湖南省茶陵县第三中学人教A版高中数学必修1课件：第三章复习2

[解析] 解法 1：很明显，从 V 与 h 的函数图象看，V 从 0 开始后，h 先增加较慢，后增加较快，因而应是底大口小的 容器，即应选 B.
解法 2：取特殊值 h＝H2 ，可以看出 C，D 图中的水瓶的 容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析， 排除 A，C，D，应选 B.
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综上所述，当 a<－2 时，函数 f(x)无零点； 当 a＝－2，或 a>－1 时，函数 f(x)有两个零点； 当－2<a<－1 时，函数 f(x)有四个零点； 当 a＝－1 时，函数 f(x)有三个零点．
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[规律方法] 分类讨论的一般步骤： (1)明确讨论对象，确定讨论范围； (2)确定分类标准，进行合理分类； (3)逐类讨论，获得阶段性成果； (4)归纳总结，得到结论．
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[例 6] 方程 log2(x＋4)＝2x 的实数解的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[点评] 方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 f(x)的图象与 x 轴有 交点⇔函数 y＝f(x)有零点⇔相应两函数交点的横坐标．
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第三章 函数的应用（章末复习 2）
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专题四 数学思想方法 1．数形结合思想 数与形是数学中两个最古老的，也是最基本的研究对象， 它们在一定条件下相互转化，借助背景图形的性质可使那些 抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思 路或找到问题的结论．精选形结合，不仅是一种重要的解题 方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中 占有重要地位．
[解析]
要判断方程的实数解的个数，只需判断函数 y＝log2(x＋ 4)与 y＝2x 的图象的交点个数即可．
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令 f(x)＝log2(x＋4)，g(x)＝2x，在同一坐标系中作出函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示，据图象可知函数 f(x)与 g(x)的图象 有两个交点，所以方程 log2(x＋4)＝2x 有两个实数解．
[答案] C
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3．分类讨论思想 分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分 类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是 什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按 所确定的同一个标准进行．
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2．函数与方程思想 函数与方程的思想是中学数学的基本思想． 函数思想，是用运动和变化的观点，集合与对应的思想， 去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造 函数，利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题，使问 题获得解决． 方程思想，就是分析数学问题中的变量间等量关系，从 而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题获得解 决．
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本章对于数形结合思想的应用主要体现在：一是读图识 图，二是由图求解析式．
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[例 5] 向高为 H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量 V 与水深 h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
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g(x)＝xx22－＋22xx－－11，，xx≥<00，， 作出函数 g(x)的图象，如图所示． 当 a 在 R 上取值时，函数 h(x)的图象是一系列垂直于 y 轴的直线． ①当 a<－2 时，g(x)的图象与 h(x)的图象无交点，方程 x2 －2|x|－1＝a 无实根，即函数 f(x)无实点；
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②当 a＝－2，或 a>－1 时，g(x)的图象与直线 h(x)的图象 有两个交点，即函数 f(x)有两个零点；
③当－2<a<－1 时，函数 g(x)的图象与直线 h(x)的图象有 四个交点，即函数 f(x)有四个零点；
④当 a＝－1 时，函数 g(x)的图象与直线 h(x)的图象有三 个交点，即函数 f(x)有三＝x2－2|x|－1－a(a∈R)的零点的 个数．
[分析] 函数 f(x)的零点的个数即为方程 x2－2|x|－1－a＝ 0 的根的个数．
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[解析]
令 f(x)＝0，即 x2－2|x|－1＝a. 令 g(x)＝x2－2|x|－1，h(x)＝a，则问题转化为求函数 g(x) 与 h(x)图象交点的个数．
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方程的思想和函数的思想密切相关，是相互转化的．函 数与方程的思想方法，渗透到中学数学的各个领域，在解题 中有着广泛的应用．
本章函数与方程思想的应用，主要体现在：求方程 f(x) ＝0 的实数根，就是确定函数 y＝f(x)的零点，就是求函数 y＝ f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标；其次，在应用题中利用函 数建模，解决实际问题．
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规律总结：该题是一道综合性较强的题目，意在考查学 生整体观察、直觉思维、取特殊值验证等多方面的能力．
根据解法 1、解法 2 的分析，亦可画出 A，C，D 三个图 形中的水瓶的容量 V 与高度 h 的函数关系曲线的草图分别如 下图所示．
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