高考数学专题 简单的线性规划

【基础检测】
1.不等式x－2y≥0表示的平面区域是
直线x－2y＝0及其右下方区域
.
【解析】画出直线x－2y＝0，取 (1，0)代入，得x－2y＝1＞0，即点 (1，0)在不等式x－2y≥0表示的平面 区域内，则不等式x－2y≥0表示的平 面区域为直线x－2y＝0及其右下方区 域(如图阴影所示).
2.在平面直角坐标系中，不等式组 x＋y－2≤0， x－y＋2≥0，表示的平面区域的面积是__4__. y≥0
故M的坐标为(2，3)，所以zmax＝0.65×2＋
0.4×3＝2.5.
【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳 为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目 标函数是什么；
(2)转化——设元，写出约束条件和目标函数； (3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与 可行域边界直线斜率间的关系； (4)作答——就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性 规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.
(2)已知函数f(x)＝x2－5x＋4，则不等式组 f1（≤xx）≤－4 f（y）≥0，对应的平面区域为( C )
【解析】(1)x2－y2≤0，(x－y)(x＋y)≤0，
xx－＋yy≤≥00，或xx－＋yy≥≤00，，故选D.
(2)不等式组
f（x）－f（y）≥0， 1≤x≤4，
即
x－y≥0，
x－y≤0，
③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区
域的公共部分．
2．线性规划相关概念
名称
意义
约束条 目标函数中的变量所要满足的不
件
等式组
线性约 束
条件
由 x，y 的一次不等式(或方程)组成 的不等式组
目标函 数
关于 x，y 的函数____解__析__式_______
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
示的阴影部分，
并求出顶点的坐标
A(1，3)，
B(3，1)，C(7，9).
(1)易知可行域内各点均在
直线x＋2y－4＝0的上方，
故x＋2y－4＞0，将C(7，9)代入得z的最大值为
21. (2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定
点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易
知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝
A.8
B.7
C.6
D.5
【解析】画出如图阴影部分所示的可行域，易知 z＝2x＋y在点(2，－1)与(－1，－1)处分别取得最大 值m＝3和最小值n＝－3，∴m－n＝6，选C.
x≤0， 2.由不等式组 y≥0，
确定的平面区域记为
y－x－2≤0
Ω1，不等式组xx＋＋yy≤≥1－，2确定的平面区域记为Ω2，在
〔备选题〕例5设函数f(x)＝x3＋3bx2＋3cx有两个 极值点x1，x2，且x1∈[－1，0]，x2∈[1，2].
(1)求b，c满足的约束条件，并在上图的坐标平 面内，画出满足这些条件的点(b，c)的区域；
(2)证明：－10≤f(x2)≤－12.
【解析】(1)f′(x)＝3x2＋6bx＋3c，依题意知，方 程f′(x)＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－1，0]，x2∈ [1，2]等价于f′(－1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′ (2)≥0.
【点评】本题主要考查导数、线性规划等基础知
识和数形结合的思想.
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方
法
第一种：若用y＝kx＋b表示的直线将平面分成
上下两部分
不等式
区域
y＞kx＋b
表示直线上方的半平面区 域
y＜kx＋b
表示直线下方的半平面区 域
第二种：用Ax＋By＋C＝0(B≠0)表示的直线将
（文科）专题 37 简单的线性规划
【学习目标】 1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了 解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元 一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元 线性规划问题，并能加以解决． 2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几 何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合．
【点评】线性规划问题是在约束条件是线性的、 目标函数也是线性的情况下的一类最优解问题，在约 束条件是线性的情况下，线性目标函数只在可行域的 顶点或者边界上取得最值；当求解目标中含有参数时， 要根据临界位置确定参数所满足的条件.
四、简单线性规划的实际应用问题
例4 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有
，
y≥0
且z＝0.65x＋0.4y，
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图中阴
影部分，包括边界)，即可行域.
作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0.把直线l
向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域中的点
M，此时z取最大值.
解方程组42x0＋ x＋8y5＝ y＝3255得x＝2，y＝3.
【解析】设需A，B型车分别为x，y辆(x，y∈N)，则x，y需
36x＋60y≥900，
y－x≤7，
满足x＋y≤21，
设租金为z，则z＝1 600x＋2 400y，画出
x∈N， y∈N，
可行域如图阴影部分所示，根据线性规划中截距问题，可求得
最优解为x＝5，y＝12，此时z最小等于36 800，故选C.
x＋y－5≥0，或x＋y－5≤0，其对应的平面区域应
1≤x≤4
1≤x≤4.
为选项C的阴影部分.
二、简单线性规划问题
x－y＋2≥0， 例2已知x＋y－4≥0，求：
2x－y－5≤0. (1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值； (3)z＝2xy＋＋11的取值范围.
【解析】作出可行域如图所
(2)在平面直角坐标系中，设直线 Ax＋By＋C＝0(B 不为 0)及点 P(x0，y0)，则
①若 B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点 P(x0，y0)在直线的上 方，此时不等式 Ax＋By＋C>0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 的 上方的区域．
②若 B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点 P 在直线的下方，此 时不等式 Ax＋By＋C<0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 的下方的 区域．
c≥2b－1， c≤0， 由此得b，c满足的约束条件为c≤－2b－1， c≥－4b－4.
