2019年山东版中考数学§3.3 反比例函数(试题部分)
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x
A.b>2 B.-2<b<2 C.b>2或b<-2 D.b<-2
答案 C 由于直线y=-x+2与反比例函数y= 1 的图象有唯一公共点,结合题中图象可知,直线y
x
=-x-2在第三象限内与反比例函数y= 1 的图象也有唯一公共点.若直线y=-x+b与反比例函数y=
x
1 的图象有两个交点,需将直线y=-x+2向上平移或将直线y=-x-2向下平移,因此b的取值范围
m
3 ),B(2- 3 ,2+ 3 ),∴AB=2 3 .
∴S△OAB=
1 2
×2 3
×(2± 3
)=2 3
±3.
2.(2015临沂,14,3分)在平面直角坐标系中,直线y=-x+2与反比例函数y= 1 的图象有唯一公共点.
x
若直线y=-x+b与反比例函数y= 1 的图象有2个公共点,则b的取值范围是 ( )
4.(2017烟台,17,3分)如图,直线y=x+2与反比例函数y= k 的图象在第一象限交于点P,若OP= 10,
x
则k的值为
.
答案 3
解析 设点P的坐标为(a,a+2),则a为方程 k =x+2的根.
x
∴a2+2a=k. ∵OP= 10 ,∴a2+(a+2)2=10.解得a2+2a=3.∴k=3.
个 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
答案 B 把(-2,4)代入y=- 8 成立,故①正确;k=-8<0,所以反比例函数的图象在二、四象限,故
x
②正确;双曲线在每一象限内y随x的增大而增大,故③错误;当-1<x<0时,则y>8,而当x>0时,y<0,
故④错误,所以正确的结论有2个.故选B.
2.(2018临沂,12,3分)如图,正比例函数y1=k1x与反比例函数y2= kx2 的图象相交A、B两点,其中点A
+b与反比例函数y= c 的图象可能是 ( )
x
答案 C 根据所给二次函数图象可知a>0,b<0,c<0, ∴一次函数y=ax+b的图象过第一、三、四象限,
反比例函数y= c 的图象位于第二、四象限,故选C.
x
思路分析 ①先根据二次函数的图象判断a、b、c的符号,②由a、b的符号确定一次函数的图 象所在象限,③由c的符号确定反比例函数的图象所在象限,④观察选项确定正确答案.
x
①S△ODB=S△OCA;
②四边形OAMB的面积不变;
③当点A是MC的中点时,则点B是MD的中点.
其中正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D ①S△ODB=S△OCA=1,该结论正确. ②四边形OAMB的面积=a-1-1=a-2,该结论正确. ③连接OM,点A是MC的中点, 则△OAM和△OAC的面积相等,
5.(2018滨州,24,13分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形OABC的顶点A在x轴的 正半轴上,顶点C的坐标为(1, 3 ).
(1)求图象过点B的反比例函数的解析式; (2)求图象过点A、B的一次函数的解析式; (3)在第一象限内,当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时,请直接写出 自变量x的取值范围.
x
A.3 B.4 C.6 D.12 答案 A 如图,由勾股定理,得OB= 52 32 =4,∴B(4,0).过点A作AD⊥y轴于点D,则∠ADC=∠ BOC=90°,∴∠ACD+∠CAD=90°,而∠ACD+∠BCD=90°,∴∠CAD=∠BCD.又∵CB=CA,∴Rt
△ACD≌Rt△CBO,∴AD=OC=3,CD=BO=4,∴OD=4-3=1,∴A(-3,-1).∵A在反比例函数y= k 的
C.2 3 -3 D. 2 -1
答案
A
设点C的坐标为(m,0),则A(m,m),B m, m1
,所以AC=m,BC= 1 .根据AC+BC=4,可列方
m
程m+ 1 =4,解得m=2± 3 (经检验,符合题意).所以A(2+ 3 ,2+ 3 ),B(2+ 3 ,2- 3 )或A(2- 3 ,2-
∵△ODM的面积=△OCM的面积= a ,△ODB与△OCA的面积相等,
2
∴△OBM与△OAM的面积相等. ∴△OBD和△OBM的面积相等. ∴点B是MD的中点.该结论正确.
