2019年高中数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.1 2.1.3 推理案例赏析

2．1.3推理案例赏析
2．1.4
[对应学生用书P23]
[例1]
记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．
[思路点拨](1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．
(2)由数阵可直接写出答案．
(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．
[精解详析](1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．
[答案]6,16,25,25,16,6
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11
(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，
∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.
[一点通]对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．
1．设[x]表示不超过x的最大整数，如[5]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N*)．
我的发现：[1]＋[2]＋[3]＝3；
[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10；
[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21；
…
通过归纳推理，写出一般性结论_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)．
解析：第n行右边第一个数是[n2]，往后是[n2＋1]，[n2＋2]，…，最后一个是[n2＋2n]．等号右边是n(2n＋1)．
答案：[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋…＋[n2＋2n]＝n(2n＋1)
2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？
解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为
(2)观察：3＋2－3＝2，
通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.
(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个平面图形有1 996条边．
[例2] 通过计算可得下列等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …
(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1. 将以上各等式两边分别相加，得
(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 即12＋22＋32＋…＋n 2＝1
6
n (n ＋1)(2n ＋1)．
类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值．
[思路点拨] 类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24,44－34，…(n ＋1)4－n 4，然后将各式相加求解．
[精解详析] ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1， 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1， 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1， …
(n ＋1)4－n 4＝4×n 3＋6×n 2＋4×n ＋1. 将以上各式两边分别相加，
得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ∴13＋23＋…＋n 3＝1
4⎣⎡ (n ＋1)4－14－6×16n (n ＋1)·
⎦⎤(2n ＋1)－4×n (n ＋1)2－n ＝14n 2(n ＋1)2.
[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．
(2)类比推理的步骤与方法
第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．
第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．
3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝4
3πr 3，观察发现V ′＝S .则四
维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.
解析：(2πr 4)′＝8πr 3. 答案：2πr 4
4．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面的面积，S 4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．
解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S 24
＝S 21＋S 22＋S 23.
答案：S 24＝S 21＋S 22＋S 2
3
[例3] 已知n 1n ∈N *.
求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.
[思路点拨] 对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算． [精解详析] ∵{a n }为等差数列， ∴a n ＋1＋a n －1＝2a n . ∵d >0，
∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a 2n －d 2<a 2n .
∵a 1>1，d >0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1. ∴lg a n >0. ∴lg a n ＋1·lg a n －1≤⎝⎛
⎭⎫lg a n ＋1＋lg a n －122
＝⎣⎡⎦⎤12lg (a n －1a n ＋1)2<⎣⎡⎦⎤12lg a 2n 2
＝(lg a n )2， 即lg a n ＋1·lg a n －1<(lg a n )2.
[一点通] 三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M 的所有元素都具有
性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .
5．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .
(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；
(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值． 要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．
解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，侧面BCC 1B 1是菱形(小前提)， 所以B 1C ⊥BC 1(结论)．
又线面垂直的判定定理(大前提)， B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B (小前提)， 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)． 又面面垂直的判定定理(大前提)，
B 1
C ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊥平面A 1BC (小前提)， 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．
(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A 1B ∥平面B 1CD (小前提)，所以A 1B ∥DE (结论)． 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1∶1. 6．求证：函数y ＝2x －1
2x ＋1是奇函数，且在定义域上是增函数．
证明：y ＝f (x )＝(2x ＋1)－22x ＋1＝1－2
2x ＋1，
所以f (x )的定义域为x ∈R .
f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－22x ＋1
＝2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1
＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·
2x
2x ＋1
＝2－2(2x ＋1)2x ＋1
＝2－2＝0，
即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－22x 2＋1
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2＋1－12x 1＋1 ＝2·2x 1－2x 2
(2x 2＋1)(2x 1＋1)
.
因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)．故f (x )为增函数．
1．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．
2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．
[对应学生用书P25]
一、填空题
1．设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．
所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1. 答案：k －1
2．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝______；f (n )＝______.(答案用数字或含n 的式子表示)
解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n ＋n ＋n (n －3)2＝n 2＋n
2.
f (4)＝4×2＋4×1
2
×2＝12，
f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2×(n －2)＝n (n －1)(n －2)
2.
答案：n 2＋n 2 12 n (n －1)(n －2)
2
3．(陕西高考)已知f (x )＝ x 1＋x
，x ≥0，若 f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *, 则f 2 014(x )的表达式为________．
解析：由f 1(x )＝x
1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ＝x
1＋x 1＋x 1＋x
＝x
1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x
1＋2x 1＋
x 1＋2x
＝
x
1＋3x ，故可猜想f 2 014(x )＝x 1＋2 014x . 答案：
x
1＋2 014x
4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
23
＝⎩⎪⎨⎪⎧
3，5， 33＝⎩⎪
⎨⎪⎧
7，
9，
11，
43
＝⎩⎪⎨⎪⎧
13，
15，17，
19，
….
仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________. 解析：根据分裂特点，设最小数为a 1， 则ma 1＋m (m －1)
2×2＝m 3，
∴a 1＝m 2－m ＋1.
∵a 1为奇数，又452＝2 025，
∴猜想m ＝45.
验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×45
2.
答案：45 5．观察以下等式
sin 230°＋cos 290°＋3sin 30°·cos 90°＝1
4；
sin 225°＋cos 285°＋3sin 25°·cos 85°＝1
4；
sin 210°＋cos 270°＋3sin 10°·cos 70°＝1
4
.
推测出反映一般规律的等式：____________________. 解析：∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°， ∴其一般规律为sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝14.
答案：sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝1
4
二、解答题
6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
(3)一次函数是单调函数，函数y ＝2x －1是一次函数，所以y ＝2x －1是单调函数； (4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，数列1,2,3…，n 是等差数列，所以数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．
解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提) 海王星是太阳系中的大行星，(小前提) 海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论) (2)所有导体通电时发热，(大前提) 铁是导体，(小前提) 铁通电时发热．(结论)
(3)一次函数都是单调函数，(大前提) 函数y ＝2x －1是一次函数，(小前提)
y＝2x－1是单调函数．(结论)
(4)等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q(p，q是常数)，(大前提)
数列1,2,3，…，n是等差数列，(小前提)
数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．(结论)
7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)
解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；
(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．
(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；
(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．
(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；
(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.
(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；
(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．
8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)写出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求
1
f(1)
＋
1
f(2)－1
＋
1
f(3)－1
＋…＋
1
f(n)－1
的值．
解：(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …
由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， 所以当n ≥2时， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)
＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…
＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)] ＝2n 2－2n ＋1.
f (1)＝1也适合上式，故f (u )＝2n 2－2n ＋1(n ∈N *)． (3)当n ≥2时，
1
f (n )－1＝1
2n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
1n －1－1n ， 所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1
＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n
＝1＋1
2⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .。