人教版高中数学高一A版必修4导学案 向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义，会作向量m a＋n b.
2．熟练掌握和运用向量数乘的运算律，会化简向量关系式，并能用已知向量表示未知向量．
3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线．
1．向量的数乘
①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数；但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是错误的．
②对任意非零向量a，则向量a
|a|
是与向量a同向的单位向量．
③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．
【做一做1】已知非零向量a，b满足a＝4b，则()
A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反
2．向量数乘的运算律
向量的数乘运算满足下列运算律：
设λ，μ为实数，则
(1)λ(μa)＝________；
(2)(λ＋μ)a＝________；
(3)λ(a＋b)＝________(分配律)．
特别地，我们有(－λ)a＝______＝______，λ(a－b)＝______.
在△ABC中，D是BC的中点，则有AD→＝1
2(AB
→＋AC→)．
【做一做2】3(2a－4b)等于()
A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．6a－12b 3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______．
(1)向量共线的条件：当向量a＝0时，a与任一向量b共线；当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．反之，已知向量b与a(a≠0)共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍，即|b|＝λ|a|，那
么当b 与a 同方向时b ＝λa ，当b 与a 反方向时b ＝－λa .
(2)如果向量a 与b 不共线，且λa ＝μb ，那么λ＝μ＝0.
已知三点A ，B ，C 共线，O 是平面内任意一点，则有OC →＝λOA →＋mOB →
，其中λ＋m ＝1. 【做一做3】 已知P 是线段MN 的中点，则有( ) A.MN →＝2NP → B.MP →＝12
MN →
C.PN →＝12
NM → D.MP →＝NP →
4．向量的线性运算
向量的____、____、______运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝________.
向量λ(μ1a ＋μ2b )可以用平行四边形法则作出，如图所示，OE →
＝λ(μ1a ＋μ2b )．
【做一做4】 在ABCD 中，AB →＝2a ，AD →＝3b ，则AC →
等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2a ＋3b D ．2a －3b
答案：1．向量 相同 0 相反
【做一做1】 C ∵a ＝4b,4＞0，∴|a |＝4|b |. ∵4b 与b 的方向相同，∴a 与b 的方向相同．
2．(1)(λμ)a (2)λa ＋μa (3)λa ＋λb －(λa ) λ(－a ) λa －λb 【做一做2】 D 原式＝3×2a －3×4b ＝6a －12b . 3．b ＝λa
【做一做3】 B 如图所示，MN →＝－2NP →，PN →＝12MN →，MP →＝PN →
，则选项A ，C ，D 不
正确，很明显MP →＝12
MN →
，则选项B 正确．
4．加 减 数乘 λμ1a ±λμ2b
【做一做4】 C AC →＝AB →＋AD →
＝2a ＋3b .
共线向量定理的应用
剖析：共线向量定理可以分为两个定理：
判定定理：如果存在一个实数λ满足b ＝λa (λ∈R )，那么a ∥b . 性质定理：如果a ∥b ，a ≠0，那么存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .
(1)判定定理的结论是a ∥b ，那么用共线向量定理可以证明两向量共线．即证明向量a ∥b ，只需找到满足a ＝λb 或b ＝λa 的实数λ的值即可．
(2)判定定理的结论是a ∥b ，则有当OA →＝a ，OB →
＝b 时，有O ，A ，B 三点共线，即用共线向量定理可以证明三点共线．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
(3)判定定理的结论是a ∥b ，当a 和b 所在的直线分别是直线m 和n 时，则有直线m ，n 平行或重合．即用共线向量定理可以证明两直线平行．
例如：如图，已知△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，并且AD=xAB ，AE=xAC ，0＜x ＜1.
求证：DE ∥BC ，且DE=xBC. 证明：∵AD=xAB ，AE=xAC ， ∴AD →=x AB →，AE →=x AC →. ∴DE →=AE →－AD →=x(AC →－AB →)=x BC →. ∴DE ∥BC 且DE=xBC.
(4)性质定理的结论是b =λa ，则有|b |=|λ|·|a |，当OA →=a ，OB →=b 时，|OB →|=|λ|·|OA →
|，从而OB=|λ|OA.即用共线向量定理可以证明两平行线段间的长度关系．
例如：平行四边形OACB 中，BD=13BC ，OD 与BA 相交于E.求证：BE=1
4
BA.
证明：如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′=1
4
BA.
设OA →=a ，OB →
=b ，
则BD →=13a ，OD →
=b +13a .
∵BE →=OE ′→－b ，=a －OE ′→,3BE ′→=
，
∴3(OE ′→－b )=a －OE ′→.
∴OE ′→=1
4(a +3b )=34(b +13
a )，
∴OE ′→=34
OD →.