思路分析 ①由反比例函数比例系数的几何意义可得答案;②由四边形OAMB的面积=矩形 OCMD的面积-(三角形ODB的面积+三角形OCA的面积)解答可知;③连接OM,由点A是MC的中 点可得△OAM和△OAC的面积相等,根据△ODM的面积=△OCM的面积、△ODB与△OCA的 面积相等即可判断.
x
是b>2或b<-2.故选C.
3.(2016淄博,12,4分)反比例函数y= a (a>0,a为常数)和y= 2 在第一象限内的图象如图所示,点M
x
x
在y= a 的图象上.MC⊥x轴于点C,交y= 2 的图象于点A;MD⊥y轴于点D,交y= 2 的图象于点B.当
x
x
x
点M在y= a 的图象上运动时,以下结论:
6.(2018潍坊,19,7分)如图,直线y=3x-5与反比例函数y= k 1 的图象相交于A(2,m),B(n,-6)两点,连
x
接OA,OB. (1)求k和n的值; (2)求△AOB的面积.
解析 (1)∵点B(n,-6)在直线y=3x-5上,
∴-6=3n-5,解得n=- 1 , (1分)
x
图象上,∴-1= k ,∴k=3.故选A.
3
5.(2017青岛,8,3分)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(-1,-4),B(2,2)两点,P为反比例函数y= kb
x
图象上一动点,O为坐标原点,过点P作y轴的垂线,垂足为C,则△PCO的面积为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.不确定
x
为负数,则t的取值范围是 ( )
A.t< 1 B.t> 1 C.t≤ 1 D.t≥ 1
6
6
6
6
答案 B 因为直线y=-x+2经过第一、二、四象限,且反比例函数的图象与直线的两交点的横
坐标的积为负数,所以交点在第二、四象限,从而有1-6t<0,所以t> 1 ,故选B.
6
8.(2016聊城,7,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=ax
的横坐标为1,当y1<y2时,x的取值范围是 ( )
A.x<-1或x>1 B.-1<x<0或x>1 C.-1<x<0或0<x<1 D.x<-1或0<x<1 答案 D 由反比例函数与正比例函数图象的中心对称性和正比例函数y1=k1x与反比例函y2=
kx2 的图象交点A的横坐标为1,得另一个交点B的横坐标为-1,结合图象知,当y1<y2时,x的取值范
答案
A
把A(-1,-4),B(2,2)代入一次函数y=kx+b(k≠0),得
k 2k
b b
4, 2,
解得 bk
2, 2.
∴kb=-4,即反比例函数的关系式为y=- 4x .根据反比例函数比例系数的几何意义,可知S△PCO= 12 |kb
|= 1 ×4=2.故选A.
(-4,-3),(-2,3).
考点二 反比例函数与一次函数的结合
1.(2017滨州,12,3分)在平面直角坐标系内,直线AB垂直于x轴于点C(点C在原点的右侧),并分别
与直线y=x和双曲线y= 1 相交于点A、B,且AC+BC=4,则△OAB的面积为 ( )
x
A.2 3 +3或2 3 -3 B. 2 +1或 2 -1
3
3
当x=0时,y=3×0-5=-5,∴OD=5, (5分) ∵点A(2,m)在直线y=3x-5上, ∴m=3×2-5=1,即A(2,1), (6分)
∴S△AOB=S△AOC+S△COD+S△BOD=
1 2
×
5 3
1
5 3
5
5
1 3
=
35 6
.
