数学模型建模引言
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预备知识
• 高等数学 • 线性代数 • 概率论与数理统计 • 运筹学 • 大学计算机基础
教材和参考资料
• 高等教育出版社《数学模型》姜启源 编 • 浙江大学出版社《数学模型》杨启帆 编 • 湖南教育出版社《大学生数学建模竞赛辅导
教材》叶其孝 编 • 工科数学杂志社《数学建模教育与国际数学
建模竞赛》叶其孝 编 • 江苏教育出版社《数学建模竞赛教程》李尚
结论：作用于任一行星上的力，方向在太 阳与行星的连线上，指向太阳（怎么看出 来的？），其大小与两者之间的距离平方 成反比，比例系数通过实验给出。
例2：传染病模型
背景：传染病是威胁人类健康和生命的 一类疾病，如何有效地预防和控制传染病 对人类的侵害，是一项相当重要的课题， 其中有效预测某个时刻得病人数也是相当 重要的指标。
dy dx x
y x2 y2
y2 c(c 2x)
y2 z2 c(c 2x)
旋转抛物面
经济学中的数学
• 几个常见的经济函数
• 1.单利：设初始本金为p元，银行年利率为r， 则第n年末本利和为 Sn=p(1+nr)
某些物理过程的数学建模
充电过程时，有 u RI E
电容上的电量Q=Cu 逐渐增多，且
RC du u E dt
1 t
u E(1 eRC )
I dQ dt
t 3RC u 0.95E
某些物理过程的数学建模
• 例6：(探照灯反射镜面的形状)在制造探照灯 的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光 线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的 方向性，请问反射镜面的几何形状？
② 抓住主要矛盾，对问题作必要的 简化， 提出几条恰当的假设（提出假设）；
③ 利用适当的数学工具刻划各变量之间的关 系，建立相应的数学结构（建立模型）;
数学建模步骤
④ 模型的求解和检验。建立数学模型是为 了解释自然现象和改造自然，因此建模 本身不是最终目的，还应当考虑对模型 求解（包括解方程、图解、逻辑推理、 定理证明、稳定性讨论等等），将所得 结果与实际情况作比较，以验证模型的 正确性，如果检验结果与事实不符或部 分不符，就应当将上述步骤重复，即修 改假设，重新建模。
则
i(t)+ s(t)+ r(t)＝n
（2）传染率和s(t)成正比, 比例系数用λ表
示;
（3）单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人
数成正比，比例系数用 l 表示.
传染病模型
di dt
si li,
dr dt
li
di ds dr
0
dt dt dt
i(0)
i0
r(0) 0
s(0) s0 n i0
某些物理过程的数学建模
• 设物体在时刻t的温度为u=u(t)，则温度的 变化速度可表示为du/dt，由刚才的物理知
识得如下等式（k为比例常数）：
duBiblioteka dtk (uua )
u(0) u0
某些物理过程的数学建模
• 求解并分析
u(t) ua (u0 ua )ekt
• 将已知数据代入求得本题的u(t)
行星速度 r rur ru
行星加速度 r (r r 2)ur (r 2r)u
万有引力定律的发现
A
1 2
r 2
4
2A r2 Ar
r
2r
0
r3
r r
2Ae sin
p
(2
A)2
(
1 r3
r
1 2p
)
r
r 2
(2 A)2 p
1 r2
万有引力定律的发现
r
2
k
1（ r2
ur）
u(t) 24 126e0.051t
u(20) 70C u(120) 24.28C
u(180) 24.01C
某些物理过程的数学建模
• 例2：（R-L电路）如图的R-L电路，它包含 电感L，电阻R和电源E（均设为常数）. 设 t=0时，电路中没有电流. 建立：当开关K 合上后，电流I应该满足的微分方程.
