高中数学人教a版高二选修4-1学业分层测评6_圆周角定理

学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2-1-12所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有()
图2-1-12
A．1对B．2对
C．3对D．4对
【解析】由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.
【答案】 B
2．如图2-1-13所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O 的半径等于()
图2-1-13
A．6 B．8
C．4 D．5
【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
又∵CD⊥AB，
由射影定理可知，CD2＝AD·BD，
∴42＝8AD，∴AD＝2，
∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10，
∴圆O的半径为5.
【答案】 D
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝23，则此三角形外接圆半径为() 【导学号：07370031】
A. 3 B ．2 C ．2 3
D ．4
【解析】 由推论2知AB 为Rt △ABC 的外接圆的直径，又AB ＝23
cos 30°＝4，故外接圆半径r ＝1
2AB ＝2.
【答案】 B
4．如图2-1-14所示，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠A ＝40°，D 是的中点，E
是
的中点，分别连接BD ，DE ，BE ，则△BDE 的三内角的度数分别是( )
图2-1-14
A ．50°，30°，100°
B ．55°，20°，105°
C ．60°，10°，110°
D ．40°，20°，120°
【解析】 如图所示，连接AD .
∵AB ＝AC ，D 是的中点，
∴AD 过圆心O . ∵∠A ＝40°，
∴∠BED ＝∠BAD ＝20°， ∠CBD ＝∠CAD ＝20°. ∵E 是
的中点，
∴∠CBE ＝1
2∠CBA ＝35°， ∴∠EBD ＝∠CBE ＋∠CBD ＝55°， ∴∠BDE ＝180°－20°－55°＝105°， 故选B. 【答案】 B
5．如图2-1-15，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于( )
图2-1-15
A．4π B．8π
C．12πD．16π
【解析】连接OA，OB.
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°.
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形．
又AB＝4，∴OA＝OB＝4，
∴S
⊙O
＝π·42＝16π.
【答案】 D
二、填空题
6．如图2-1-16，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为
直径的圆与AB交于点D，则BD
AD＝________.
图2-1-16
【解析】连接CD，∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA＝90°.由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB，
∴BC2
AC2＝
BD
AD，即
BD
AD＝
16
9.
【答案】16 9
7．(2016·天津高考)如图2-1-17，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为________．
图2-1-17
【解析】 如图，设圆心为O ，连接OD ，则OB ＝OD .
＝32.
因为AB 是圆的直径，BE ＝2AE ＝2，所以AE ＝1，OB 又BD ＝ED ，∠B 为△BOD 与△BDE 的公共底角， 所以△BOD ∽△BDE ，所以BO BD ＝BD
BE ， 所以BD 2＝BO ·BE ＝3，所以BD ＝DE ＝ 3. 因为AE ·BE ＝CE ·DE ，所以CE ＝AE ·BE DE ＝233. 【答案】
23
3
8.如图2-1-18，AB 为⊙O 的直径，弦AC ，BD 交于点P ，若AB ＝3，CD ＝1，则sin ∠APD ＝__________.
图2-1-18
【解析】 由于AB 为⊙O 的直径，则∠ADP ＝90°， 所以△APD 是直角三角形，
则sin ∠APD ＝AD AP ，cos ∠APD ＝PD AP ，
由题意知，∠DCP ＝∠ABP ，∠CDP ＝∠BAP ， 所以△PCD ∽△PBA .
所以PD AP ＝CD AB ，又AB ＝3，CD ＝1，则PD AP ＝13. ∴cos ∠APD ＝1
3.又∵sin 2∠APD ＋cos 2∠APD ＝1， ∴sin ∠APD ＝22
3. 【答案】
223
三、解答题
9．如图2-1-19所示，⊙O中和的中点分别为点E和点F，直线EF交AC于点P，交AB于点Q.求证：△APQ为等腰三角形．
图2-1-19
【证明】连接AF，AE.
∵E是的中点，即＝，
∴∠AFP＝∠EAQ，
同理∠F AP＝∠AEQ.
又∵∠AQP＝∠EAQ＋∠AEQ，∠APQ＝∠AFP＋∠F AP，
∴∠AQP＝∠APQ，即△APQ为等腰三角形．
10．如图2-1-20(1)所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．
图2-1-20
(1)求证：AB2＝AD·AE；
(2)如图2-1-20(2)所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【解】(1)证明：如图(3)，
连接BE.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
又∠BAD＝∠EAB，
即AB 2＝AD ·AE . (2)如图(4)，连接BE ， 结论仍然成立，证法同(1)．
[能力提升]
1．如图2-1-21，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ，那么CD AB 等于( ) 【导学号：07370032】
图2-1-21
A ．sin ∠BPD
B ．cos ∠BPD
C ．tan ∠BP
D D ．以上答案都不对
【解析】 连接BD ，由BA 是直径，
知△ADB 是直角三角形． 由∠DCB ＝∠DAB ，
∠CDA ＝∠CBA ，∠CPD ＝∠BP A ，得△CPD ∽△APB ， PD PB ＝CD
AB ＝cos ∠BPD . 【答案】 B
2．如图2-1-22所示，已知⊙O 为△ABC 的外接圆，AB ＝AC ＝6，弦AE 交BC 于D ，若AD ＝4，则AE ＝__________.
图2-1-22
【解析】 连接CE ，则∠AEC ＝∠ABC ，
又△ABC 中，AB ＝AC ，
∴△ADC∽△ACE，
∴AD
AC＝
AC
AE，
∴AE＝AC2
AD＝9.
【答案】9
3．如图2-1-23，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是__________．
图2-1-23
【解析】由圆周角定理，
得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，
∴AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴周长等于9.
【答案】9
4.如图2-1-24，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE，AD交于点P.求证：
图2-1-24
(1)D是BC的中点；
(2)△BEC∽△ADC；
(3)AB·CE＝2DP·AD.
【证明】(1)因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
因为AB＝AC，所以D是BC的中点．
(2)因为AB 是⊙O 的直径， 所以∠AEB ＝∠ADB ＝90°， 即∠CEB ＝∠CDA ＝90°， 因为∠C 是公共角， 所以△BEC ∽△ADC . (3)因为△BEC ∽△ADC ， 所以∠CBE ＝∠CAD . 因为AB ＝AC ，BD ＝CD ， 所以∠BAD ＝∠CAD ， 所以∠BAD ＝∠CBE ， 因为∠ADB ＝∠BEC ＝90°， 所以△ABD ∽△BCE ， 所以AB BC ＝AD BE ，所以AB AD ＝BC BE ，
因为∠BDP ＝∠BEC ＝90°，∠PBD ＝∠CBE ， 所以△BPD ∽△BCE ， 所以DP CE ＝BD BE .
因为BC ＝2BD ，所以AB AD ＝2DP
CE ， 所以AB ·CE ＝2DP ·AD .。