(7分)
思路分析 (1)把B点坐标代入直线解析式可求出n的值,再将B点坐标代入反比例函数解析式
解析 (1)如图,过C作CH⊥OA于H,则OH=1,CH= 3 ,由勾股定理可得OC=2, 又因为四边形OABC是菱形,所以B(3, 3 ),又点B在反比例函数的图象上,所以反比例函数的解
析式为y= 3 3 . x
(2)由(1)可知OA=2,故A(2,0),又B(3, 3 ),用待定系数法求出一次函数解析式为y= 3x-2 3. (3)由图可知,2<x<3. 思路分析 (1)根据勾股定理结合菱形的性质求出点B的坐标,再确定反比例函数的解析式; (2)先求出A点坐标,再利用A,B两点坐标求出直线AB的解析式; (3)观察函数图象,得出第一象限内,一次函数的图象在反比例函数的图象下方时的自变量x的 取值范围.
2
思路分析 先利用待定系数法求出k,b的值,进而求出kb的值,再根据反比例函数比例系数的几 何意义,即可求出△PCO的面积.
6.(2017枣庄,9,3分)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半
轴上,函数y= k (x<0)的图象经过顶点B,则k的值为 ( )
x
10.(2018德州,18,4分)如图,反比例函数y= 3 与一次函数y=x-2在第三象限交于点A,点B的坐标是
x
(-3,0),点P是y轴左侧的一点,若以A、O、B、P 为顶点的四边形为平行四边形,则点P的坐标为 .
答案 (-4,-3),(-2,3)
解析
解方程组
y y
∴B 13 ,6 ,
∵反比例函数y= k
x
1
的图象也经过点B 13
,
6
,
∴k-1=-6× 13
=2,解得k=3.
(3分)
(2)设直线y=3x-5分别与x轴,y轴相交于点C,点D,
当y=0,即3x-5=0时,x= 5 ,∴OC= 5 , (4分)
3, x x
2,
得
x1 y1
3, 1,
x2 y2
1, 3,
∴A(-1,-3).
如图,当点P在y轴左侧时,以A,O,B,P为顶点的四边形有两种情况,其中线段OP1可视为线段AB
平移得到,
∵点A(-1,-3)平移到点O(0,0),其“横坐标加1纵坐标加3”,
∴点B(-3,0)的横坐标加1,纵坐标加3得到点P1(-2,3), 同理可得,点P2(-4,-3),∴符合条件的点P的坐标为
中考数学 (山东专用)
§3.3 反比例函数
五年中考
A组 2014—2018年山东中考题组
考点一 反比例函数的图象与性质
1.(2018日照,9,3分)已知反比例函数y=- 8 ,下列结论:①图象必经过(-2,4);②图象在二、四象限
x
内;③y随x的增大而增大;④当x>-1时,则y>8.其中错误的结论有
9.(2018东营,14,3分)如图,B(3,-3),C(5,0),以OC,CB为边作平行四边形OABC,则经过点A的反比
例函数解析式为
.
答案 y= 6
x
解析 ∵四边形OABC是平行四边形,B(3,-3),C(5,0),∴A(3-5,-3),即A(-2,-3),∴过点A的反比例
函数解析式为y= 6 .
x
在各自象限内,y随x的增大而增大,∵x1<0,∴y1>0;∵0<x2<x3,∴y2<y3<0,即y2<y3<y1.
4.(2018莱芜,8,3分)在平面直角坐标系中,已知△ABC为等腰直角三角形,CB=CA=5,点C(0,3),点
B在x轴正半轴上,点A在第三象限,且在反比例函数y= k 的图象上,则k= ( )
x
A.-12 B.-27 C.-32 D.-36
答案 C ∵A(-3,4),∴OA= 32 42 =5,∵四边形OABC是菱形,∴AO=CB=OC=AB=5,则点B的
横坐标为-3-5=-8,故B的坐标为(-8,4),将点B的坐标代入y= k ,得4= k ,
x
8
解得k=-32.故选C.
7.(2016烟台,8,3分)反比例函数y= 1 6t 的图象与直线y=-x+2有两个交点,且两交点横坐标的积
围是x<-1或0<x<1.
