因式分解专题复习计划及讲解很详细

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因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决好多数学问题的有力工具．因式分解方法灵便，技巧性强，学习这些方法与技巧，不但是掌握因式分解内容所必需的，而且关于培养学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因
式分解中常用的公式，比方：
（ 1） (a+b)(a-b) = a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2) (a± b)2= a2± 2ab+b2———a2±2ab+b2=(a± b)2；
(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4) (a-b)(a 2 +ab+b2) = a3-b3------a3-b3=(a-b)(a 2 +ab+b2)．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a 2+b2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；
(6)a 3+b3+c 3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例 . 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2b2c2ab bc ca ，则 ABC 的形状是（）
A. 直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形
解： a2b2c2ab bc ca2a22b22c22ab 2bc 2ca ( a b) 2(b c) 2(c a) 20a b c
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例 1、分解因式：am an bm bn
解析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能够运用
公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此能够考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，尔后再考
虑两组之间的联系。

解：原式 = ( am an ) (bm bn)
=a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！
=( m n)( a b)
例 2、分解因式：2ax 10 ay 5by bx
解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式 = (2ax10ay )(5by bx)原式 = (2ax bx )( 10ay5by) =2a( x 5 y)b( x 5 y)=x(2a b) 5 y(2a b)
=(x 5 y)( 2a b)=(2a b)( x 5 y)
练习：分解因式1、a2ab ac bc2、 xy x y 1
（二）分组后能直接运用公式
例 3、分解因式：x2y2ax ay
解析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，诚然能够提公因
式，但提完后就能连续分解，因此只能别的分组。

解：原式 = ( x2y 2 )( ax ay)
=( x y)( x y)a( x y)
=( x y)( x y a)
例 4、分解因式：a22ab b2 c 2
解：原式 = ( a22ab b2 ) c 2
=( a b) 2 c 2
=( a b c)(a b c)
练习：分解因式3、x2x9 y2 3 y 4 、x2y 2z2 2 yz
综合练习：（ 1）x3x 2 y xy 2y3（ 2）ax2bx 2bx ax a b （ 3）x26xy9 y 216a28a1（ 4）a26ab12b9b 24a （ 5）a42a3a29（ 6）4a2x 4a2y b2x b2y （ 7）x22xy xz yz y 2（ 8）a22a b 22b 2ab 1（ 9）y( y2)(m1)(m1)（ 10）(a c)( a c)b(b2a)（ 11）a2(b c) b 2 (a c) c 2 (a b) 2abc（12）a3 b 3c33abc 四、十字相乘法.
（一）二次项系数为 1 的二次三项式
直接利用公式——x2( p q)x pq ( x p)( x q) 进行分解。

特点：（ 1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思虑：十字相乘有什么基本规律
例 . 已知0＜a≤ 5，且a为整数，若2x23x a 能用十字相乘法分解因式，求吻合条件的 a .
解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c ，都要求b24ac >0而且是一个完好平方数。

于是9 8a 为完好平方数，a1
例 5、分解因式：x25x6
解析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于 6=2× 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6)，从中能够发现只有 2× 3 的分解适合，即2+3=5。

12
解： x 25x 6 = x 2(2 3) x 2 313
=(x2)( x 3)1×2+1× 3=5
用此方法进行分解的要点：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数
的代数和要等于一次项的系数。

例 6、分解因式：x27 x6
解：原式 = x2[( 1)( 6)] x( 1)(6)1-1
= ( x1)( x6)1-6
（-1 ）+（-6 ）= -7
练习 5、分解因式 (1) x214x 24 (2) a 215a 36 (3) x 24x 5练习 6 、分解因式(1)x 2x 2(2)y 2 2 y 15 (3)x2 10x 24
（二）二次项系数不为 1 的二次三项式——ax 2bx c
条件：（ 1）a a1a2a1c1
（ 2）c c1c2a2c2
（ 3）b a1c2a2 c1b a1 c2a2 c1
分解结果： ax 2bx c =( a1 x c1 )(a2 x c2 )
例 7、分解因式：3x211x 10
解析： 1 -2
3-5
（-6 ） +（ -5 ）= -11
解： 3x 211x 10 = ( x2)(3x5)
练习 7、分解因式：（ 1）5x27x 6（ 2）3x27 x 2
（ 3）10 x217 x 3（4） 6 y 211 y 10（三）二次项系数为 1 的齐次多项式
例 8、分解因式：a28ab 128b2
解析：将 b 看作常数，把原多项式看作关于a的二次三项式，利用十字相乘
法进行分解。

