
y
第二个月执行任务回来的飞行员人数为360，则在第二个月休假的飞行员人数为360
由于第三个月不招飞行员，那么教练人数为0， 闲置的飞行员人数满足关系为
087021≥-+y y
第三个月执行任务回来的飞行员人数为360，则在第三个月休假的飞行员人数为360
为使费用最少，第四个月不招聘新兵，且前三个月未执行任务的飞行员也可以参加第四个月的飞行任务，可得闲置的飞行员人数关系式为
087021≥-+y y
综上，对方案一，即一月份执行任务的飞行员不参与三月份的飞行任务，则每个月飞行员的人数关系如表3所示：
对于方案二
第一个月执行任务的飞行员参与第三个月的飞行任务，则不参与第四个月的飞行任务，可讨论出第三个月需要招聘新飞行员，则有以下数量关系
假设第一个月招聘新飞行员为1y ,那么可得第一个月教练数为19
1y
，
闲置的飞行员人数为
19
301y -
由于要使飞行员利用率最高，所以闲置的飞行员人数满足关系
019
301
≥-
y 第一个月执行任务回来的飞行员人数为240，则在第二个月休假的飞行员人数为240
假设第二个月招聘新飞行员为2y ,那么可得第一个月教练数为19
2y
，
闲置的飞行员人数满足关系为
042019
21≥--y
y
第二个月执行任务回来的飞行员人数为360，则在第二个月休假的飞行员人数为360
假设第三个月招聘飞行员人数为3y ，教练人数为19
3y
闲置的飞行员人数满足关系为
063019
321≥--+y
y y
第三个月执行任务回来的飞行员人数为360，则在第三个月休假的飞行员人数为360
为使费用最少，第四个月不招聘新兵，且前三个月未执行任务的飞行员也可以参加第四个月的飞行任务，可得闲置的飞行员人数关系式为
087021≥-+y y
综上，对方案二，即一月份执行任务的飞行员均参与三月份的飞行任务，则每个月飞行员的人数关系如表4所示：
综合以上可知，方案一建立的关于空运战略物资的飞行计划优化模型为：
在满足每个月物资供给量的条件下，使得花费最小的飞行计划以满足下面的线性规划模型
321211x 190+x 195+x 200+y 95
2238
+y 952903+7098min ⨯⨯⨯⨯⨯=w
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
=++≥-+≥-≥+<≥⨯->≥-170
090060870450
192045042001930.321211
212211x x x x x x y y y y y y t s 方案二建立的关于空运战略物资的飞行计划优化模型为： 在满足每个月物资供给量的条件下，使得花费最小的飞行计划以满足下面的线性规划模型：
321321238
633
9522389529031901952008730min y y y x x x w ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
=++≥-+≥-≥++≤⨯-<-≤-≤+-170
090060870240
1920
42057042019.321211
32131121x x x x x x y y y y y y y y t s
六、模型的求解
利用Matlab 数学软件编程序对方案一求解得到最优解41106643.5⨯=w .其中
0.601=x , 0.302=x , 0.803=x , 5.4421=y , 5.4272=y .
对方案二求解得到最优解42104990.5⨯=w .其中0.601=x , 0.302=x ,
0.803=x ,31.141=y ，210.92=y ，228.03=y .
程序在附件2中给出。

七、结论的分析
由于人数不能为小数，所以应对所得的数值做相应的取整处理，可以得到方案一的飞行计划总费用为410393.6⨯，其中第一个月与第二个月招聘的新飞行员分别为：456人，418人，每个月教练人数分别为24人，22人，0人，0人，闲置飞行员人数分别为6人，14人，4人，4人。

方案二的飞行计划总费用为4103855.6⨯，其中每个月招聘的新飞行员分别为：437人，209人，228人，0人；每个月教练人数分别为23人，11人，12人，0人；闲置飞行员人数分别为7人，6人，4人，4人；休假的飞行员人数分别为0人，240人，360人，360人。

比较方案一与方案二易得，方案二的花费更小，因此甲方选用方案二中飞行员的配比运送物资更为省钱。

八、模型的评价
优点：本文利用分布优化思想简化了模型，减少计算工作量。

而且利用表格整理题设条件及数据关系，使得问题清晰明了。

缺点：未考虑给牺牲或失踪的飞行员家属的抚恤金，并且线性规划的约束条件不够完善，存在一定的误差。

九、模型的推广
如果当月执行任务的飞行员在执行任务结束后继续给新飞行员当教练，下
个月再休假，招聘的新飞行员的数目可以更小，甲方所花费的钱可能更少。

参考文献
[1] 王连堂.数学建模.陕西师范大学出版社，2008 [2] 陈光亭，裘哲勇.数学建模.高等教育出版社，2009
附件2
方案一利用Matlab计算的程序：
c=[200;195;190;2903/95;2238/95];
a=[-1 0 0 0 0;-1 -1 0 0 0;-1 -1 -1 0 0;0 0 0 1 0;0 0 0 -1 0;0 0 0 0 20/19;0 0 0 0 1;0 0 0 -1 -1];
b=[-60;-90;-170;570;-420;450;450;-870];
[x,fval]=linprog(c,a,b)
方案二利用Matlab计算的程序：
c=[200;195;190;2903/95;2238/95;633/38];
a=[-1 0 0 0 0 0;-1 -1 0 0 0 0;-1 -1 -1 0 0 0;0 0 0 -1 0 0;0 0 0 1 0 0;0 0 0 -1 1/19 0;0 0 0 0 0 20/19;0 0 0 -1 -1 -1];
b=[-60;-90;-170;-420;570;-420;240;-870];
[x,fval]=linprog(c,a,b)。