蓝田县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

蓝田县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={y|y=2x }，则A B （ ）
A ．（0，+∞）
B ．（1，+∞）
C ．（0，1）
D ．（1，2）
2． 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
　4． 若复数
的实部与虚部相等，则实数等于（ ）2b i
i
++b （A ）
（ B ）
（C ）
（D ） 311
3
12
-
5． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 设分别是中，所对边的边长，则直线与
,,a b c ABC ∆,,A B C ∠∠∠sin 0A x ay c ++=A 的位置关系是（ ）
sin sin 0bx B y C -+=A A ．平行
B ． 重合
C ． 垂直
D ．相交但不垂直
7． 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）
A ．100
B ．150
C ．200
D ．250
8． 若命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，2x 2﹣1＜0
B ．∀x ∈R ，2x 2﹣1≤0
C ．∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0
D ．∃x ∈R ，2x 2﹣1＞0
9． 在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O ，A ，B 三点能构成三角形，则
（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
10．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n=m+n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n=mn ．则在此定义下，集合M={（a ，b ）|a ※b=12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是（
）
A ．10个
B ．15个
C ．16个
D ．18个
11．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（
）
A ．
B ．
C ．1
D ．
12．四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在
P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2AB =体积为
同一球面上，则（ ）24316
π
PA =
A ．3
B ．
C ．
D ．
729
2
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
二、填空题
13．已知函数，则的值是_______，的最小正周期是______.
22tan ()1tan x f x x =
-()3
f π
()f x 【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．14．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．　
15．在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cos θ+
sin θ）=6的距离为 ．
16．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则b
a
的值为 ▲ ．17．△ABC 外接圆半径为
，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A=60°，b=2，则c 的值为 ．
18．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 4（k ∈N *）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
三、解答题
19．某城市决定对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房am 2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少 am 2；已知旧住房总面积为32am 2，每年拆除的数量相同．
（Ⅰ）若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m 2？（Ⅱ），求前n （1≤n ≤10且n ∈N ）年新建住房总面积S n
20．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数有一个零点为4，且满足.
()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈()01f =（1）求实数和的值；
b c （2）试问：是否存在这样的定值，使得当变化时，曲线在点处的切线互相平行？0x a ()y f x =()()
00,x f x 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；0x （3）讨论函数在上的零点个数.
()()g x f x a =+()0,421．已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）设动直线与y轴相交于点，点关于直线的对称点在椭圆上，求的最小值．
22．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．
（Ⅰ）求点A的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，]的值域．
23．已知函数f（x）=log2（x﹣3），
（1）求f（51）﹣f（6）的值；
（2）若f（x）≤0，求x的取值范围．
24．如图1，圆O的半径为2，AB，CE均为该圆的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为F，沿直径AB将半圆ACB所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）
（Ⅰ）求四棱锥C﹣FDEO的体积
（Ⅱ）如图2，在劣弧BC上是否存在一点P（异于B，C两点），使得PE∥平面CDO？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
蓝田县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：集合A={x|y=ln （x ﹣1）}=（1，+∞），集合B={y|y=2x }=（0，+∞）则A ∪B=（0，+∞）故选：A ．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．　
2． 【答案】D 【解析】
因为，有可能为负值，所以排除A ，C ，因为函数为减函数且
，所以
，排除B ，
故选D 答案：D
3． 【答案】D
【解析】解：∵P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，∴sin θcos θ＜0，cos θ＞0，∴sin θ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D ．
【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．　
4． 【答案】C
【解析】
＝＝＋i ，因为实部与虚部相等，所以2b ＋1＝2－b ，即b ＝.故选C.