18b
1-16b
8b+(-16b)= -8b
解： a 28ab 128b 2= a2[ 8b( 16b)]a 8b ( 16b)
=( a8b)(a16b)
练习8、分解因式(1) x23xy 2 y2(2) m 26mn8n 2(3) a 2ab6b2
（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式
例 9、2x27 xy 6y 2例 10、x2y23xy 2
1-2y把 xy 看作一个整体1-1
2-3y1-2 (-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)=
-3
解：原式 =( x 2 y)( 2x3y)解：原式 = ( xy1)( xy2)练习 9、分解因式：（ 1）15x27xy 4 y2（ 2）a2x26ax8
综合练习 10、（ 1）8x67 x31（ 2）12x211xy15 y2
（ 3）( x y)23( x y) 10（ 4）(a b)24a 4b3
（ 5）x2y25x 2 y 6x2（ 6）m24mn4n 23m6n2
（ 7）x24xy 4 y 22x 4 y3（8） 5( a b) 223(a 2 b 2 )10(a b) 2（ 9）4x24xy6x3y y 210（10）12( x y) 211(x 2y2 )2( x y) 2思虑：分解因式：abcx2(a2 b 2 c 2 )x abc
五、换元法。

例 13、分解因式（1）2005x2(2005 21) x2005
（ 2）( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) x2
解：（1）设 2005= a，则原式 = ax2( a21) x a
=(ax1)( x a)
=(2005 x 1)( x2005)
（ 2）型如abcd e的多项式，分解因式时能够把四个因式两两分组相乘。

原式 = (x27x 6)( x25x 6) x 2
设 x25x 6 A，则 x 27x 6 A 2x
∴原式 =( A 2 x) A x 2= A2 2 Ax x 2
=( A x)2= ( x26x 6)2
可编写可更正
练习 13、分解因式（ 1） (x 2
xy y 2 ) 2 4xy( x 2 y 2 ) （ 2） (x 2 3x
2)(4x 2 8x
3) 90
（3） (a 2
1) 2 (a 2 5) 2 4( a 2 3) 2
例 14、分解因式（ 1） 2 x 4
x 3 6x 2
x 2
观察： 此多项式的特点——是关于
x 的降幂排列， 每一项的次数依次少
而且系数成“轴对称” 。

这类多项式属于“等距离多项式” 。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，尔后再用换元法。

解：原式 = x 2 ( 2x
2
x 6
1 1
2 ) = x
2
2( x 2
1
2 ) (x
1 )
x
x
x
x
设 x
1 t ，则 x
2 1
t 2 2
x
x 2
∴原式= 2
2 2 2)
6 = 2 2
x t x 2t t 10 （ t
1，
6
=
x 2 2 5 t 2 = x 2
2 5 x
1
2x
2
x
x
=
x ·2x 2
5 ·x ·x 1
2 = 2 x 2
5x 2 x 2
2x 1
x
x
=
(x 1) 2 (2x 1)( x 2)
（ 2） x 4
4x 3 x 2 4x 1
解：原式 = x 2
( x
2
4x 1 4
1
2 ) = x
2
x 2
1 4 x 1
1
x x
x 2
x
设 x 1
y ，则 x 2
1 y 2
2
x
x 2
∴原式 = x 2 ( y 2
4 y 3) = x 2 ( y 1)( y 3)
可编写可更正=x2 ( x11)( x13) = x 2x 1 x23x 1
x x
练习 14、（ 1）6x47x336 x27x 6
（ 2）x42x3x2 1 2( x x 2 )
六、添项、拆项、配方法。

x33x 24
例 15、分解因式（1）
解法 1——拆项。

解法 2——添项。

原式 = x3 1 3x 23原式 = x33x24x 4x 4 = (x1)( x2x1)3( x1)( x 1)= x(x23x4) (4x 4) = (x1)(x2x 1 3x3)= x(x 1)( x 4) 4( x 1) = (x1)( x24x4)=(x 1)( x24x 4)
= (x 1)( x 2)2=(x 1)( x 2)2
（ 2）x9x6x33
解：原式 = (x91)( x61)( x31)
= (x31)( x 6x 31) ( x31)( x31) ( x 31)
= ( x31)( x 6x3 1 x 3 1 1)
= ( x1)( x2x1)( x62x33)
练习 15、分解因式
（ 1）x39x84224
（）
(x 1)(x1)( x 1)
2
可编写可更正
（ 3）x47x21（ 4）x4x 22ax 1 a2
（ 5）x4y4( x y) 4（ 6）2a2b22a 2 c22b 2c 2a4b4c4七、待定系数法。

