2018年高三最新 冠龙高级中学圆锥曲线过关题 精品

冠龙高级中学圆锥曲线过关题
班级________学号____ 姓名_________ 2018.12.31
一. 填空题
1. 椭圆中心在原点，焦点在y 轴上,长轴长为4,短轴长为2,则焦点坐标为______ .
2. 一椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线x+3y-6=0与两坐标轴的交点,则椭圆的标准方程为____________.
3. 设椭圆162x ＋9
2
y ＝1的焦点为F 1、F 2 , 直线L 经过点F 1且与椭圆相交于M, N 两点, 则
△MNF 2的周长是________.
4. 以两坐标轴为对称轴,实轴长为10，过点(3,-
4
25
)的双曲线方程是________. 5. 直线y=kx+1 与双曲线x 2-4y 2=16,只有一个公共点,则k 的取值集合是
6. 经过点M(10,
38),渐近线方程为y=±3
1
x 的双曲线的标准方程为_________. 7. 抛物线x = 2y 2的准线方程为
8. 已知一抛物线的顶点为原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,此抛物
线的方程是 .
9. 点M 在抛物线y 2=ax 上运动,点N 与点M 关于点A(1,1)对称,则点N 的轨迹方程是_____________.
10. 与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 .
11. 以双曲线
19
162
2=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 . 12. 抛物线2
1
4
y x =
关于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标是 . 13. 已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是2
1
时，点P 到坐标原点的距离是 .
14. 设P 是曲线y 2=4(x －1)上的一个动点，则点P 到点(0,1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值是______________.
15. . 椭圆442
2
=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．
16. . 给出问题：F 1、F 2是双曲线20
162
2y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内 . 二. 选择题
17. 我国发射的“神舟”号宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆,近地点A 距地面为m 千米,远地点B 距地面为n 千米,地球半径为k 千米,则飞船运行轨道的短轴长为 （ ）
（A ）2))((k n k m ++ （B ）))((k n k m ++ （C ）mn （D ）2mn
18. 椭圆122x +3
2
y =1的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么│
PF 1│是│PF 2│的 （ ） （A ）7倍 （B ）5倍 （C ）4倍 （D ）3倍
19. 动点P 到直线x+4=0的距离减去它到M （2，0）的距离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ ）
（A ）直线 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线
20.与双曲线92x -16
2
y =λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是
（ ）
（A ）1442x -812y =1 （B ）-1442x +812y =1 （C ）162x -92y =1 （D ）81
2y －729162
x =1
21. 双曲线162x -25
2
y =1的两条渐近线所夹的锐角是 （ ）
(A)2arctg
54 (B)2arctg 45 (C)π-2arctg 54 (D)π-2arctg 4
5 22. 给定四条曲线：①252
2
=+y x ，②1492
2
=+y x ，③142
2
=+
y x ，④14
22
=+y x .其中与直线x+y-5=0仅有一个交点的曲线是 ( )
（A ）①②③ （B ） ②③④ （C ）①②④ （D ）①③④
23. F 1、F 2为椭圆两个焦点，Q 为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F 1QF 2的外角平分线的垂线，垂足为P ，则P 点轨迹为 （ ）
A 、圆
B 、椭圆
C 、双曲线
D 、抛物线 三、解答题 24. 已知点，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的
轨迹与直线交于D 、E 两点，求线段DE 的长.
25. 已知椭圆C 的方程为1222
=+y x ，点),(b a P 的坐标满足12
22
≤+b a 。

过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：
（1）点Q 的轨迹方程；
（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数．
26.如图, 直线y=
2
1x 与抛物线y=81
x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=
－5交于Q 点.
(1) 求点Q 的坐标；
(2) 当P 为抛物线上位于线段AB 下方
(含A 、B) 的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.
答案
填空题
1. (0,±3)
2. 362x +402y =1或402x +42y =1
3. 16
4. 252y -162
x =1
5. {±4
5
, ±21 } 6. 362x -42y =1 7. x=-81 8. y 2=16x
9. (y-2)2=-a(x-2) 10. 012=--y x 11.y 2=－36(x-4) 12. 1
(0,)16
. 13. 1 14.5 15.25
16
16.17 选择题
17. A 18. A 19. D 20. D 21. A 22. D 23. A 24. [解] 设点C （x,y ），则
根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线
由
故点C 的轨迹方程是
由，得
因为，所以直线与双曲线有两个交点。

设、
， 则
故
25. 解（1）设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，点Q 的坐标为),(y x Q ．当21x x ≠时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为b a x k y +-=)(
由已知
12
,122222212
1
=+=+y x y x （1） b a x k y b a x k y +-=+-=)(,)(2211（2） 由（1）得
0))((2
1
))((21212121=-++-+y y y y x x x x ， （3）
由（2）得
b ak x x k y y 22)(2121+-+=+， （4）
由（3）、（4）及221x x x +=
，221y y y +=，2
12
1x x y y k --=， 得点Q 的坐标满足方程
02222=--+by ax y x 。

（5）
当21x x =时，k 不存在，此时l 平行于y 轴，因此AB 的中点Q 一定落在x 轴上，即Q 的坐标为（a ，0）。

显然点Q 的坐标满足方程（5）。

综上所述，点Q 的坐标满足方程
02222=--+by ax y x 。

设方程（5）所表示的曲线为L ，
则由⎪⎩
⎪⎨⎧=+=--+,12,02222
22y x by ax y x 得024)2(2
2
2
2
=-+-+b ax x b a 。

因为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=∆128222
b a b ，由已知1222
≤+b a ，
所以当12
2
2
=+b a 时，△=0，曲线L 与椭圆C 有且只有一个交点P （a ，b ）。

当12
2
2
<+b a 时，△＜0，曲线L 与椭圆C 没有交点。

因为（0，0）在椭圆C 内，又在曲线L 上，所以曲线L 在椭圆C 内。

故点Q 的轨迹方程为0222
2
=--+by ax y x
（2）由⎩⎨⎧==--+,
0,
02222x by ax y x 解得曲线L 与y 轴交于点（0，0），（0，b ）。

由⎩⎨⎧==--+,
0,02222y by ax y x 解得曲线L 与x 轴交于点（0，0），（a ，0） 当a =0，b =0，即点P （a ，b ）为原点时，（a ，0）、（0，b ）与（0，0）重点，曲线L 与坐标轴只有一个交点（0，0）。

当a =0且20≤
<b ，即点P （a ，b ）不在椭圆C 外且在除去原点的y 轴上时，点（a ，0）
与（0，0）重合，曲线L 与坐标轴有两个交点（0，b ）与（0，0）。

同理，当b =0且10≤<a ，即点P （a ，b ）不在椭圆C 外且在除去原点的x 轴上时，曲线L 与坐标轴有两个交点（a ，0）与（0，0）。

当10<<a 且)1(202a b -<
<，即点P （a ，b ）在椭圆C 内且不在坐标轴上时，曲线
L 与坐标轴有三个交点（a ，0）、（0，b ）与（0，0）。

26.【解】(1) 解方程组
y=2
1x 得
X 1=－4, x 2=8 y=8
1x 2
－4 y 1=－2, y 2=4
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1). 由k AB ==
21,直线AB 的垂直平分线方程y －1=2
1
(x －2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5) (2) 直线OQ 的方程为x+y=0, 设P(x,
8
1x 2
－4). ∵点P 到直线OQ 的距离d=2
4
8
1
2-+x x =
3282812-+x x , 25=OQ ,∴S ΔOPQ =
2
1d OQ =328165
2-+x x .
∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x<43－4或43－4<x≤8.
∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增,
∴当x=8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30.。