传染系数或日接触率），则方程变为
di
dt
s(t)i(t)
di
dt
(n
i)i
i(0) i0
i(0) i0
传染病模型
di dt
(n
i(0) i0
i)i
i(t)
1
(n i0
n 1)ent
传染病模型
模型三：假设
（1）人群分为三类: 已感染者i(t), 易感染者
s(t),
免疫移出者（含死亡）r(t),
• 例3：（R-L-C电路）如图的R-L-C电路，它 包含电感L，电阻R和电容C(均为常数). 电 源e(t)是时间t的已知函数. 建立：当开关 K合上后，电流I应该满足的微分方程.
某些物理过程的数学建模
• 分析：经过电阻R的电压降为RI，经过电感 L的电压降是LdI/dt，经过电容C的电压降 是Q/C，由基尔霍夫第二定律得，
万有引力定律的发现
• 背景：十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊 世界的日心说，这是科学上的一大革命。
• 当然由于历史和科学水平的限制，他的学 说免不了也包含了一些缺陷（地球围绕太 阳作圆周运动）。
• 此后，丹麦天文学家第谷·布拉赫进行了 二十年的观测并记录下十分丰富而又准确 的资料。
万有引力定律的发现
传染病模型
• 符号假设：t 时刻病人数为i(t)
• 模型一：设单位时间内一个病人能传染的
人数（传染率）为k0 i(t t) i(t) k0i(t)t
di
dt
k0i
i(0) i0
• 求解并分析 i(t) i0ek0t
(1) i0 0 (2) t
传染病模型
di
dt
k0i
i(t)
模型 • 依据数学方法：初等，方程，优化，控制论
等等 • 依据实际范畴：人口，交通，经济，生态等
等
搜集建模案例
• 搜集一个与自己专业有关的建模问题， 读懂并把它复述出来（写到16开的纸上， 在3～5页之间，手写）
• 将姓名、学号和班级写在第1页的第1行 • 正文内容至少包含：问题的提出（或描
述、引言）；建模（包括假设、符号、 模型建立和求解过程等）；检验（或分 析、验证、讨论）。
L dI RI Q e(t)
dt
C
dQ
d 2I R dI I 1 de(t)
I dt
dt2 L dt LC L dt
某些物理过程的数学建模
• 例4：(电容器的充电和放电)如图所示的R-C 电路，请找出充、放电过程中，电容C两端的 电压u随时间t的变化规律。
某些物理过程的数学建模
开始时电容C上没有电荷，电容两端的电压 为零. 我们把开关K合上“1”后，电池E就对电 容C充电，电容C两端的电压u逐渐升高. 经过相 当时间后，电容充电完毕，我们再把开关合上 “2”，这时电容就开始了放电过程.
假设电源电动势为 E E0 sin t
，
I (t则) 方程L解E为m
Rt
eL
Em
(R sin t L cost)
R2 2L2
R2 2L2
LEm R2 2L2
Rt
eL
Em sin(t ) R2 2L2
第一项叫暂态电流，随t的增大逐渐衰减趋于 零
第二项叫稳态电流，是个正弦函数.