例 16、分解因式x2xy 6 y2x13 y 6
解析：原式的前 3 项x2xy6y 2能够分为 ( x 3y)( x 2 y) ，则原多项式必然可分为 ( x 3y m)( x 2 y n)
解：设 x 2xy 6 y 2x13 y 6 = ( x3y m)( x 2 y n)
∵ (x 3y m)( x 2 y n) = x2xy6y 2(m n) x(3n2m) y mn ∴
x2xy 6 y 2x13y6= x2xy6y 2(m n) x(3n2m) y mn
m n1
m2
比较左右两边相同项的系数可得3n 2m13 ，解得
n 3
mn6
∴原式 =( x3y 2)( x 2 y3)
例 17、（ 1）当m为何值时，多项式x2y 2mx 5 y 6
能分解因式，并分
解此多项式。

（ 2）若是x3ax2bx 8 有两个因式为x1和 x 2 ，求 a b 的值。

（ 1）解析：前两项能够分解为(x y)( x y) ，故此多项式分解的形式必为 ( x y a)( x y b)
解：设 x 2y 2mx 5 y 6 = (x y a)( x y b)
则 x 2y 2mx 5 y 6 = x2y 2(a b)x(b a) y ab
a b m a2a2比较对应的系数可得：b a5，解得： b3或 b3
ab6m1m1∴当 m 1 时，原多项式能够分解；
当 m1时，原式=( x y2)( x y3) ；
当 m1时，原式=( x y2)( x y3)
（ 2）解析：x3ax 2bx 8
是一个三次式，因此它应该分成三个一次式相乘，
因此第三个因式必为形如x c 的一次二项式。

解：设 x3ax2bx8 = (x1)( x2)( x c)
则 x3ax2bx8 = x3(3c) x2(23c) x2c
a3c a7
∴ b23c解得 b14 ，
2c8c4
∴ a b =21
练习 17、（ 1）分解因式x23xy10 y 2x9y2
（ 2）分解因式
x 23
xy
2
y
257
y
6
x
（ 3）已知：x22xy3y 26x14 y p 能分解成两个一次因式之积，求常数p 而且分解因式。

（）
k 为何值时，
x
22
xy ky
23
x
5
y
2
能分解成两个一次
4
因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全
经典一：
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的 _______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2 分解因式： m3-4m=.
3. 分解因式： x 2-4y 2= _______.
4、分解因式：x24x 4
=___________ ______。

n
分解因式的结果为 (x 2+y2)(x+y)(x-y)，则 n 的值5. 将 x -y n
为.
6、若x y
5, xy 6 ，则 x2 y xy 2=_________，
2x
2
2 y2=__________。

二、选择题
7、多项式 15m3n25m2 n 20m2n3的公因式是 ()
A、5mn
B、 5m2 n2 C 、5m2n D 、5mn2
8、以下各式从左到右的变形中，是因式分解的是()
A、 a 3 a 3 a29
B、 a2b2 a b a b
23 C、
a24a 5 a a 4 5 D 、m 2m 3 m m 2m
10. 以下多项式能分解因式的是（）
(A)x 2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4
可编写可更正2
11．把（ x－ y）－（ y－ x）分解因式为（）
A．（ x－ y）（ x－ y－1）B．（y－x）（x－y－1）
C．（ y－ x）（ y－ x－1）D．（y－x）（y－x＋1）
12．以下各个分解因式中正确的选项是（）
A． 10ab2c＋ 6ac 2＋ 2ac＝2ac （ 5b2＋ 3c）
B．（ a－ b）2－（ b－a）2＝（ a－b）2（ a－b＋ 1）
C． x（ b＋c－ a）－ y（ a－b－ c）－ a＋ b－ c＝（ b＋ c－a）（ x＋ y－ 1）D．（ a－ 2b）（ 3a＋ b）－ 5（ 2b－ a）2＝（ a－ 2b）（11b－ 2a）
13. 若 k-12xy+9x 2是一个完好平方式，那么k 应为（）
三、把以下各式分解因式：
14、 nx ny15、 4m29n2
16、m m n n n m
17、a32a2b ab2
18、 x22
2
416x19、9(m n)216(m n) 2；
可编写可更正五、解答题
20、如图，在一块边长a
=的正方形纸片中，挖去一个边长
b
=的正方形。

求纸片节余部分的面积。

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径
d 45cm ，外径 D 75cm，长 l 3m。

利用分解因式计算浇制一节这样
的管道需要多少立方米的混凝土(取，结果保留 2 位有效数字 )
l
D d
22、观察以低等式的规律，并依照这类规律写出第(5) 个等式。

可编写可更正
(1)x2 1 x 1 x 1
(2)x4 1 x2 1 x 1 x 1
(3) x81x4 1 x21x1x1
(4)x161x8 1 x41x21x 1 x 1
(5)_________________________________________________
经典二：
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因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法
互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其他学科中也有广
泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；
2.因式分解的结果必然是整式乘积的形式；
3.分解因式，必定进行到每一个因式都不能够再分解为止；
4.公式中的字母能够表示单项式，也能够表示多项式；
5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7.因式分解的一般步骤是：
（1）平时采用一“提” 、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首
可编写可更正
先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不
能推行，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利
用公式法连续分解；
（2）若上述方法都行不通，能够试一试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回首本章所学的内容。