3.(2018济南,8,4分)在反比例函数y=-2x 的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若x1<0<x2<x3,则
下列结论正确的是 ( )
A.y3<y2<y1 B.y1<y3<y2
C.y2<y3<y1 D.y3<y1<y2
答案 C 反比例函数y=- 2 的图象位于第二、四象限,在第二象限中y>0,在第四象限中y<0,且
A.b>2 B.-2<b<2 C.b>2或b<-2 D.b<-2
答案 C 由于直线y=-x+2与反比例函数y= 1 的图象有唯一公共点,结合题中图象可知,直线y
x
=-x-2在第三象限内与反比例函数y= 1 的图象也有唯一公共点.若直线y=-x+b与反比例函数y=
x
1 的图象有两个交点,需将直线y=-x+2向上平移或将直线y=-x-2向下平移,因此b的取值范围
m
3 ),B(2- 3 ,2+ 3 ),∴AB=2 3 .
∴S△OAB=
1 2
×2 3
×(2± 3
)=2 3
±3.
2.(2015临沂,14,3分)在平面直角坐标系中,直线y=-x+2与反比例函数y= 1 的图象有唯一公共点.
x
若直线y=-x+b与反比例函数y= 1 的图象有2个公共点,则b的取值范围是 ( )
4.(2017烟台,17,3分)如图,直线y=x+2与反比例函数y= k 的图象在第一象限交于点P,若OP= 10,
x
则k的值为
.
答案 3
解析 设点P的坐标为(a,a+2),则a为方程 k =x+2的根.
x
∴a2+2a=k. ∵OP= 10 ,∴a2+(a+2)2=10.解得a2+2a=3.∴k=3.
个 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
答案 B 把(-2,4)代入y=- 8 成立,故①正确;k=-8<0,所以反比例函数的图象在二、四象限,故
x
②正确;双曲线在每一象限内y随x的增大而增大,故③错误;当-1<x<0时,则y>8,而当x>0时,y<0,
故④错误,所以正确的结论有2个.故选B.
2.(2018临沂,12,3分)如图,正比例函数y1=k1x与反比例函数y2= kx2 的图象相交A、B两点,其中点A
+b与反比例函数y= c 的图象可能是 ( )
x
答案 C 根据所给二次函数图象可知a>0,b<0,c<0, ∴一次函数y=ax+b的图象过第一、三、四象限,
反比例函数y= c 的图象位于第二、四象限,故选C.
x
思路分析 ①先根据二次函数的图象判断a、b、c的符号,②由a、b的符号确定一次函数的图 象所在象限,③由c的符号确定反比例函数的图象所在象限,④观察选项确定正确答案.
x
①S△ODB=S△OCA;
②四边形OAMB的面积不变;
③当点A是MC的中点时,则点B是MD的中点.
其中正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D ①S△ODB=S△OCA=1,该结论正确. ②四边形OAMB的面积=a-1-1=a-2,该结论正确. ③连接OM,点A是MC的中点, 则△OAM和△OAC的面积相等,
5.(2018滨州,24,13分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形OABC的顶点A在x轴的 正半轴上,顶点C的坐标为(1, 3 ).
(1)求图象过点B的反比例函数的解析式; (2)求图象过点A、B的一次函数的解析式; (3)在第一象限内,当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时,请直接写出 自变量x的取值范围.
x
A.3 B.4 C.6 D.12 答案 A 如图,由勾股定理,得OB= 52 32 =4,∴B(4,0).过点A作AD⊥y轴于点D,则∠ADC=∠ BOC=90°,∴∠ACD+∠CAD=90°,而∠ACD+∠BCD=90°,∴∠CAD=∠BCD.又∵CB=CA,∴Rt
△ACD≌Rt△CBO,∴AD=OC=3,CD=BO=4,∴OD=4-3=1,∴A(-3,-1).∵A在反比例函数y= k 的
C.2 3 -3 D. 2 -1
答案
A
设点C的坐标为(m,0),则A(m,m),B m, m1
,所以AC=m,BC= 1 .根据AC+BC=4,可列方
m
程m+ 1 =4,解得m=2± 3 (经检验,符合题意).所以A(2+ 3 ,2+ 3 ),B(2+ 3 ,2- 3 )或A(2- 3 ,2-
∵△ODM的面积=△OCM的面积= a ,△ODB与△OCA的面积相等,
2
∴△OBM与△OAM的面积相等. ∴△OBD和△OBM的面积相等. ∴点B是MD的中点.该结论正确.
