微积分 函数之单侧极限与无穷大

双侧极限。 就常被称为 双侧极限。
利用单侧极限定义 验证极限问题
用定义验证： lim 2 = 0
x → −0
1 x
证： 任意取定正数
1 > ε > 0 ，取 δ =
1 x
1 log 2 ( ) 1
>0
1 x
ε
则当 − δ < x < 0 时，有： f ( x) − A = 2 − 0 = 2
1 1 <− x δ − 1
x → x0 ± 0
lim x = x0 .
（3）求 “整式函数 ” 和 “某些 有理分式函数 ” 的 单侧极限 时 ）
代入法 仍然成立；求 “另一些 有理分式函数 ” 的 单侧极限
时，消去零因式法 仍然成立 ；求 “某些 无理分式函数 ” 的
单侧极限 时，共轭因式法 也仍然成立 。
2. 单侧极限的应用实例 函数 f ( x ) 的 单侧极限 概念在研究 分段函数 的应用。 限时有 不可或缺 的应用。 的极
) 。
[ x] k −1 k −1 a −1 Q lim = lim = = <1 ; x→ a −0 x x→ a−0 x a a k [ x] k 而 lim = lim = =1 ; x→ a+0 x x→ a+0 x a [ x] [ x] [ x] ∴ lim ≠ lim ⇒ 此时 lim 不存在 。 x→ a x x→ a+0 x x→ a−0 x
或者 x0 < x < x0 + δ 都可成立 f ( x) − A < ε
∴ ε − δ 语言可以表为：∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , 无论 x0 − δ < x < x0
如果 ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , 当 x0 − δ < x < x0 便可成立 f ( x) − A < ε , 这时有什么具体含义？
§4. 单侧极限与无穷大 1. 单侧极限概念及其定义
lim 当自变量趋于有限数时，函数极限 x→ x f ( x ) = A 的数量化刻画是 0 “ ε− δ 语言 ” ：
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , s.t. 0 <
x − x0
<δ ⇒
f ( x) − A < ε
Q
0 < x − x0 < δ ⇔ x0 − δ < x < x0 或 x0 < x < x0 + δ
即若以下极限 （ xlim+ 0 可换成 → x
0
x → x0 + 0
lim
f ( x) = A,
x → x0 + 0
lim g ( x ) = B
,
x → x0 − 0
lim ） ， 则
x → x0 + 0
(I )
( II )
x → x0 + 0
lim [ f ( x ) + g ( x )] 亦存在，且有： lim [ f ( x ) + g ( x )] = A + B ;
x 3 − ax + 3 a , x > 2 例 3 . 已知 y = f ( x ) = ， x<2 2 ax − 4 , 且 lim f ( x ) 存在， 求： 常数 a 及 lim f ( x ) 的值 .
x→ 2 x→ 2
解：Q lim f ( x ) 存在， ∴
x→ 2
x→ 2+0
x → x0 + 0
( IV ) 如果还有 且有：
B ≠0 , 则 lim
x → x0 + 0
lim
f (x) 亦存在， g (x)
x → x0 + 0
f ( x) A = . g ( x) B
已知结果仍然是： （2）“简单函数 ” 的 单侧极限 已知结果仍然是： ）
x → x0 ± 0
lim C = C ( C为常数） ;
[a] ， a 不是整数 [ x] 即 lim = 。 a x→a x 不存在 ， a 为整数
[ x] 作业： 1 . 求极限 lim ( a≤0 ) ) 。 x→ a x 2 . 求极限 lim ( x − [ x ]) .
x → x0
题型 II：已知 分段函数 在 分段点 上极限存在，求函数表示式中的 上极限存在， 待定常数问题 .
x →−1 x →−1
1−1+ 2 = 2 ,
x + 3 代入法 4 = lim0 = = 2 ,∴ xlim0 f ( x ) = xlim0 f ( x ) = 2 →1− →1+ x → 1− x +1 2 ⇒ lim f ( x ) 存在，且 lim f ( x ) = 2 .
x →1 x →1
x 3 − x + 2 , x > −1 3 例 2 . 已知 y = f ( x ) = x + 2 x + 3 ， , x < −1 3 x +1 (1) 试问： lim f ( x ) 是否存在？ 如果存在，求出其值 .
这时可以理解为：只考虑点 x0 的 左邻域 内，自变量 从左边趋于
有限数 x0 时， 函数值 f ( x ) 有向常数 A 无限趋近的变化趋势。 无限趋近的变化趋势。
这种情况下， 这种情况下，称函数 f ( x ) 在点 x0 的
左极限 存在，记为： 存在，记为：
x → x0 −0
lim f ( x ) = A
3
lim f ( x ) = lim f ( x ) .
x→ 2−0
代入法
由于
x→ 2−0
lim 0 f ( x ) = xlim 0 ( x − ax + 3 a ) x→ 2+ → 2+
代入法
= 8+a ,
lim f ( x ) = xlim− 0 ( 2 ax − 4 ) → 2
= 4a − 4 ,
∴
(2)
代入法
lim f ( x ) = x → −1 − 0
x→
5 ≠ 2 = x lim+ 0 f ( x ) → −1 3
x→ −2
⇒
x → −1
lim f ( x ) 不存在 .