1.经过基本思路达到分解多项式的目的
例 1.分解因式x5x 4x 3x 2x1
解析：这是一个六项式，很明重要先进行分组，此题可把
x 5x 4x 3和x 2x 1 分别看作一组，此时六项式变成二项式，提取
公因式后，再进一步分解；也可把 x 5x4， x 3x2， x 1 分别看作一组，
此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：原式( x 5x 4x3 )(x 2x)
1
x3 (x 2x 1) ( x2x 1)
( x 31)( x2x1)
( x1)( x 2x1)(x 2x1)
解二：原式 = ( x5x 4 )(x 3x2 )( x)
1
x4 (x1)x 2 ( x1)( x1)
( x1)( x 4x1)
( x1)[( x 42x21)x2 ]
( x1)( x 2x1)(x 2x1)
2.经过变形达到分解的目的
例 1.分解因式x33x24
可编写可更正
解一：将 3x 2拆成 2x 2x2，则有
原式x 32x 2(x 24)
x 2 (x2)(x2)( x2)
( x2)( x 2x2)
( x1)( x2) 2
解二：将常数 4 拆成1 3 ，则有
原式x 31( 3x 23)
( x1)( x2x1)(x1)(3x 3)
( x1)( x2 4 x4)
( x1)( x2) 2
3.在证明题中的应用
例：求证：多项式( x 24)( x 210x 21)100 的值必然是非负数
解析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完好平方数、绝对值。

此题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完好平方数。

证明： ( x2
4)( x2
10
x)
100
21
(x2)( x 2)( x3)( x7)100
(x2)( x 7)( x2)( x3)100
(x 25x14)( x 25x6)100
设 y x 25x ，则
原式( y14)(y6)100y 28y 16 ( y 4)2
无论 y取何值都有( y4) 20
( x 24)( x 210x21)100的值必然是非负数
4.因式分解中的转变思想
例：分解因式：(a 2 b c) 3(a b) 3( b c) 3
解析：此题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b，b+c 与 a+2b+c
可编写可更正
的关系，努力搜寻一种代换的方法。

解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
原式 (A B)3 A 3 B 3
A 33A 2B3A
B 2B3 A 3B3
3A 2B3AB 2
3AB (A B)
3( a b)( b c)( a2b c)
说明：在分解因式时，灵便运用公式，对原式进行“代换”是很重要
的。

中考点拨
例 1. 在ABC 中，三边a,b,c满足a216b2c26ab 10bc0求证： a c2b
证明： a 216b2c26a b10bc0
a26ab 9 b2c210bc25b20
即 (a3b)2(c5b) 20
(a 8b c)( a 2 b c)0
a b c
a8b
，即
a8b c0 c
于是有 a2b c0
即 a c 2b
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

例 2. 已知： x
1 2，则 x 3
1 __________
x
x 3
解： x 3
1
( x
1
)( x 2 1 1 )
x 3
x
x
(x
1 1 2
2
1]
)[( x
)
x
x
2 1
2
说明：利用 x 2
1 1 2
2 等式化繁为易。

(x
)
x 2
x
题型显现
1.
若 x 为任意整数，求证： (7 x)( 3 x )(4 x 2 ) 的值不大于 100。

解： (7
x)(3
x)(4
x 2 )
100
(x 7)(x
2)( x 3)( x
2) 100 (x 2 5x 14)( x 2
5x
6) 100
[( x 2 5x) 8( x 2 5x) 16]
(x 2
5x
4) 2 0
(7 x)( 3
x)( 4
x 2 )
100
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。

一个多项式的值不大
于 100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完好平方是一种常用的方法。

2.
将
a 2 (a 1) 2
(a 2 a) 2 分解因式，并用分解结果计算 62
7 2 422 。

解： a 2 (a
1) 2 (a 2
a) 2
a2 a 22a1(a 2a) 2 2( a 2a)1(a 2a) 2 (a 2a1) 2
627 2422
(366124321849
)
说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟1.分解因式：
（）
3x 5
10x
4
8x
3
3x
2
10x 8
1
（ 2） (a 23a3)( a 23a1)5
（ 3） x2 2 xy3y23x5y2
（4 ） x3 7 x 6
2.已知：x y 6， xy1，求： x 3y 3的值。

