趣味微积分第 12 课：微积分的基本算术

第12 课：微积分的基本算术
还记得学算术吗？看过小数乘法后，我们学习了数乘法：
我们不能只组合第一位数字（10X10) 和第二个(3X5）并称之为完成。

我们必须经历交叉乘法。

微积分是类似的。

如果我们拥有整个函数，我们可以轻松地说有导数. 但这并不能说明问题，也不能解释幕后发生的事情。

如果我们可以用积木来描述我们的功能X （如)，那么我们应该能够根据相同的构建块找到导数，即变化的模式。

如果我们有两种类型的构建块
（)，我们将得到这两个构建块的导数。

这是一般策略：
●想象一个有几个构建块的场景()
●让每一个组件都改变
●衡量整个系统的变化
●去除测量伪像（我们的仪器相互干扰）
一旦我们知道系统是如何分解的，我们就可以将它们逆向工程成积分（对FTOC 来说是的！）。

12.1添加
让我们从简单的开始：添加了两个组件的系统如何运行？
在现实世界中，这可能是派两个朋友（弗兰克和乔治）来建造围栏。

假设弗兰克得到木头，乔治得到油漆。

总费用是多少？
整个系统的导数，, 是每增加一英尺的成本。

直观地，我们怀疑总增加量是各部分增加量的总和：
这种关系是有道理的，对吧？假设弗兰克的木材成本是3美元/英尺，而乔治增加了0.50美元/英尺的油漆成本。

如果我们要求另一只脚，总成本将增加3.50美元。

这是该结果的数学计算：
在我的脑海里，我想象X ，你要求的金额，在角落里悄无声息地变化着。

这会产生明显的变化f（尺寸df ）和g （尺寸dg )，我们看到总的变化为.
看来我们应该把前面的总数结合起来，写不是
. 通常，我们会简化一个等式，但有时列出每项贡献（总计= 基数+ 运费+ 税）会很有帮助。

在我们的案例中，我们看到Frank 对价格的贡献最大。

记住导数是“每”率，我们写：
但是，看所有这些符号！让我们把它剪下来：
写代替. 我们将假设一个字母是一个完整的函数，根据数理的第三条法令，我们的函数将使用一个参数X .
我们将使用单引号()，而不是比率(）。

我们最感兴趣的是部件之间的关系（添加），
而不是部件本身的坚韧不拔的细节。

所以现在加法规则变成：
好多了！我是这样读的：拿一个由几个部分组成的系统：. 整个系统的变化，, 可以通过添加每个部分的更改来找到。

12.2乘法
让我们尝试一个诡计场景。

如果输入相乘，而不是相加（几乎彼此无视），会怎样？
假设弗兰克和乔治正在为你建造一个长方形的花园。

弗兰克负责宽度，乔治负责高度。

每当您鼓掌时，它们就会移动……但幅度不同！
Frank 的台阶有3 英尺长，而George 的台阶只有2 英尺长（动物园饲养事故，别问了）。

我们如何描述系统？
我们有线性部分，所以导数很简单：. 下一次拍手会发
生什么？
看起来很熟悉！我们有一个水平条、一个垂直条和一个角件。

我们可以用代数计算出数量：●原来的：
●新的：
●改变：
让我们更仔细地看看这个变化：
●横条发生在改变（由），和是相同的值
●垂直条是在什么时候做的改变（由），和是相同的值
●角块（) 发生在一个组件() 与另一个()
角件是我们的样品测量本身缠结在一起，应将其移除。

（如果我们被迫整个单位移动，那么角落就可以了。

但大多数现实世界的系统都可以通过任何十进制数不断变化，我们希望消除测量伪影。

）
为了找到总的变化，我们去掉term（变化之间的干扰）并得到：
我不会让你忘记导数是基于“每dx”的，所以我们写：
远处有一个隐含的“x”变化，这使得和移动。

我们隐藏这些细节以使符号更简单。

In English: 假设一个有多个部分的场景。

随着它们的变化并继续成倍增加，将形成的新水平和垂直条带相加。

让我们试试这个规则：如果我们有一个12X8 花园和整步递增，我们会看到什么变化？
在这种情况下，我们将使用规则的离散版本，因为我们被迫作为一个整体移动：
让我们测试一下。

我们从12X8（96 平方英尺）至15X10（150 平方英尺）。

是的，面积增加了150 - 96 = 54 平方英尺！
12.3简单除法（逆）
逆可能很难形象化：如X 变大，变小。

让我们慢慢来。

假设你和弗兰克分享一块蛋糕。

你刚把它切成两半，正要咬一口，然后……乔治拖着脚步走了进来。

他看起来很沮丧，而且你不会提到那组新的爪痕。

但是你刚刚把蛋糕切成两半，你能做什么？
再剪一下。

你和弗兰克可以把你现有的部分切成三份，然后给乔治一块：
整洁的！现在每个人都有总数的1/3。

你放弃了你数量的1/3（1/2），也就是说，你们每个人都给了乔治总数的1/6。

吃的时候！但就在你要咬一口的时候……素食教父走了进来。

哦，他肯定想要一块。

你做什么工作？
再剪一下。

大家一起smooshes的部分，削减它的四分之三，和手一块顿河。

蛋糕再次均匀分开。

这是应用于除法的分步思维：
●你原来的份额是（当x=2 时，你有1/2）
●有人走进
●你的新分享变成
你的蛋糕量是如何变化的？好吧，你拿走了你原来的切片（)，将其切成新的片数()，并赠送了一个（变化为负）：
我们大概可以猜测+1 是一个测量工件，因为我们强制x 进行整数变化。

如果我们调用测
试更改dx，我们可以找到新数量() 和原始()：
在找到总变化（及其烦人的代数）后，我们除以dx 以获得“每dx”基础上的变化：
现在我们移除剩余的dx，测量工件：
呼！我们发现了1/x 分割如何随着更多人的加入而发生变化。

让我们来试一试：您正在5 个人之间分摊1000美元的钞票。

第六个人进来，你省了多少钱？
您将亲自节省1/5 ·1/6 = 总成本的1/30（将您的份额分成6 份，给新人一份支付）。

那大约是3% 或30。

快速计算还不错！
让我们的工作就向后：多大是我们的，当我们节省了约集团$每人100？嗯，100美元是总数的1/10。

自从，我们将在x=3 人左右达到储蓄率。

和是的，从3〜4人去指每个人的份额从去$ 333.33至$ 250 -大约$ 100 不错！（如果我们小数地加人，我们可以准确地达到这个数字。

）
12.4问题
我们没有明确讨论按常数缩放，例如找到. 你能用乘积规则来弄清楚它是如何变化的吗？（提示：想象一个矩形的一边固定为3，然后X 另一个）。

现在，加法规则如何？怎么会表现？。