某些物理过程的数学建模
• 第谷·布拉赫的学生开普勒（Kepler）对 这些资料进行了九年时间的分析计算后发 现，老师的观察结果与哥白尼学说在运行 周期上有8度的误差，这使他对哥白尼的圆 形轨道假设产生了怀疑，他以观察结果为 依据，提出了天文学上至今仍然十分著名 的三条假设——Kepler三定律。
万有引力定律的发现
（1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭 圆的一个焦点上；
数学建模步骤框图
实际问题
抽象、简化、假设 确定变量参数
建立数学模型并数学 、数值地求解
用实际问题的实测数据 来检验该数学模型
不符合实际
符合实际
支付使用，从而可产生 经济、社会效益
例1：万有引力定律的发现
• 万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的 重要贡献之一, 牛顿在研究力学的过程中 发明了微积分, 又成功地在开普勒三定律 的基础上运用微积分推出了万有引力定 律．这一创造性的成就可以看作是历史上 最著名的数学建模案例之一．
某些物理过程的数学建模
• 基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：在闭合回路 中，所有支路上的电压的代数和等于零。
• 分析：经过电阻R的电压降为RI，经过电感L 的电压降是LdI/dt，由上述定律得，
L
dI dt
RI
E
dI dt
R L
I
E L
I (0) 0
I (0) 0
某些物理过程的数学建模
数学建模的重要性
• ④从科学、工程、经济和管理等角度看： 数学建模就是用数学的语言和方法，通 过抽象、简化，建立能近似刻画并“解 决”实际问题的一种强有力的数学工具。
• ⑤数学建模最重要的特点是接受实践的 检验，多次修改模型，渐趋完善（的过 程）。
数学建模步骤
① 了解问题的实际背景，明确建模的目的， 掌握必要的数据资料（建模准备）；
• ③数学的日益重要性远远没有取得共识。 甚至出现了“数学无用论”的观点
为什么会出现“数学无用论”？
• ①数学的语言比较抽象，不容易掌握； • ②数学教育上的不适当：形式化、抽象，
只见定义、定理、推倒、证明、计算， 很少讲与我们周围的世界以致日常生活 的密切联系。
数学建模的重要性
• ①数学建模不是新东西（比如欧式几何、 微积分都是很好的数学模型！）
（2）行星在单位时间内扫过的面积A不变；
（3）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴 的三次方，比例系数不随行星而改变。
万有引力定律的发现
• 假设： （1）行星轨道方程：椭圆极坐标方程
r p 1 e cos θ
p b2 , b2 a2 (1 e2 ) a
其中a长半轴，b短半轴，e离心率；
万有引力定律的发现
• 建立平面直角坐标系xoy ，取光源所在处为 坐标原点，而x轴平行于光的反射方向. 设该 镜面(曲面)由xoy坐标面上的曲线y=f(x)绕x
轴旋转而成. 如图
某些物理过程的数学建模
光的反射定律：入射角=反射角
某些物理过程的数学建模
根据光的反射定律：入射角=反射角，可得
dy dx
tan 2
MP NP
i0ek0t
i(0) i0
di
di
di
dt k0i i k0dt
i
k0dt
ln | i | k0t C1, i(t) Cek0t
哪里出错了？
传染病模型
模型二：设人群分为两类：
已感染者（Infective）i(t)
易感染者（Susceptible) s(t)
所考察地区的总人数为n，i(t)+ s(t)＝n， 易见传染率应该和s(t)成单增关系，为方便， 设为正比例关系，比例系数用λ表示（称为
志主编 • 《运筹学》任何一本本科教材
我们处在：
计算机革命时代 （Computer Revolution Era）
or
信息时代 （Information Times）
时代特点
• ①计算机的迅速发展——高速、智能、 小型、价廉；
• ②数学的应用向一切领域渗透——各行 各业日益依赖数学或说当今社会正在日 益数学化；
某些物理过程的数学建模
• 例1：（物体冷却过程）将某物体放置于空 气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为 u0=1500C，10分钟后测量得温度为u1=1000C， 求物体的温度u和时间t的关系,假定空气的 温度始终保持在ua=240C，
• 热力学的一些基本规律：热量总是从温度 高的物体向温度低的物体传导的；一个物 体的温度变化速度与温度差成比例。
• ②用数学去解决实际问题就一定要用数学 的语言、方法去近似刻划该实际问题。这 种刻划的数学表述就是一个数学模型。其 过程就是数学建模的过程。
数学建模的重要性