3. 矩形的周长是28cm，两边 x,y 使 x 3x 2 y xy 2y 30 ，求矩形的面积。

4. 求证： n35n 是 6 的倍数。

（其中 n 为整数）
可编写可更正5.已知： a、 b、 c是非零实数，且
a2b2c2
111111
1，a()b(
a
) c()3 ，求 a+b+c 的值。

b c c a b
6. 已知： a、 b、c 为三角形的三边，比较 a2 b 2c2a2 b2
的大小。

和 4
经典三：因式分解练习题精选
一、填空：（ 30 分）
1、若x22(m 3)x 16 是完好平方式，则m 的值等于_____。

2、x2x m ( x n) 2则 m =____ n =____
3、2x3y2与12x6y的公因式是＿
4、若x m y n= ( x y2 )( x y 2 )( x2y4 ) ，则m=_______，n=_________。

5、在多项式3y 2 ?5y315y5中，能够用平方差公式分解因式的
有 ________________________ ，其结果是 _____________________ 。

6、若x22(m 3)x 16 是完好平方式，则m=_______。

7、x2(_____) x 2 (x 2)( x _____)
8、已知1x x 2x 2004x20050, 则 x 2006________ .
9、若16(a b) 2M 25 是完好平方式M=________。

10、x26x __(x 3) 2，x2___ 9 ( x3) 2
11、若9x2k y 2是完好平方式，则k=_______。

12、若x24x 4 的值为0，则 3x212 x 5 的值是________。

13、若x2ax 15 (x 1)( x15) 则 a =_____。

14、若x y 4, x 2y 2 6 则xy___。

15、方程x24x 0 ，的解是________。

二、选择题：（ 10 分）
1、多项式a( a x)( x b) ab(a x)(b x) 的公因式是（）
A、－ a、 B 、a(a x)( x b) C、 a(a x) D 、a(x a)
2、若mx2kx 9 (2x 3) 2，则m，k的值分别是（）
A、 m=—2， k=6，
B、 m=2，k=12，
C、m=— 4， k=— 12、 D m=4， k=12、
3 、以下名式：x2y 2 , x2y 2 , x2y 2 , ( x)2( y) 2 , x4y 4中能用平方差公
式分解因式的有（）
A、1 个，
B、2 个，
C、3 个，
D、4 个
4、计算(11
2 )(1
1
3 )(1
1
2 )(1
1
2 ) 的值是（）23910
A 、1
B 、
1
,C.
1
,D.
11 2201020
三、分解因式：（ 30 分）
1 、x42x335 x 2
2 、3x 63x 2
3 、25( x 2y) 24(2 y x) 2
4、x24xy 14y 2
5、x5x
6、x31
7、ax2bx 2bx ax b a
8、x418x281
9 、9x436 y 2
10、( x1)( x 2)( x 3)( x 4) 24
四、代数式求值（15 分）
1、已知2x y 1
， xy 2 ，求 2x 4 y 3x3 y 4的值。

3
2、若 x、 y 互为相反数，且( x 2) 2( y 1)2 4 ，求x、y的值
3、已知a b 2 ，求(a2 b 2 ) 28(a 2b2 ) 的值
五、计算：（ 15）
3
（ 1）
4
20012000
（ 2）
11
22
（3）25628 56 22 2442
六、试说明：（ 8 分）
1、关于任意自然数n，( n7) 2(n5) 2都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇
数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（8 分）
1、一种光盘的外D=厘米，内径的 d=厘米，求光盘的面积。

（结果保留两位
有效数字）
2、正方形 1 的周长比正方形 2 的周长长96 厘米，其面积相差 960 平方厘米求这两个正方形的边长。

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进
行了描述：
甲：这是一个三次四项式
乙：三次项系数为1，常数项为1。