∴O ，E ′，D 三点共线，即E ，E ′重合．
∴BE=14
BA.
由此可见，证明两平行线段的长度关系可转化为证明这两条线段构成的向量共线．
题型一 化简向量关系式
【例1】 计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋1
3b ； (2)12⎣
⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . 分析：综合运用实数与向量的运算律解题．
反思：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
题型二 用已知向量表示未知向量
【例2】 已知ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点．若AM →＝e 1，AN →
＝e 2，试用
e 1，e 2表示DB →，AO →
.
分析：由于DB →∥MN →，则用e 1与e 2表示MN →可得DB →
；在△AMN 中，AO 是MN 边上的中
线，则可用AM →，AN →表示AO →
.
反思：用已知向量表示未知向量时，通常要结合图形的特点，把未知向量放到三角形或平行四边形中，适当选择向量的加法、减法和数乘运算来求解．有时，可借助于共线向量来
解决(如本题求DB →
)．
题型三 已知向量a ，b ，求作向量m a ＋n b
【例3】 已知向量a ，b ，如图所示，求作向量2a －3b .
分析：分别作出有相同起点的向量2a 与3b ，利用三角形法则作出向量2a －3b . 反思：已知a ，b ，求作向量m a ＋n b 时，先作出向量m a 与n b ，借助三角形法则或平行四边形法则作出m a ＋n b .
题型四 共线问题
【例4】 已知向量a ，b 不共线，OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →
＝a ＋3b . (1)求证：A ，B ，C 三点共线；
(2)试确定实数k 的值，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．
分析：(1)由于AC →与AB →有公共点，则转化为证明AC →∥AB →
，根据共线向量定理，只需找到满足AC →＝λAB →
的实数λ即可；(2)由于k a ＋b 与a ＋k b 共线，根据共线向量定理，存在实数
λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，借助于等式两边a 与b 的系数，列方程组解得k 的值．
反思：(1)证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所表示的向量共线，如本题(1)．
(2)已知向量m a ＋n b 与k a ＋p b (a 与b 不共线)共线求参数的值的步骤： ①设m a ＋n b ＝λ(k a ＋p b )；
②整理得m a ＋n b ＝λk a ＋λp b ，故⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝λk ，
n ＝λp ；
③解方程组得参数的值．如本题(2)．
答案：
【例1】 解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －3
4b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c . 【例2】 解：∵M ，N 分别是DC 和BC 的中点， ∴MN
12
BD . ∵MN →＝e 2－e 1，∴DB →＝2MN →
＝2e 2－2e 1. 又AO 是△AMN 的中线， ∴AO →＝12(AN →＋AM →
)＝12e 2＋12e 1.
【例3】 解：步骤如下；
(1)作向量OA →＝2a ，OB →
＝3b .如图所示．
(2)连接BA ，则BA →
就是所求作的向量．
【例4】 解：(1)证明：∵OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →
＝a ＋3b ， ∴AC →＝OC →－OA →
＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， AB →＝OB →－OA →
＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ，
∴AC →＝2AB →，∴AC →∥AB →.
又AC 与AB 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)∵(k a ＋b )∥(a ＋k b )，
∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋kλb ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝kλ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝－1，λ＝－1，∴k ＝±1.
1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a
C ．a －6b
D ．a －8b
2．已知向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，
D D ．A ，C ，D 3．已知两个非零向量e 1和e 2不共线，且k e 1＋2e 2和3e 1＋k e 2共线，则实数k ＝__________.
4．已知向量a ，b 如图所示，求作向量
1
2
a ＋2
b . 5．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE ，BF 的交点，若AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示DE ，BF ，CG .
答案：1．D 原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b . 2．A AD ＝AC ＋CD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b ＝3AB ， ∴A ，B ，D 三点共线．
3． ∵k e 1＋2e 2和3e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使得k e 1＋2e 2＝λ(3e 1＋k e 2)．
∴k e 1＋2e 2＝3λe 1＋kλe 2，∴3,
2,
k k λλ=⎧⎨=⎩解得k ＝±6.
4．解：步骤如下： (1)作向量OA ＝
1
2
a ，OB ＝2
b ，如图所示．
(2)以OA ，OB 为邻边作OACB ，则向量OC 就是所求作的向量． 5．解：DE ＝DC ＋CE ＝AB ＋
12CB ＝AB －12AD ＝a －12
b ； BF ＝BC ＋CF ＝AD ＋12CD ＝AD －12AB ＝1
2
-a ＋b .
如图所示，连接BD ，则G 是△BCD 的重心，连接AC 交BD 于点O ，
则O 是BD 的中点，点G 在AC 上． ∴CG ＝23CO ＝2132CA ⨯＝13AC -＝1()3AB AD -+＝1
()3
-+a b ．。