b ＋i 2＋i (b ＋i)(2－i)(2＋i)(2－i)
2b ＋152－b
5135． 【答案】B
【解析】解：由于α是△ABC 的一个内角，tan α=，则
=，又sin 2α+cos 2α=1，
解得sin α=，cos α=（负值舍去）．则cos （α+
）=cos
cos α﹣sin
sin α=
×（﹣）=
．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．　
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：由直线与，
sin 0A x ay c ++=A sin sin 0bx B y C -+=A 则，所以两直线是垂直的，故选C. 1sin (sin )2sin sin 2sin sin 0A b a B R A B R A B ⋅+⋅-=-=考点：两条直线的位置关系.7． 【答案】A
【解析】解：分层抽样的抽取比例为=
，
总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．
故选：A ．　
8． 【答案】C
【解析】解：命题p ：∀x ∈R ，2x 2﹣1＞0，则其否命题为：∃x ∈R ，2x 2﹣1≤0，故选C ；
【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；　
9． 【答案】B
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若O ，A ，B 三点能构成三角形，则O ，A ，B 三点不共线。

若O ，A ，B 三点共线，有：-m=4，m=-4．故要使O ，A ，B 三点不共线，则。

故答案为：B 10．【答案】B
【解析】解：a ※b=12，a 、b ∈N *，
若a 和b 一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a ，b ）有4个；
若a 和b 同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a ，b ）有2×6﹣1=11个，
所以满足条件的个数为4+11=15个．
11．【答案】B
【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为
，
即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，
故侧视图的面积是，
故选：B ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．　
12．【答案】B
【解析】连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则,AC BD E PC O OE OE PA A OE ⊥ABCD O
到四棱锥的所有顶点的距离相等，即球心，均为
O 12PC =
=可得
，解得，故选B
．34243
316ππ=7
2
PA =二、填空题
13．【答案】，.
π【解析】∵，∴，又∵
，∴的定义域为22tan ()tan 21tan x f x x x ==-2(tan 33f ππ==22
1tan 0
x k x ππ
⎧
≠+⎪⎨⎪-≠⎩
()f x ，，将的图象如下图画出，从而
(,)(,
)(,)244
442k k k k k k π
π
π
πππ
ππππππ-
+-
+-
++++ k Z ∈()f x 可知其最小正周期为，故填：.ππ
14．【答案】　﹣1054　．
【解析】解：∵2a n，a n+1是方程x2﹣3x+b n=0的两根，
∴2a n+a n+1=3，2a n a n+1=b n，
∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．
则b5=2×17×（﹣31）=1054．
故答案为：﹣1054．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
15．【答案】　1　．
【解析】解：点P（2，）化为P．
直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．
∴点P到直线的距离d==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．【答案】
1
2
考
点：函数极值
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
17．【答案】 ．
【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，∴由正弦定理可得：，解得：a=3，
∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，
∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．
18．【答案】　②④　
【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），
圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系，
圆k ：圆心（k ﹣1，3k ），半径为
k 2，圆k+1：圆心（k ﹣1+1，3（k+1）），即（k ，3k+3），半径为
（k+1）2，
两圆的圆心距d==，两圆的半径之差R ﹣r=（k+1）2﹣k 2=2k+，任取k=1或2时，（R ﹣r ＞d ），C k 含于C k+1之中，选项①错误；
若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k 2=2k 4，即10k 2﹣2k+1=2k 4（k ∈N*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k 使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
则真命题的代号是②④．
故答案为：②④
【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I ）10年后新建住房总面积为a+2a+4a+8a+7a+6a+5a+4a+3a+2a=42a ．
设每年拆除的旧住房为xm 2，则42a+（32a ﹣10x ）=2×32a ，
解得x=a ，即每年拆除的旧住房面积是am 2
（Ⅱ）设第n 年新建住房面积为a ，则a n =
所以当1≤n ≤4时，S n =（2n ﹣1）a ；
当5≤n ≤10时，S n =a+2a+4a+8a+7a+6a+（12﹣n ）a=故
【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．
20．【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）当或时，在有两个零点；1,14
b c ==1a <-0a >()g x ()0,4当时，在有一个零点.
10a -≤≤()g x ()0,4
【解析】试题分析：
（1）由题意得到关于实数b ,c 的方程组，求解方程组可得；1,14
b c =
= （3）函数
的导函数，结合导函数的性质可得当或时，在()g x ()()2132444g x x a x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭'1a <-0a >()g x 有两个零点；当时，在有一个零点.
