向量组的线性相关与线性无关【范本模板】

向量组的线性相关与线性无关
1。

线性组合
设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。

【备注1】按分块矩阵的运算规则，12
112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

这
样的表示是有好处的。

2。

线性表示
设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+
则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式，即12
12(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此，b 可
由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组12
12(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
有解，而该方程组有解
当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

3。

向量组等价
设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由
12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

向量组等价的性质：
(1） 自反性 任何一个向量组都与自身等价.
（2） 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价.
（3） 传递性 若向量组I 与II 等价,向量组II 与III 等价，则向量组I 与III 等价。

证明:
自反性与对称性直接从定义得出.至于传递性，简单计算即可得到. 设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅,向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅,向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅。

向量组II 可由III 线性表示，假设1t
j kj k k b y c ==∑,1,2,,j s =⋅⋅⋅.向量组I 可由向量
组II 线性表示，假设1
s
i ji j j a x b ==∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅.因此，
1
1
1
1
1
()s s t t s
i ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅
因此，向量组I 可由向量组III 线性表示。

向量组II 可由I 线性表示,III 可由II 线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出,向量组III 可由I 线性表示.
因此,向量组I 与III 等价.结论成立！ 4。

线性相关与线性无关
设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得
11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=
则称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,否则，称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。

按照线性表示的矩阵记法，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组
1212(,,,)0t t k k a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
有非零解,当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<。

12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，即
1212(,,,)0t t k k
a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
只有零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=。

特别的,若t n =，则12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=,当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆，当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠。

例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =,线性无关即0a ≠.因为，若a 线性相关，则存在数0k ≠，使得0ka =，于是0a =.而若0a =,由于10a a ⋅==，10≠因此，a 线性相关。

例2。

两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。

因为,若,a b 线性相关,则存在不全为零的数12,k k ，使得120k a k b +=。

12,k k 不全为零，不妨假设10k ≠,则2
1
k a b k =-
，故,a b 平行，即对应分量成比例。

如果,a b 平行，不妨假设存在λ，使得a b λ=，则0a b λ-=，于是,a b 线性相关。

例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪
=∈ ⎪ ⎪⎝⎭
都可以由其线性表示，且表示
方法唯一。

事实上，
121233100010001x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
5。

线性相关与无关的性质
（1） 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。

证明：
设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，其中有一个为零，不妨假设0t a =,则
121000100t a a a -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=
因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。

(2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。

证明：
设1212,,,,,,,n t s a a a R βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。

存在不全为零的数
12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得
11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=
这样，
1122120000t t s k a k a k a βββ++⋅⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=
12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，因此，1212,,,,,,,t s a a a βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性相关。

后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确.
(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。

证明:
设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组线性无关的向量。

不妨假设新的元素都增加在向量
最后一个分量之后，成为1212,,,t t a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,12,,,t b b b ⋅⋅⋅是同维的列向量。

令
112212*********t t t t t t t a k a k a k a a a k k k b k b k b k b b b ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+⋅⋅⋅+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。

由向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,可以得到
120t k k k ==⋅⋅⋅==。

结论得证！
（4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。

证明:
设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组向量。

必要性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，则存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得
11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=
12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，设0j k ≠，则
111111j j j j t t
j j
k a k a k a k a a k --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-
充分性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设j
a 可以表示成111,,,,,j j t a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的线性组合，则存在一组数111,,,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅，使得
111111j j j j j t t a k a k a k a k a --++=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+
也就是
1111110j j j j j t t k a k a a k a k a --+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+=
但111,,,1,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅不全为零,因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。

【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。

(5) 若12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关,n b R ∈，使得12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，则b 可由
12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示，且表示方法唯一。

证明：
12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，因此，存在不全为零的数121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅，使得
112210t t t k a k a k a k b +++⋅⋅⋅++=
10t k +≠，否则10t k +=，则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。

由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，我们就得到120t k k k ==⋅⋅⋅==，这样,121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅均为零,与其不全为零矛盾！这样，
11221
t t
t k a k a k a b k +++⋅⋅⋅+=-
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