思路分析 ①由反比例函数比例系数的几何意义可得答案;②由四边形OAMB的面积=矩形 OCMD的面积-(三角形ODB的面积+三角形OCA的面积)解答可知;③连接OM,由点A是MC的中 点可得△OAM和△OAC的面积相等,根据△ODM的面积=△OCM的面积、△ODB与△OCA的 面积相等即可判断.
x
是b>2或b<-2.故选C.
3.(2016淄博,12,4分)反比例函数y= a (a>0,a为常数)和y= 2 在第一象限内的图象如图所示,点M
x
x
在y= a 的图象上.MC⊥x轴于点C,交y= 2 的图象于点A;MD⊥y轴于点D,交y= 2 的图象于点B.当
x
x
x
点M在y= a 的图象上运动时,以下结论:
6.(2018潍坊,19,7分)如图,直线y=3x-5与反比例函数y= k 1 的图象相交于A(2,m),B(n,-6)两点,连
x
接OA,OB. (1)求k和n的值; (2)求△AOB的面积.
解析 (1)∵点B(n,-6)在直线y=3x-5上,
∴-6=3n-5,解得n=- 1 , (1分)
x
图象上,∴-1= k ,∴k=3.故选A.
3
5.(2017青岛,8,3分)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(-1,-4),B(2,2)两点,P为反比例函数y= kb
x
图象上一动点,O为坐标原点,过点P作y轴的垂线,垂足为C,则△PCO的面积为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.不确定
x
为负数,则t的取值范围是 ( )
A.t< 1 B.t> 1 C.t≤ 1 D.t≥ 1
6
6
6
6
答案 B 因为直线y=-x+2经过第一、二、四象限,且反比例函数的图象与直线的两交点的横
坐标的积为负数,所以交点在第二、四象限,从而有1-6t<0,所以t> 1 ,故选B.
6
8.(2016聊城,7,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=ax
的横坐标为1,当y1<y2时,x的取值范围是 ( )
A.x<-1或x>1 B.-1<x<0或x>1 C.-1<x<0或0<x<1 D.x<-1或0<x<1 答案 D 由反比例函数与正比例函数图象的中心对称性和正比例函数y1=k1x与反比例函y2=
kx2 的图象交点A的横坐标为1,得另一个交点B的横坐标为-1,结合图象知,当y1<y2时,x的取值范
答案
A
把A(-1,-4),B(2,2)代入一次函数y=kx+b(k≠0),得
k 2k
b b
4, 2,
解得 bk
2, 2.
∴kb=-4,即反比例函数的关系式为y=- 4x .根据反比例函数比例系数的几何意义,可知S△PCO= 12 |kb
|= 1 ×4=2.故选A.
(-4,-3),(-2,3).
考点二 反比例函数与一次函数的结合
1.(2017滨州,12,3分)在平面直角坐标系内,直线AB垂直于x轴于点C(点C在原点的右侧),并分别
与直线y=x和双曲线y= 1 相交于点A、B,且AC+BC=4,则△OAB的面积为 ( )
x
A.2 3 +3或2 3 -3 B. 2 +1或 2 -1
3
3
当x=0时,y=3×0-5=-5,∴OD=5, (5分) ∵点A(2,m)在直线y=3x-5上, ∴m=3×2-5=1,即A(2,1), (6分)
∴S△AOB=S△AOC+S△COD+S△BOD=
1 2
×
5 3
1
5 3
5
5
1 3
=
35 6
.
(7分)
思路分析 (1)把B点坐标代入直线解析式可求出n的值,再将B点坐标代入反比例函数解析式
解析 (1)如图,过C作CH⊥OA于H,则OH=1,CH= 3 ,由勾股定理可得OC=2, 又因为四边形OABC是菱形,所以B(3, 3 ),又点B在反比例函数的图象上,所以反比例函数的解
析式为y= 3 3 . x
(2)由(1)可知OA=2,故A(2,0),又B(3, 3 ),用待定系数法求出一次函数解析式为y= 3x-2 3. (3)由图可知,2<x<3. 思路分析 (1)根据勾股定理结合菱形的性质求出点B的坐标,再确定反比例函数的解析式; (2)先求出A点坐标,再利用A,B两点坐标求出直线AB的解析式; (3)观察函数图象,得出第一象限内,一次函数的图象在反比例函数的图象下方时的自变量x的 取值范围.