丙：这个多项式前三项有公因式
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将
它分解因式。

（ 4 分）
可编写可更正
经典四：
因式分解
一、选择题
1、代数式 a3b2－1
a2 b3,
1
a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是（）22
A、a3b2B 、a2b2C、a2b3D、a3b3
2、用提提公因式法分解因式5a(x － y) －10b·(x －y) ，提出的公因式应该为（）
A、5a－10b B 、 5a＋10b C、5(x－y)D、y－x
32
）
3、把－ 8m＋12m＋4m分解因式，结果是（
2
B 2
A、－ 4m(2m－3m)、－ 4m(2m＋3m－1)
2
D 2
C、－ 4m(2m－3m－1)、－ 2m(4m－6m＋2)
4、把多项式－ 2x4－ 4x2分解因式，其结果是（）
A、2( －x4－2x2)
B、－2(x4＋2x2)
C、－x2(2x2＋4)
D、－2x2(x 2＋2)
5、（－ 2）1998＋（－ 2）1999等于（）
A、－ 21998
B、21998
C、－ 21999
D、21999
6、把 16－ x4分解因式，其结果是（）
A、(2 －x) 4
B、(4＋x2)( 4－x2)
C、(4 ＋x2 )(2 ＋x)(2 －x)
D、(2＋x)3(2－x)
7、把 a4－2a2 b2＋b4分解因式，结果是（）
2224222
、(a －b)4
、(a ＋
A、a (a－2b ) ＋ b B 、 (a － b )C D b) 2(a － b) 2
8、把多项式2x2－ 2x＋1
分解因式，其结果是（）2
A、(2x －1
) 2 B 、2(x －
1
) 2 C 、(x －
1
) 2 D 、
1
(x 2222
－1) 2
9、若 9a2＋ 6(k －3)a ＋1 是完好平方式，则k 的值是（）
A、±4
B、±2
C、3
D、4或2
10、－（ 2x－y）(2x ＋y) 是以下哪个多项式分解因式的结果（）
A、4x2－y2 B 、4x2＋y2 C 、－ 4x2－y2 D 、－ 4x2＋ y2
11、多项式 x2＋3x－54 分解因式为（）
A、(x ＋6)(x － 9)
B、(x－6)(x＋9)
C、(x ＋6)(x ＋ 9)
D、(x－6)(x－9)
二、填空题
1、2x2－4xy－2x = _______(x －2y－ 1)
3 2 2 322
2、4a b －10a b = 2a b (________)
3、(1 －a)mn＋ a－ 1=(________)(mn－1)
4、m(m－n) 2－(n －m)2 =(__________)(__________)
5、x2－ (_______) ＋ 16y2=()
2
6、x2－ (_______) 2=(x ＋5y)( x －5y)
7、a2－ 4(a －b) 2=(__________) ·(__________)
8 、 a(x ＋ y － z) ＋ b(x ＋ y － z) － c(x ＋ y － z)=(x ＋ y －z) ·(________)
9、16(x －y) 2－9(x ＋y) 2=(_________) ·(___________)
10、(a ＋b) 3－(a ＋b)=(a ＋ b) ·(___________) ·(__________)
11、x2＋3x＋2=(___________)(__________)
12、已知 x2＋px＋ 12=(x －2)(x －6) ，则 p=_______.
三、解答题
1、把以下各式因式分解。

(1)x 2－ 2x3(2)3y3－ 6y2＋3y
(3)a 2(x －2a) 2－a(x － 2a) 2(4)(x－2)2－x＋2
(5)25m2－10mn＋ n2(6)12a2b(x － y) － 4ab(y －x)
(7)(x －1) 2 (3x － 2) ＋(2 －3x)(8)a2＋5a＋ 6
(9)x 2－ 11x＋24(10)y2－12y－28
(11)x 2＋4x－5(12)y4－3y3－28y2
2、用简略方法计算。

（ 1） 9992＋999（2）2022－542＋256× 352
(3)
可编写可更正
1997
19972 1996 1998
3、已知： x ＋y= 1
,xy=1. 求 x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3 的值。