假设11221122t t t t b x a x a x a y a y a y a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，则
111222()()()0t t t x y a x y a x y a -+-+⋅⋅⋅+-=
由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,有11220t t x y x y x y -=-=⋅⋅⋅=-=,即
1122,,,t t x y x y x y ==⋅⋅⋅=
因此，表示法唯一。

【备注3】 刚才的证明过程告诉我们，如果向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，则表示法唯一。

事实上，向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，即线性方程组1(,,)t a a x b ⋅⋅⋅=有解。

而1,,t a a ⋅⋅⋅线性无关，即1(,,)t r a a t ⋅⋅⋅=。

因此,若有解，当然解唯一，即表示法唯一。

(6) 若线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则t s ≤。

证明：
假设结论不成立，于是t s >.12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

假设
112111112121121(,,,)s s s s x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫
⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭， 122221212222122(,,,)s s s s x x
a x
b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
，
………………………………………………………。

12112212(,,,)t t t t t st s s st x x
a x
b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
，
任取12,,,t k k k ⋅⋅⋅，则
1111211221
2222112212121
2
(,,,)(,,,)t t t t t s t s s st t k x x x k k x
x x k k a k a k a a a a b b b k x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪
++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由于1112121
2221
2
t t s s st x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
为一个s t ⨯阶矩阵,而t s >，因此,方程组 11121212221
2
0t t s s st x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
必有非零解，设为12t k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，于是11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。

因此，存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=.因此，向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，这与向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关矛盾！因此，t s ≤。

(7) 若两线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则t s =. 证明：
由性质（6），t s ≤，s t ≤,因此，s t =。

【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。

(8) 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，P 为n 阶可逆矩阵，则12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关当且仅当
12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性无关。

b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示，当且仅当Pb 可由 12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性表示。

若可以线性表示，表示的系数不变. 证明：
由于P 可逆，因此
1122112211220()0()()()0t t t t t t k a k a k a P k a k a k a k Pa k Pa k Pa ++⋅⋅⋅+=⇔++⋅⋅⋅+=⇔++⋅⋅⋅+=
112211221122()()()()t t t t t t k a k a k a b P k a k a k a b
k Pa k Pa k Pa Pb
++⋅⋅⋅+=⇔++⋅⋅⋅+=⇔++⋅⋅⋅+=
如此，结论得证！
6。

极大线性无关组
定义1 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果存在部分向量组12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅，使得 （1) 12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关；
（2） 12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示； 则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组。

【备注5】 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为其极大线性无关组。

按照定义，
12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示。

但另一方面，12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅也显然可以由 12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅与12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅等价。

也就是说，任何一个向量组都与其极大线性无关组等价。

向量组的极大线性无关组可能不止一个，但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性,它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。

它们又都是线性无关的，因此，由之前的性质(7)，向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数。

这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关组的选取无关,我们称其为向量组的秩,即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数。

【备注6】按照定义，向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，充分必要条件即其秩为t 。

定义2设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果其中有r 个线性无关的向量12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅，但没有更多的线性无关向量，则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组，而r 为
12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩。

【备注7】 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。

一方面，有r 个线性无关的向量，体现了“无关性",另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性”.
【备注8】两个定义之间是等价的。

一方面，如果12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关,且
12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示，那么，12,,,t a a a ⋅⋅⋅就没有更多的线性无关向量，否则,假设有，设为12,,,s b b b ⋅⋅⋅，s r >。

12,,,s b b b ⋅⋅⋅当然
可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示，且还线性无关，按照性质(6），s r ≤，这与假设矛盾!另一方面，假设12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅中r 个线性无关向量，但没有更多的线性无关向量，任取12,,,t a a a ⋅⋅⋅中一个向量，记为b ,则12,,,,r i i i a a a b ⋅⋅⋅线性相关。

按照性质（5)，b 可有12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示（且表示方法唯一）。

【备注9】设向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩为r ，则其极大线性无关向量组含有r 个向量。