• ③问题出在：当一个数学模型表达出来 后，就要用一定的技术手段（如推导、 计算）求解该数学问题，并用实际情形 来验证；若需要就要修改数学模型并重 复上述过程，如果有一步完不成，意义 就不大了。在以前，大量的计算令人生 畏（在建模过程中往往遇到），现如今 高性能的计算机的出现，使数学建模又 掀起了一个高潮。
（2） A 1 r2
2
（3） T 2 ka3
• k为比例系数，T为周期
（4）牛顿第二定律：
f r
万有引力定律的发现
基向量
ur
cos i sin
j
u sin i cos j
万有引力定律的发现
ur
cos i sin
j
u sin i cos j
r
rur
，
ur
u
u ur
传染病模型
i
di
ds s |ss0 n
1 s0
i
ln
s s0
(n
s)，
l
ds dr
s
s
s0er /
s |r0 s0
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/15
模型分类
• 依据变量的特征：确定型和随机 • 依据变量的取值：连续型和离散型 • 依据数学式子：线性和非线性 • 依据物理状态：静态和动态 • 依据对问题的认识程度：白箱、灰箱和黑箱
• 高等数学 • 线性代数 • 概率论与数理统计 • 运筹学 • 大学计算机基础
教材和参考资料
• 高等教育出版社《数学模型》姜启源 编 • 浙江大学出版社《数学模型》杨启帆 编 • 湖南教育出版社《大学生数学建模竞赛辅导
教材》叶其孝 编 • 工科数学杂志社《数学建模教育与国际数学
建模竞赛》叶其孝 编 • 江苏教育出版社《数学建模竞赛教程》李尚
结论：作用于任一行星上的力，方向在太 阳与行星的连线上，指向太阳（怎么看出 来的？），其大小与两者之间的距离平方 成反比，比例系数通过实验给出。
例2：传染病模型
背景：传染病是威胁人类健康和生命的 一类疾病，如何有效地预防和控制传染病 对人类的侵害，是一项相当重要的课题， 其中有效预测某个时刻得病人数也是相当 重要的指标。
dy dx x
y x2 y2
y2 c(c 2x)
y2 z2 c(c 2x)
旋转抛物面
经济学中的数学
• 几个常见的经济函数
• 1.单利：设初始本金为p元，银行年利率为r， 则第n年末本利和为 Sn=p(1+nr)
某些物理过程的数学建模
充电过程时，有 u RI E
电容上的电量Q=Cu 逐渐增多，且
RC du u E dt
1 t
u E(1 eRC )
I dQ dt
t 3RC u 0.95E
某些物理过程的数学建模
• 例6：(探照灯反射镜面的形状)在制造探照灯 的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光 线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的 方向性，请问反射镜面的几何形状？
② 抓住主要矛盾，对问题作必要的 简化， 提出几条恰当的假设（提出假设）；
③ 利用适当的数学工具刻划各变量之间的关 系，建立相应的数学结构（建立模型）;
数学建模步骤
④ 模型的求解和检验。建立数学模型是为 了解释自然现象和改造自然，因此建模 本身不是最终目的，还应当考虑对模型 求解（包括解方程、图解、逻辑推理、 定理证明、稳定性讨论等等），将所得 结果与实际情况作比较，以验证模型的 正确性，如果检验结果与事实不符或部 分不符，就应当将上述步骤重复，即修 改假设，重新建模。
则
i(t)+ s(t)+ r(t)＝n
（2）传染率和s(t)成正比, 比例系数用λ表
示;
（3）单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人
数成正比，比例系数用 l 表示.
传染病模型
di dt
si li,
dr dt
li
di ds dr
0
dt dt dt
i(0)
i0
r(0) 0
s(0) s0 n i0
某些物理过程的数学建模
• 设物体在时刻t的温度为u=u(t)，则温度的 变化速度可表示为du/dt，由刚才的物理知
识得如下等式（k为比例常数）：
duBiblioteka dtk (uua )
u(0) u0
某些物理过程的数学建模
• 求解并分析
u(t) ua (u0 ua )ekt
• 将已知数据代入求得本题的u(t)
行星速度 r rur ru
行星加速度 r (r r 2)ur (r 2r)u
万有引力定律的发现
A
1 2
r 2
4
2A r2 Ar
r
2r
0
r3
r r
2Ae sin
p
(2
A)2
(
1 r3
r
1 2p
)
r
r 2
(2 A)2 p
1 r2
万有引力定律的发现
r
2
k
1（ r2
ur）
u(t) 24 126e0.051t
u(20) 70C u(120) 24.28C
u(180) 24.01C
某些物理过程的数学建模
• 例2：（R-L电路）如图的R-L电路，它包含 电感L，电阻R和电源E（均设为常数）. 设 t=0时，电路中没有电流. 建立：当开关K 合上后，电流I应该满足的微分方程.