2
四、研究创新乐园
1、若 a －b=2,a －c= 1
, 求(b － c) 2
＋ 3(b －c) ＋ 9
的值。

2 4
2、求证： 1111－1110－ 119=119×109
经典五：
因式分解练习题
一、填空题：
2．(a －3)(3 －2a)=_______(3 －a)(3 －2a) ；
12．若 m2－ 3m＋2=(m＋a)(m ＋b) ，则 a=______，b=______；
15．当 m=______时， x2＋ 2(m－ 3)x ＋25 是完好平方式．
二、选择题：
1．以下各式的因式分解结果中，正确的选项是
[] A．a2b＋7ab－b＝b(a 2＋7a)
B．3x2y－ 3xy－6y=3y(x －2)(x ＋ 1)
C．8xyz－ 6x2y2＝2xyz(4 －3xy)
D．－ 2a2＋4ab－ 6ac＝－ 2a(a ＋2b－ 3c)
2．多项式 m(n－2) －m2(2 －n) 分解因式等于
[] A．(n －2)(m ＋m2) B ． (n －2)(m －m2)
C．m(n－2)(m ＋1)D．m(n－ 2)(m －1)
3．在以低等式中，属于因式分解的是
[] A．a(x －y) ＋ b(m＋n) ＝ ax＋bm－ay＋bn
B．a2－2ab＋ b2＋1=(a－b) 2＋1
C．－ 4a2＋9b2＝ ( － 2a＋3b)(2a ＋3b)
D．x2－7x－8=x(x － 7) －8
4．以下各式中，能用平方差公式分解因式的是
[] A．a2＋b2B．－ a2＋b2
C．－ a2－ b2D．－ ( － a2) ＋b2
5．若 9x2＋ mxy＋16y2是一个完好平方式，那么m的值是
[]
A．－ 12
B．± 24
C．12
D．± 12
6．把多项式 a n+4－a n+1分解得
[]
A．a n(a 4－a)
B．a n-1 (a 3－ 1)
C．a n+1(a － 1)(a 2－a＋1) D ．a n+1(a －1)(a 2＋ a＋ 1)
7．若 a2＋a＝－ 1，则 a4＋2a3－ 3a2－ 4a＋3 的值为
[] A．8B．7
C．10D．12
8．已知 x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么 x，y 的值分别为
[]
A．x=1，y=3 B ．x=1，y=－3
C．x=－1，y=3D．x=1，y=－3
9．把 (m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋ 16 分解因式得
[]
A．(m＋1)(m＋ 2)
2B．(m－1)
2
(m－ 2)
2
(m ＋ 3m
42
－2)
C．(m＋4) 2(m－ 1) 2D．(m＋1) 2(m＋ 2) 2(m2＋ 3m －2) 2
10．把 x2－ 7x－60 分解因式，得
[]
A．(x －10)(x ＋6) B ． (x ＋5)(x －12)
C．(x ＋3)(x －20)D． (x －5)(x ＋12)
11．把 3x2－2xy－ 8y2分解因式，得
[]
A．(3x ＋4)(x － 2) B ．(3x －4)(x ＋2)
C．(3x ＋4y)(x － 2y)D．(3x －4y)(x ＋2y)
12．把 a2＋ 8ab－33b2分解因式，得
[]
A．(a ＋11)(a －3) B ． (a －11b)(a － 3b)
C．(a ＋11b)(a － 3b)D．(a －11b)(a ＋3b)
13．把 x4－ 3x2＋2 分解因式，得
[]
A．(x － 2)(x
2－1) B ．(x
2
2
－2)(x ＋1)(x －1)
C．(x ＋ 2)(x
2＋1)D．(x
2
2
＋ 2)(x ＋1)(x －1)
14．多项式 x2－ax－bx＋ ab 可分解因式为
[]
A．－ (x ＋ a)(x ＋ b) B ．(x
－a)(x ＋b)
C．(x －a)(x －b) D ．(x
＋a)(x ＋b)
15．一个关于 x 的二次三项式，其x2项的系数是 1，常数项
是－ 12，且能分解因式，这样的二次三项式是
[] A．x2－11x－ 12 或 x2＋11x－ 12
B．x2－x－12 或 x2＋x－12
C．x2－4x－12 或 x2＋4x－12
D．以上都能够
16．以下各式 x3－x2－ x＋ 1，x2＋y－xy－x，x2－ 2x－y2＋ 1，(x 2＋3x) 2－(2x ＋ 1) 2中，不含有 (x －1) 因式的有
[]
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
17．把 9－x2＋ 12xy－ 36y2分解因式为
[] A．(x －6y＋3)(x －6x－ 3)
B．－ (x － 6y＋3)(x －6y－3)
C．－ (x － 6y＋3)(x ＋6y－3)
D．－ (x － 6y＋3)(x －6y＋3)
18．以下因式分解错误的选项是
[] A．a2－bc＋ac－ ab=(a－b)(a ＋c)
B．ab－5a＋3b－ 15=(b－5)(a ＋3)
C．x2＋3xy－ 2x－6y=(x ＋3y)(x －2)
D．x2－6xy－ 1＋ 9y2=(x＋ 3y＋1)(x ＋3y－1)
19．已知 a2x2±2x＋ b2是完好平方式，且a，b 都不为零，则 a 与 b 的关系为
[]
A．互为倒数或互为负倒数 B ．互为相反数
C．相等的数 D ．任意有理数
20．对 x4＋ 4 进行因式分解，所得的正确结论是
[]
A．不能够分解因式 B ．有因式x2＋ 2x＋2