()0,410a -≤≤()g x ()0,4试题解析：
（1）由题意，解得；()()01{ 440f c f b c =+=-+=1{ 41
b c ==（2）由（1）可知，()()324f x x a x =+--1414a x ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
∴；()()2132444f x x a x a ⎛
⎫=+--+ ⎪⎝⎭
'假设存在满足题意，则是一个与无关的定值，0x ()()2000132444f x x a x a ⎛
⎫=+--+
⎪⎝⎭'a 即是一个与无关的定值，()2000124384
x a x x -+--a 则，即，平行直线的斜率为；0240x -=02x =()1724k f ==-
'（3），()()()324g x f x a x a x =+=+-1414a x a ⎛
⎫-+++ ⎪⎝⎭
∴，()()2132444g x x a x a ⎛⎫=+--+
⎪⎝⎭
'其中，()21441244a a ⎛⎫∆=-++= ⎪⎝
⎭()224166742510a a a ++=++>设两根为和，考察在上的单调性，如下表()0g x '=1x ()212x x x <
()g x R
1°当时，，，而，0a >()010g a =+>()40g a =>()152302
g a =--<∴在和上各有一个零点，即在有两个零点；
()g x ()0,2()2,4()g x ()0,42°当时，，，而，0a =()010g =>()40g a ==()15202
g =-<∴仅在上有一个零点，即在有一个零点；
()g x ()0,2()g x ()0,43°当时，，且，0a <()40g a =<13024g a ⎛⎫=->
⎪⎝⎭
①当时，，则在和上各有一个零点，1a <-()010g a =+<()g x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
即在有两个零点；()g x ()0,4②当时，，则仅在上有一个零点，10a -≤<()010g a =+≥()g x 1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
即在有一个零点；()g x ()0,4综上：当或时，在有两个零点；
1a <-0a >()g x ()0,4当时，在有一个零点.
10a -≤≤()g x ()0,4点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f （x ）在[a ，b ]内所有使f ′（x ）＝0的点，再计算函数y ＝f （x ）在区间内所有使f ′（x ）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
21．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）因为椭圆C ：
，所以，，故，解得，所以椭圆的方程为．因为
，所以离心率．（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设点，
则线段的中点的坐标为
，
且直线的斜率，
由点关于直线的对称点为，得直线，
故直线的斜率为，且过点，
所以直线的方程为：，
令，得，则，
由，得，
化简，得．
所以
．
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=，α∈（0，）．∴tanθ=tan（α+）==，
∴由解得，
∴点A的坐标为（，）．
（Ⅱ）f（x）=•=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x=sin2x+cos2x
=sin（2x+）
由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[﹣，1]，
∴函数f（x）的值域为[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=log2（x﹣3），
∴f（51）﹣f（6）=log248﹣log23=log216=4；
（2）若f（x）≤0，则0＜x﹣3≤1，
解得：x∈（3，4]
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，对数的运算性质，解答时要时时注意真数大于0，以免出错．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD垂直平分半径OA，半径为2，
∴CF=DF，OF=，
∴在Rt△COF中有∠COF=60°，CF=DF=，
∵CE为直径，∴DE⊥CD，
∴OF∥DE，DE=2OF=2，
∴，
图2中，平面ACB⊥平面ADE，平面ACB∩平面ADE=AB，
又CF⊥AB，CF⊂平面ACB，
∴CF⊥平面ADE，则CF是四棱锥C﹣FDEO的高，
∴．
（Ⅱ）在劣弧BC上是存在一点P（劣弧BC的中点），使得PE∥平面CDO．
证明：分别连接PE，CP，OP，
∵点P为劣弧BC弧的中点，∴，
∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP为等边三角形，
∴CP∥AB，且，又∵DE∥AB且DE=，
∴CP∥DE且CP=DE，
∴四边形CDEP为平行四边形，
∴PE∥CD，
又PE⊄面CDO，CD⊂面CDO，
∴PE∥平面CDO．
【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．。