满足这些条件的点(b，c)的区域为图中阴影部分.
(2)证明：由题设知f′(x2)＝3x22＋6bx2＋3c＝0， 故bx2＝－12x22－12c， 于是f(x2)＝x32＋3bx22＋3cx2＝－12x32＋32cx2. 由于x2∈[1，2]，而由(1)知c≤0， 故－4＋3c≤f(x2)≤－12＋32c. 又由(1)知－2≤c≤0，所以－10≤f(x2)≤－12.
用量 项目
产品
甲 乙
工人(名)
4 8
资金(万元)
20 5
【解析】(1)依题意有：P1－1－PP1＝2＝P02－.250.05⇒PP12＝ ＝00..645.
则甲产品为优等品的概率为0.65，乙产品为优等 品的概率为0.4.
(2)依题意x，y满足的
4x＋8y≤32
20x＋5y≤55
条件为： x≥0
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示的阴 影部分，则所求面积是12×4×2＝4.
x－y≤10， 3.设变量x，y满足 0≤x＋y≤20， 则2x＋3y的最
0≤y≤15，
大值为( D )
A.20
B.35 C.45
D.55
【解析】根据题意画出不等式 组表示的平面区域，然后求值.不 等式组表示的区域如图所示，所 以过点A(5，15)时2x＋3y的值最 大，此时2x＋3y＝55.
x＋
z b
在y轴上的截距的
最值(其中a，b是常数，z随x，y的变化而变化)，将
直线ax＋by＝0平移，在可行域中观察使
z b
最大(或最
小)时所经过的点；
③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并
将其代入目标函数求得最大值和最小值；
④答：写出最后结论.
(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也 可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函 数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.
三、含参变量的线性规划问题
x≥1， 例3 (1)实数x，y满足 y≤a（a>1）， 若目标函数 x－y≤0，
z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为( C )
3
A.4
B.3
C.2
D.2
y≥0， (2)已知实数x，y满足y－x＋1≤0， 若z＝y－ax y－2x＋4≥0，
取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为__1__.
一部分是优等品，其余是一等品.已知甲产品为优等 品概率比乙产品为优等品的概率多0.25，甲产品为一 等品的概率比乙产品为优等品的概率少0.05.
(1)分别求甲、乙产品为优等品的概率P1，P2； (2)已知生产一件产品需要的工人数和资金数如 下表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元，设 x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件 下，求x，y为何值时，z＝xP1＋yP2最大，最大值是 多少？
4.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名
客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60
人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求
租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则
租金最少为( C )
A.31 200元
B.36 000元
C.36 800元
D.38 400元
合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源 来完成该项任务．
解线性规划问题的一般步骤： 审题、设元——___列__出__约__束__条__件___(通常为不等式 组)——建立___目__标__函__数__——作出___可__行__域____——求 __最__优__解__．
一、平面区域的确定与应用 例1 (1)在平面直角坐标系中，满足不等式x2－y2 ≤0的点(x，y)的集合所对应的平面区域是( D )
线性目 标函数
目标函数是关于变量的一次函数
最优解
使目标函数取得_最__大__值_或__最__小__值__ 的可行解
线性规 在线性约束条件下，求线性目标函
划问题 数的__最__大__值____或___最__小_值_____
3.常见简单的二元线性规划实际问题 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如 何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何
【知识要点】
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标系中 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点组成的平面区域
(半平面)，__不__包___括___边界直线．
不 等 式 Ax＋ By＋ C≥0 所 表 示 的 平 面 区 域 (半 平面 )
_包__括__边界直线．
(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得 的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依 据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用 “调整优值法”去寻求最优解.
1.若变量x，y满足约束条件 yx≤＋xy，≤1， 且z＝2x y≥－1，
＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( C )
平面分成上下两部分(B＝0读者完成)
不等式 B＞0
B＜0
Ax＋ 表示直线上 表示直线下
By＋C 方的半平面 方的半平面
＞0
区域
区域
Ax＋ 表示直线下 表示直线上
By＋C 方的半平面 方的半平面
＜0
区域
区域
联系：将Ax＋By＋C＝0表示的直线转化成y＝
kx＋b的形式即是第一种.
第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代
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入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该
点，反之，则不包括.
2.线性规划问题求解策略
(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标
函数是关键，一般步骤如下：
①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行
域；
②移：由z＝ax＋by变形为y＝－ba x＋bz ，所求z的
最值可以看成是求直线y＝－
a b
【解析】(1)作出可行域如图所示，则可行域为 △ABC的内部及边界，当直线z＝x＋y经过点A(a，a) 时，z取得最大值4，即4＝a＋a＝2a，所以a＝2.
(2)依题意，在坐标平面内画 出不等式组表示的平面区域，
如图所示.要使目标函数z＝y －ax取得最大值时的最优解有 无数个，则直线z＝y－ax必平 行于直线y－x＋1＝0，于是a ＝1.
3 2
2
2
＝92.
(3)z＝2·x－y－（－－121）表示可行域内任一点(x，y)与
定点Q
－1，－12
连线的斜率的两倍，因为kQA＝
7 4
，
kQB＝38，
故z的取值范围为34，72.
【点评】充分理解目标函数并将目标函数赋予几 何意义，如截距、点到直线的距离、过已知点的直线 斜率等是本例求解的关键和切入点.