2
思路分析 先利用待定系数法求出k,b的值,进而求出kb的值,再根据反比例函数比例系数的几 何意义,即可求出△PCO的面积.
6.(2017枣庄,9,3分)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半
轴上,函数y= k (x<0)的图象经过顶点B,则k的值为 ( )
x
10.(2018德州,18,4分)如图,反比例函数y= 3 与一次函数y=x-2在第三象限交于点A,点B的坐标是
x
(-3,0),点P是y轴左侧的一点,若以A、O、B、P 为顶点的四边形为平行四边形,则点P的坐标为 .
答案 (-4,-3),(-2,3)
解析
解方程组
y y
∴B 13 ,6 ,
∵反比例函数y= k
x
1
的图象也经过点B 13
,
6
,
∴k-1=-6× 13
=2,解得k=3.
(3分)
(2)设直线y=3x-5分别与x轴,y轴相交于点C,点D,
当y=0,即3x-5=0时,x= 5 ,∴OC= 5 , (4分)
3, x x
2,
得
x1 y1
3, 1,
x2 y2
1, 3,
∴A(-1,-3).
如图,当点P在y轴左侧时,以A,O,B,P为顶点的四边形有两种情况,其中线段OP1可视为线段AB
平移得到,
∵点A(-1,-3)平移到点O(0,0),其“横坐标加1纵坐标加3”,
∴点B(-3,0)的横坐标加1,纵坐标加3得到点P1(-2,3), 同理可得,点P2(-4,-3),∴符合条件的点P的坐标为
中考数学 (山东专用)
§3.3 反比例函数
五年中考
A组 2014—2018年山东中考题组
考点一 反比例函数的图象与性质
1.(2018日照,9,3分)已知反比例函数y=- 8 ,下列结论:①图象必经过(-2,4);②图象在二、四象限
x
内;③y随x的增大而增大;④当x>-1时,则y>8.其中错误的结论有
9.(2018东营,14,3分)如图,B(3,-3),C(5,0),以OC,CB为边作平行四边形OABC,则经过点A的反比
例函数解析式为
.
答案 y= 6
x
解析 ∵四边形OABC是平行四边形,B(3,-3),C(5,0),∴A(3-5,-3),即A(-2,-3),∴过点A的反比例
函数解析式为y= 6 .
x
在各自象限内,y随x的增大而增大,∵x1<0,∴y1>0;∵0<x2<x3,∴y2<y3<0,即y2<y3<y1.
4.(2018莱芜,8,3分)在平面直角坐标系中,已知△ABC为等腰直角三角形,CB=CA=5,点C(0,3),点
B在x轴正半轴上,点A在第三象限,且在反比例函数y= k 的图象上,则k= ( )
x
A.-12 B.-27 C.-32 D.-36
答案 C ∵A(-3,4),∴OA= 32 42 =5,∵四边形OABC是菱形,∴AO=CB=OC=AB=5,则点B的
横坐标为-3-5=-8,故B的坐标为(-8,4),将点B的坐标代入y= k ,得4= k ,
x
8
解得k=-32.故选C.
7.(2016烟台,8,3分)反比例函数y= 1 6t 的图象与直线y=-x+2有两个交点,且两交点横坐标的积
围是x<-1或0<x<1.
3.(2018济南,8,4分)在反比例函数y=-2x 的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若x1<0<x2<x3,则
下列结论正确的是 ( )
A.y3<y2<y1 B.y1<y3<y2
C.y2<y3<y1 D.y3<y1<y2
答案 C 反比例函数y=- 2 的图象位于第二、四象限,在第二象限中y>0,在第四象限中y<0,且