图们市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

图们市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 将函数（其中）的图象向右平移
个单位长度，所得的图象经过点
x x f ωsin )(=0>ω4
π
，则的最小值是（ ）)0,43(
π
ωA ． B ． C ．
D ．
313
52． 在ABC ∆中，222
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111]A ．(0,
]6
π
B ．[
,)6
π
π C. (0,
]3
π
D ．[
,)
3
π
π
3． 设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z =2（+i ），则z=（
）
A ．﹣1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
4． 在中，角，，的对边分别是，，，为边上的高，，若
ABC ∆A B C BH AC 5BH =，则到边的距离为（ ）
2015120aBC bCA cAB ++=
H AB A ．2 B ．3
C.1 D ．4
5． 向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． （m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）
C ．
D ．
7． 已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面
积为（ ）A ．4
﹣
B ．4
﹣
C ．
D ．
+
8． 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．￢p 或q
D ．p 且￢q
9． 直角梯形中,,直线截该梯形所得位于左边图OABC ,1,2AB OC AB OC BC ===A :l x t =形面积为，则函数的图像大致为（
）
()S f t
=
10．若函数则函数的零点个数为（ ）21,1,()ln ,1,
x x f x x x ⎧-≤=⎨>
⎩1
()2y f x x =+A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
11．设集合 ,满足
{}{
}
2
2
|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,,求实数__________.
A B =∅ {}|52A B x x =-<≤ a =12．，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点在双曲线上，满足，
1F 2F 22
221x y a b
-=a 0b >P 120PF PF ⋅= 若
______________.
12PF F ∆【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
13．若实数x ，y 满足x 2+y 2﹣2x+4y=0，则x ﹣2y 的最大值为 ．14．给出下列命题：①存在实数α，使②函数
是偶函数
③是函数的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sinα＜sinβ
其中正确命题的序号是 ．
15．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
16．S n=++…+= ．
三、解答题
17．已知集合A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8﹣b＜x＜b}，M={x|x＜﹣1，或x＞5}，
（1）若A∪M=R，求实数a的取值范围；
（2）若B∪（∁R M）=B，求实数b的取值范围．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
19．(本小题满分10分）选修4­4：坐标系与参数方程．
在直角坐标系中，曲线C 1：（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
{x ＝1＋3cos α
y ＝2＋3sin α
)
标系，C 2的极坐标方程为ρ＝
.2
sin （θ＋π
4
）
（1）求C 1，C 2的普通方程；
（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面
3π4
积．
20．（本题10分）解关于的不等式2
(1)10ax a x -++>.
21．（本小题满分12分）已知函数，设，13
1)(23
+-=
ax x x h x a x h x f ln 2)(')(-=，其中，.
222ln )(a x x g +=0>x R a ∈（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； )(x f ),2(+∞（2）记，求证：.)()()(x g x f x F +=2
1)(≥
x F
22．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论．
（Ⅱ）证明：AM⊥PM．
图们市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
考
点：由的部分图象确定其解析式；函数的图象变换．()ϕω+=x A y sin ()ϕω+=x A y sin 2． 【答案】C 【
解
析
】
考点：三角形中正余弦定理的运用.3． 【答案】B
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），则=a ﹣bi ，由z
=2（+i ），得（a+bi ）（a ﹣bi ）=2[a+（b ﹣1）i]，
整理得a 2+b 2=2a+2（b ﹣1）i ．则
，解得
．
所以z=1+i ．故选B ．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．　
4． 【答案】D
【解析】
考
点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
，这是一个易错点，两个向量的和（点是的中点）,另外，要选好基底
OA OB BA -= 2OA OB OD +=
D AB 向量，如本题就要灵活使用向量，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几
,AB AC
何意义等.5． 【答案】B
【解析】解：如果水瓶形状是圆柱，V=πr 2h ，r 不变，V 是h 的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D 错；
由已知函数图可以看出，随着高度h 的增加V 也增加，但随h 变大，每单位高度的增加，体积V 的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A 、C 错．故选：B ．　
6． 【答案】C
【解析】解：不等式（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立，即（m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立若m+1=0，显然不成立
若m+1≠0，则 解得a ．
故选C ．
【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．
7． 【答案】 A
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，
若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，
则（cosθ+sinθ）=﹣1，
令sinα=，则cosθ=，
则方程等价为sin（α+θ）=﹣1，
即sin（α+θ）=﹣，
∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，
∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1，
则对应的区域为单位圆的外部，
由，解得，即B（2，2），
A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，
直线y=x的倾斜角为，
则∠AOB=，即扇形的面积为，
则P（x，y）构成的区域面积为S=4﹣，
故选：A
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．
8．【答案】C
【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中
命题p ：平面AC 为平面α，平面A 1C 1为平面β，直线A 1D 1，和直线AB 分别是直线m ，l ，显然满足α∥β，l ⊂α，m ⊂β，而m 与l 异面，故命题p 不正确；﹣p 正确；命题q ：平面AC 为平面α，平面A 1C 1为平面β，直线A 1D 1，和直线AB 分别是直线m ，l ，
显然满足l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，而α∥β，故命题q 不正确；﹣q 正确；故选C ．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．　
9． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当时，，当时，01t <≤()21
22
f t t t t =
⋅⋅=12t <≤，所以，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符
()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-()2,0121,12
t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象.10．【答案】D 【
解
析
】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几0)(=x f 个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在上是连续的曲线，且.还必须结合函数的图],[b a 0)()(<b f a f 象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
二、填空题
11．【答案】7
,32
a b =-=【解析】
考
点：一元二次不等式的解法；集合的运算.