传染系数或日接触率），则方程变为
di
dt
s(t)i(t)
di
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(n
i)i
i(0) i0
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传染病模型
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(n
i(0) i0
i)i
i(t)
1
(n i0
n 1)ent
传染病模型
模型三：假设
（1）人群分为三类: 已感染者i(t), 易感染者
s(t),
免疫移出者（含死亡）r(t),
• 例3：（R-L-C电路）如图的R-L-C电路，它 包含电感L，电阻R和电容C(均为常数). 电 源e(t)是时间t的已知函数. 建立：当开关 K合上后，电流I应该满足的微分方程.
某些物理过程的数学建模
• 分析：经过电阻R的电压降为RI，经过电感 L的电压降是LdI/dt，经过电容C的电压降 是Q/C，由基尔霍夫第二定律得，
万有引力定律的发现
• 背景：十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊 世界的日心说，这是科学上的一大革命。
• 当然由于历史和科学水平的限制，他的学 说免不了也包含了一些缺陷（地球围绕太 阳作圆周运动）。
• 此后，丹麦天文学家第谷·布拉赫进行了 二十年的观测并记录下十分丰富而又准确 的资料。
万有引力定律的发现
传染病模型
• 符号假设：t 时刻病人数为i(t)
• 模型一：设单位时间内一个病人能传染的
人数（传染率）为k0 i(t t) i(t) k0i(t)t
di
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i(0) i0
• 求解并分析 i(t) i0ek0t
(1) i0 0 (2) t
传染病模型
di
dt
k0i
i(t)
模型 • 依据数学方法：初等，方程，优化，控制论
等等 • 依据实际范畴：人口，交通，经济，生态等
等
搜集建模案例
• 搜集一个与自己专业有关的建模问题， 读懂并把它复述出来（写到16开的纸上， 在3～5页之间，手写）
• 将姓名、学号和班级写在第1页的第1行 • 正文内容至少包含：问题的提出（或描
述、引言）；建模（包括假设、符号、 模型建立和求解过程等）；检验（或分 析、验证、讨论）。
L dI RI Q e(t)
dt
C
dQ
d 2I R dI I 1 de(t)
I dt
dt2 L dt LC L dt
某些物理过程的数学建模
• 例4：(电容器的充电和放电)如图所示的R-C 电路，请找出充、放电过程中，电容C两端的 电压u随时间t的变化规律。
某些物理过程的数学建模
开始时电容C上没有电荷，电容两端的电压 为零. 我们把开关K合上“1”后，电池E就对电 容C充电，电容C两端的电压u逐渐升高. 经过相 当时间后，电容充电完毕，我们再把开关合上 “2”，这时电容就开始了放电过程.
假设电源电动势为 E E0 sin t
，
I (t则) 方程L解E为m
Rt
eL
Em
(R sin t L cost)
R2 2L2
R2 2L2
LEm R2 2L2
Rt
eL
Em sin(t ) R2 2L2
第一项叫暂态电流，随t的增大逐渐衰减趋于 零
第二项叫稳态电流，是个正弦函数.