反过来，其中任何r 个线性无关向量所成的向量组也是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组.这从定义即可得到。

6.向量组的秩的矩阵的秩的关系
称矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A 的行秩.
定理1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩. 证明：
设()m n ij A a R ⨯=∈，()r A r =。

将其按列分块为12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅。

存在m 阶可逆矩阵P ，使得PA 为行最简形，不妨设为
1,+11,2,12,12,1,1
001
0(,,,)10000000
0r n r n n r r r n b b b b PA Pa Pa Pa b b ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪=⋅⋅⋅=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
线性无关,且PA 中其余列向量都可以由其线性表示，因此，
100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
为PA 的极大线性无关组，其个数为r ，因此，12,,,r a a a ⋅⋅⋅线性无关,且A 中其余列向量均可由其线性表示（且表示的系数不变).因此，A 的列秩等于A 的秩。

将A 按行分块，1T T m b A b ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则12(,,,)T m A b b b =⋅⋅⋅，因此,按照前面的结论，A
的行秩为T A 的秩,而T A 的秩等于A 的秩。

至此，结论证明完毕！ 【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。

7。

扩充定理
定理 2 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,秩为r ，12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅为其中的k 个线性无关的向量，
k r ≤，则能在其中加入12,,,t a a a ⋅⋅⋅中的()r k -个向量，使新向量组为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的
极大线性无关组。

证明：
如果k r =，则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组，无须再添加向量。

如果k r <,则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,于是， 12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示,设为1k i a +,由性质(5）
，向量组 121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅线性无关。

如果1k r +=，则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组，无须再添加向量。

如果1k r +<，则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,于是，12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示，设为2k i a +，由性质(5），向量组
1212,,,,,k k k i i i i i a a a a a ++⋅⋅⋅线性无关。

同样的过程一直进行下去,直到得到r 个线性无关的向量为止。

【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。

只是，这方法并不好实现。

8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示
求向量组12,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现. （1） 将12,,t a a a ⋅⋅⋅合在一起写成一个矩阵12(,,)t A a a a =⋅⋅⋅；
（2) 将A 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为
111211,11,2222,12,,1,000
00000000
0r r n r r n rr r r r n b b b b b b b b b A B b b b +++⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
→= ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
，0,1,2,,ii b i r ≠=⋅⋅⋅，()r r A = (3) 在上半部分找出r 个线性无关的列向量，设为12,,,r j j j ⋅⋅⋅列，则12,,,r j j j ⋅⋅⋅为
B 列向量组的极大线性线性无关组，也是A 列向量组的极大线性线性无关组,也
就是12,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组。

为了在上半部分寻找r 个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找r 阶的非奇异子矩阵。

r 阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。

显而易见,上面矩阵第1到第r 列即向量组的一个极大线性无关组。

其余情形同理。

(4) 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。

这时候得解方程组。

我们将矩阵化为行最简形，则一步就很容易完成了.不妨设行最简形为
1,11,2,12,,1,1000100
010000000
0r n r n r r r n b b b b A B b b +++⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
在B 中第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组，而其余向量表示成其线性组合也非常容易,表示系数即对应的分量。

于是，在A 中，第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组，其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合，表示系数与B 中的一致。

我们的理论依据是性质(8）。

例4.设矩阵2111
21121
44622436979A --⎛⎫
⎪-
⎪
= ⎪--
⎪-⎝⎭
,求A 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示. 【解答】 记12345(,,,,)A a a a a a =，
2131124112
324222431
3103(3)
21112112141121
4112142111203316462244622401010612369793697
9033432101
23
101123
800083
00r r r r r r r r r r r r r r r A --↔-+-+÷-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪------
⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-------
⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
--→- 3433()831010
40
11030001300000039r r r ⨯--⎛⎫
⎪-⎛⎫
⎪
⎪
⎪- ⎪ ⎪→ ⎪
- ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
⎪ ⎪-⎝
⎭
因此，A 的列向量的一个极大线性无关组为124,,a a a ，312a a a =--，
4123433a a a a =+-。