【方法点晴】本题主要考查了集合的综合运算问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的解法、集合的交集和集合的并集的运算、以及一元二次方程中韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了转化与化归思想的应用，其中一元二次不等式的求解是解答的关键.
12．1+【
解
析
】
13．【答案】10
【解析】
【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y 过图形上的点A的坐标，即可求解．
【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，
即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）
设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，
经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，
最大值为：10．
故答案为：10．
14．【答案】　②③　．
【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，
②函数=cosx是偶函数，故②正确，
③当时，=cos（2×+）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
15．【答案】　x﹣y﹣2=0　．
【解析】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，
故答案为x﹣y﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
16．【答案】
【解析】解：∵==（﹣），
∴S n=++…+
=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）
=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
三、解答题
17．【答案】
【解析】解：A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8﹣b＜x＜b}，M={x|x＜﹣1，或x＞5}，
（1）当A∪M=R时，应满足，
解得﹣4≤a≤﹣1，
所以实数a的取值范围是[﹣4，﹣1]；
（2）∁R M={x|﹣1≤x≤5}，
B={x|8﹣b＜x＜b}，
B∪（∁R M）=B，
∴∁R M⊆B，
∴，
解得b＞9；
∴实数b的取值范围是b＞9．
18．【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则
P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）
所以=（1，，﹣2），
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|
（III）由（II）知，设，
则
设平面PBC的法向量=（x，y，z）
则=0，
所以令，
平面PBC的法向量所以，
同理平面PDC 的法向量
，因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以
=0，即﹣6+=0，解得t=，
所以PA=．【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
19．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：（α为参数）{x ＝1＋3cos αy ＝2＋3sin α)得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9.
即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9，
由C 2：ρ＝得2sin （θ＋π4）ρ（sin θ＋cos θ）＝2，
即x ＋y －2＝0，
即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.
（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得
x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，
其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0，
将θ＝代入上式得3π4ρ2－ρ－4＝0，
2ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－4，
2∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝＝3.
（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ22C 3：θ＝π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，34
∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝＝.22
2∴△PMN 的面积为S ＝|MN |×d ＝×3×＝3.121222即△PMN 的面积为3.
20．【答案】当1a >时，),1(1
,(+∞-∞∈ a
x ，当1a =时，),1()1,(+∞-∞∈ x ，当1a 0<<时，),1()1,(+∞-∞∈a x ，当0a =时，)1,(-∞∈x ，当0a <时，)1,1(a
x ∈.
考
点：二次不等式的解法，分类讨论思想.
21．【答案】（1）.（2）证明见解析.
]3
4,(-∞【解析】试
题解析：解：（1）函数，，1111]13
1)(23+-=
ax x x h ax x x h 2)('2-=所以函数，∵函数在区间上单调递增，x a ax x x a x h x f ln 22ln 2)(')(2--=-=)(x f ),2(+∞∴在区间上恒成立，所以在上恒成0222ln 2)(')('2≥--=-=x a ax x x a x h x f ),2(+∞1
2
+≤x x a ),2(+∞∈x 立.
令，则，当时，，1
)(2
+=x x x M 2222)1(2)1()1(2)('++=+-+=x x x x x x x x M ),2(+∞∈x 0)('>x M
∴，∴实数的取值范围为.34)2(1)(2=>+=M x x x M ]3
4,(-∞（2），]2
ln )ln ([22ln ln 22)(222
222x x a x x a a x x a ax x x F +++-=++--=令，则111]2
ln )ln ()(222x x a x x a a P +++-=.4
)ln (4)ln (2ln (2ln )2ln ()2ln ()(2
222222x x x x x x a x x x x x x a a P +≥+-+-=+++-+-=令，则，显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，x x x Q ln )(-=x
x x x Q 111)('-=-=)(x Q )1,0(),1[+∞则，则，故.1)1()(min ==Q x Q 41)(≥a P 21412)(=⨯≥x F 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【方法点晴】本题主要考查导数在解决函数问题中的应用.考查利用导数证明不等式成立.（1）利用导数的工具性求解实数的取值范围；（2）先写出具体函数,通过观察的解析式的形式,能够想到解析式里可能存()x F ()x F 在完全平方式,所以试着构造完全平方式并放缩,所以只需证明放缩后的式子大于等于
即可,从而对新函数求4
1导判单调性求出最值证得成立.
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：在棱AD 上找中点N ，连接CN ，则CN ∥平面AMP ；
证明：因为M 为BC 的中点，四边形ABCD 是矩形，
所以CM 平行且相等于DN ，
所以四边形MCNA 为矩形，
所以CN ∥AM ，又CN ⊄平面AMP ，AM ⊂平面AMP ，
所以CN ∥平面AMP ．
（Ⅱ）证明：过P 作PE ⊥CD ，连接AE ，ME ，
因为边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=2
，M 为BC 的中点所以PE ⊥平面ABCD ，CM=
，所以PE ⊥AM ，
在△AME 中，AE=
=3，ME==，AM==，所以AE 2=AM 2+ME 2，
所以AM ⊥ME ，
所以AM ⊥平面PME
所以AM ⊥PM ．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．。