C．(xy ＋2)(xy － 8) D ．(xy －2)(xy －8)
21．把 a4＋ 2a2b2＋b4－ a2b2分解因式为
[]
可编写可更正
A．(a＋b＋ ab)
2B．(a＋ b＋ab)(a
2
2222
＋b2－ab)
C．(a 2－b2＋ ab)(a 2－ b2－ab)D． (a 2＋b2－ab) 2
22．－ (3x －1)(x ＋2y) 是以下哪个多项式的分解结果
[]
A．3x
2＋ 6xy－x－ 2y B ．3x －6xy
2
＋x－ 2y
C．x＋ 2y＋3x2＋ 6xy D ．x＋2y －3x2－ 6xy
23．64a8－b2因式分解为
[]
A．(64a 4－b)(a 4＋b) B ．(16a 2－b)(4a 2＋ b)
C．(8a 4－ b)(8a 4＋ b)D．(8a 2－b)(8a 4＋ b)
24．9(x － y) 2＋12(x 2－y2) ＋ 4(x ＋y) 2因式分解为
[]
A．(5x －y) 2B． (5x ＋y) 2
C．(3x －2y)(3x ＋2y)D． (5x －2y) 2
25．(2y － 3x) 2－ 2(3x － 2y) ＋1 因式分解为
[]
A．(3x －2y－ 1) 2B．(3x ＋2y ＋1) 2
C．(3x －2y＋ 1) 2D．(2y －3x －1) 2
26．把 (a ＋b) 2－ 4(a 2－b2) ＋ 4(a －b) 2分解因式为
[]
A．(3a －b) 2B． (3b ＋a) 2
C．(3b －a) 2D． (3a ＋b) 2
27．把 a2(b ＋c) 2－2ab(a － c)(b ＋ c) ＋b2(a －c) 2分解因式为
[]
A．c(a ＋b) 2B． c(a －b) 2
C．c2(a ＋ b) 2D．c2(a － b)
28．若 4xy－4x2－ y2－k 有一个因式为 (1 － 2x＋y) ，则 k 的值为
[]
A．0
B．1
C．－ 1
D．4
29．分解因式 3a2x－4b2y－ 3b2x＋ 4a2y，正确的选项是
[]
A．－ (a 2＋b2)(3x ＋ 4y) B ．(a －b)(a ＋b)(3x ＋ 4y)
C．(a 2＋b2)(3x －4y)D． (a －b)(a ＋b)(3x －4y)
30．分解因式 2a2＋4ab＋ 2b2－ 8c2，正确的选项是
[] A．2(a ＋b－ 2c) B ．2(a ＋b＋ c)(a ＋b－c)
C．(2a ＋ b＋ 4c)(2a ＋ b－ 4c)D．2(a ＋ b＋ 2c)(a ＋b－ 2c)
三、因式分解：
1．m2(p － q) －p＋q；
2．a(ab ＋ bc＋ac) － abc；
3．x4－2y4－ 2x3y＋xy 3；
4．abc(a 2＋b2＋ c2) － a3bc＋2ab2c2；
5．a2(b － c) ＋b2(c －a) ＋ c2(a － b) ；
6．(x 2－2x) 2＋2x(x －2) ＋1；
7．(x －y) 2＋ 12(y － x)z ＋36z2；
8．x2－4ax＋ 8ab－4b2；
9．(ax ＋by) 2＋(ay －bx) 2＋2(ax ＋by)(ay －bx) ；
10．(1 －a2)(1 － b2) －(a 2－1) 2(b 2－1) 2；11．(x ＋1) 2－9(x － 1) 2；
12．4a2b2－(a 2＋b2－ c2) 2；
13．ab2－ ac2＋4ac－4a；
14．x3n＋ y3n；
15．(x ＋y) 3＋125；
16．(3m－ 2n) 3＋ (3m＋2n) 3；
17．x6(x 2－y2) ＋y6(y 2－x2) ；
18．8(x ＋ y) 3＋1；
19．(a ＋b＋c) 3－a3－b3－c3；
20．x2＋4xy＋3y2；
21．x2＋18x－144；
22．x4＋2x2－8；
23．－ m4＋18m2－17；
24．x5－2x3－8x；
25．x8＋19x5－216x2；
26．(x 2－ 7x) 2＋ 10(x 2－7x) －24；27．5＋7(a ＋ 1) －6(a ＋ 1) 2；28．(x 2＋ x)(x 2＋x－1) － 2；
29．x2＋y2－ x2y2－4xy－ 1；
30．(x －1)(x －2)(x －3)(x －4) － 48；31．x2－y2－ x－ y；
32．ax2－ bx2－bx＋ ax－3a＋ 3b；33．m4＋m2＋ 1；
34．a2－b2＋ 2ac＋c2；
35．a3－ab2＋a－b；
36．625b4－(a － b) 4；
37．x6－y6＋ 3x2y4－3x4y2；
38．x2＋4xy＋4y2－ 2x－4y－ 35；39．m2－a2＋ 4ab－4b2；
40．5m－5n－ m2＋2mn－ n2．
四、证明 ( 求值) ：
1．已知 a＋ b=0，求 a3－2b3＋a2b－ 2ab2的值．
2．求证：四个连续自然数的积再加上1，必然是一个完好平方数．
3．证明： (ac －bd) 2＋ (bc ＋ad) 2=(a 2＋b2)(c 2＋d2) ．
4．已知 a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－ 1，求 a2＋ b2＋c2＋ 2ab－2bc－ 2ac 的值．
5．若 x2＋ mx＋n=(x －3)(x ＋4) ，求 (m＋ n) 2的值．
6．当 a 为何值时，多项式x2＋ 7xy＋ay2－5x＋43y－ 24 能够分解为两个一次因式的乘积．
7．若 x，y 为任意有理数，比较6xy 与 x2＋ 9y2的大小．
8．两个连续偶数的平方差是 4 的倍数．。