.
lim
−2
f ( x ) = lim
x + 2x + 3 x3 + 1
3
代入法
(−2)3 + 2(−2) + 3 9 = = 3 (−2) + 1 7
类似地，如果 ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , 当 x0 < x < x0 + δ 便可成立 : f ( x) − A < ε , 这时的具体含义是：
只考虑点 x0 的 右邻域 内，自变量 从右边趋于 有限数 x0 时，函 数值 f ( x ) 有 向常数 A 无限趋近的变化趋势。 无限趋近的变化趋势。
代入法
x → 1+ 0
lim
f ( x ) = lim ( x 2 − x + 2 )
x → 1+ 0
=
x 2 + 2 x − 3 = lim ( x − 1)( x + 3 ) lim f ( x ) = lim x → 1 − 0 ( x − 1 )( x + 1 ) x → 1− 0 x → 1− 0 x2 −1
题型 I：研究 分段函数 在 分段点 上的函数极限问题 .
x2 − x + 2 , x ≥ 1 2 例1 . 已知 y = f ( x ) = x + 2 x − 3 ， 试问： , x <1 2 x −1 lim f ( x ) 是否存在？ 如果存在，求出其值。
x →1
解： Q
lim [ f ( x ) − g ( x )] 亦存在，且有： lim [ f ( x ) − g ( x )] = A − B ;
x → x0 +0
x → x0 + 0
( III )
x → x0 + 0
lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] 亦存在，且有： lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = A ⋅ B ;
这种情况下， 存在，记为： 这种情况下，称函数 f ( x ) 在点 x0 的右极限 存在，记为：
x → x0 + 0
lim
f (x) = A
函数 f ( x ) 在点 x0 的 左极限 与 右极限 统称为函数 f ( x ) 在 点 x0 处的 单侧极限 。原规定的函数 f ( x ) 在点 x0 的 极限 也
∴ 8 + a = 4a − 4
x→ 2
⇔
a =4 .
lim f ( x ) = lim
x→ 2+0
f ( x ) = 8 + a = 12 .
例 4 . 已知 y = f (x) = 且 lim f ( x ) = 1 , lim f
x→ 2+0 x→ 2−0
x 3 − ax + 3 b , x > 2 2 ax 3 + 3 bx + 4 , x < 2 3 2 x − 2 x − 12 ( x ) 存在，
解： 若 a 满足 k −1 < a < k ， 其中 k 为某个正整数 ， [ x] k −1 k − 1 [a ] 则 lim = lim = ; = x→ a x x→ a x a a 若 a = k ， 其中 k 为某个正整数 ，
[ x] 求极限 lim ( a > 0 为某个正常数 x→ a x
而 lim (2ax + 3bx + 4) = 16a + 6b + 4 ⇒ 8a + 3b + 2 = 0 ;
3 x → 2 −0
代入法
1 a = 8 − 2 a + 3b = 1 ⇒ 解 . 2 8 a + 3b + 2 = 0 b = −2 2ax3 + 3bx + 4 （2） 这时 xlim0 f ( x) = xlim0 3 → 2− → 2− 2 x − 2 x − 12 3 2 ( x − 2 )( x + 2 x − 2） x − 6x + 4 = xlim− 0 = xlim− 0 2 3 → 2 → 2 ( x − 2 )( 2 x + 4 x + 6） 2 x − 2 x − 12 2 代入法 6 3 x + 2x − 2 , = = = xlim2 − 0 2 → 22 11 2x + 4x + 6 3 ∴ lim f ( x ) = ≠ 1 = lim f ( x ) x→ 2−0 x→ 2+0 11 ⇒ lim f ( x ) 不存在 .
x → −1
( 2 ) 求： lim f ( x ). 解：(1) Q
x → −2
x→−1+ 0
lim f ( x) = lim ( x3 − x + 2)
x→−1+ 0
= 13 − 1 + 2 = 2 , 3 2 x + 2x + 3 ( x + 1)( x − x + 3) lim f ( x ) = lim = lim 3 x → − 1− 0 x → − 1− 0 x → − 1− 0 ( x + 1)( x 2 − x + 1) x +1 x 2 − x + 3 代入法 5 = , = xlim− 0 2 → −1 3 x − x +1
x→ 2
当 x < −1 ax + b 例5. 确定 a及 b, 使得 f ( x) = 1 当 x = −1 x 3 − ax 2 + bx + 2a , 当 x > −1 2 3x + 10x + 7 的极限 lim f ( x) 存在 , 并算出 lim f ( x) .
<
2
δ
=ε .
1 x x → −0
根据函数极限定义， lim 2 = 0.
单侧极限 与 双侧极限 的相互关系显然有以下的定理： 的相互关系显然有以下的定理： 定理：函数 f ( x ) 在点 x0 点处有（双侧） 极限 的充分必要条件是： 的充分必要条件是： 定理： 双侧） 它在点 x0 处的 左极限 与 右极限 均 存在 并且 相等 。 说明 (1)函数极限的 四则运算法则 对函数的 单侧极限 也是成立的。 也是成立的。 函数极限的
x→ 2−0
，
求
(1 ) (2)
常数
x→ 2
a
ห้องสมุดไป่ตู้
,
b
及
lim
f ( x ) 的值 .
lim f ( x )
x→2+0
是否存在？
解： 1） （ Q
lim f ( x ) = 1 ，
3
代入法
而 xlim0 f ( x ) = xlim0 ( x − ax + 3b ) → 2+ → 2+
⇒ 8 − 2 a + 3b = 1 ;
= 8 − 2 a + 3b ,
2ax 3 + 3bx + 4 Q lim (2ax 3 + 3bx + 4) = lim [ 3 ⋅ (2 x 3 − 2 x − 12)] x → 2 −0 x → 2 − 0 2 x − 2 x − 12
2ax3 + 3bx + 4 3 = xlim 3 ⋅ xlim(2x3 − 2x −12) = xlim f (x) ⋅ xlim(2x − 2x −12) = 0, → 2−0 → 2−0 → 2−0 2x − 2x −12 → 2−0