某些物理过程的数学建模
• 第谷·布拉赫的学生开普勒（Kepler）对 这些资料进行了九年时间的分析计算后发 现，老师的观察结果与哥白尼学说在运行 周期上有8度的误差，这使他对哥白尼的圆 形轨道假设产生了怀疑，他以观察结果为 依据，提出了天文学上至今仍然十分著名 的三条假设——Kepler三定律。
万有引力定律的发现
（1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭 圆的一个焦点上；
数学建模步骤框图
实际问题
抽象、简化、假设 确定变量参数
建立数学模型并数学 、数值地求解
用实际问题的实测数据 来检验该数学模型
不符合实际
符合实际
支付使用，从而可产生 经济、社会效益
例1：万有引力定律的发现
• 万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的 重要贡献之一, 牛顿在研究力学的过程中 发明了微积分, 又成功地在开普勒三定律 的基础上运用微积分推出了万有引力定 律．这一创造性的成就可以看作是历史上 最著名的数学建模案例之一．
某些物理过程的数学建模
• 基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：在闭合回路 中，所有支路上的电压的代数和等于零。
• 分析：经过电阻R的电压降为RI，经过电感L 的电压降是LdI/dt，由上述定律得，
L
dI dt
RI
E
dI dt
R L
I
E L
I (0) 0
I (0) 0
某些物理过程的数学建模
数学建模的重要性
• ④从科学、工程、经济和管理等角度看： 数学建模就是用数学的语言和方法，通 过抽象、简化，建立能近似刻画并“解 决”实际问题的一种强有力的数学工具。
• ⑤数学建模最重要的特点是接受实践的 检验，多次修改模型，渐趋完善（的过 程）。
数学建模步骤
① 了解问题的实际背景，明确建模的目的， 掌握必要的数据资料（建模准备）；
• ③数学的日益重要性远远没有取得共识。 甚至出现了“数学无用论”的观点
为什么会出现“数学无用论”？
• ①数学的语言比较抽象，不容易掌握； • ②数学教育上的不适当：形式化、抽象，
只见定义、定理、推倒、证明、计算， 很少讲与我们周围的世界以致日常生活 的密切联系。
数学建模的重要性
• ①数学建模不是新东西（比如欧式几何、 微积分都是很好的数学模型！）
（2）行星在单位时间内扫过的面积A不变；
（3）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴 的三次方，比例系数不随行星而改变。
万有引力定律的发现
• 假设： （1）行星轨道方程：椭圆极坐标方程
r p 1 e cos θ
p b2 , b2 a2 (1 e2 ) a
其中a长半轴，b短半轴，e离心率；
万有引力定律的发现
• 建立平面直角坐标系xoy ，取光源所在处为 坐标原点，而x轴平行于光的反射方向. 设该 镜面(曲面)由xoy坐标面上的曲线y=f(x)绕x
轴旋转而成. 如图
某些物理过程的数学建模
光的反射定律：入射角=反射角
某些物理过程的数学建模
根据光的反射定律：入射角=反射角，可得
dy dx
tan 2
MP NP
i0ek0t
i(0) i0
di
di
di
dt k0i i k0dt
i
k0dt
ln | i | k0t C1, i(t) Cek0t
哪里出错了？
传染病模型
模型二：设人群分为两类：
已感染者（Infective）i(t)
易感染者（Susceptible) s(t)
所考察地区的总人数为n，i(t)+ s(t)＝n， 易见传染率应该和s(t)成单增关系，为方便， 设为正比例关系，比例系数用λ表示（称为
志主编 • 《运筹学》任何一本本科教材
我们处在：
计算机革命时代 （Computer Revolution Era）
or
信息时代 （Information Times）
时代特点
• ①计算机的迅速发展——高速、智能、 小型、价廉；
• ②数学的应用向一切领域渗透——各行 各业日益依赖数学或说当今社会正在日 益数学化；
某些物理过程的数学建模
• 例1：（物体冷却过程）将某物体放置于空 气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为 u0=1500C，10分钟后测量得温度为u1=1000C， 求物体的温度u和时间t的关系,假定空气的 温度始终保持在ua=240C，
• 热力学的一些基本规律：热量总是从温度 高的物体向温度低的物体传导的；一个物 体的温度变化速度与温度差成比例。
• ②用数学去解决实际问题就一定要用数学 的语言、方法去近似刻划该实际问题。这 种刻划的数学表述就是一个数学模型。其 过程就是数学建模的过程。
数学建模的重要性
• ③问题出在：当一个数学模型表达出来 后，就要用一定的技术手段（如推导、 计算）求解该数学问题，并用实际情形 来验证；若需要就要修改数学模型并重 复上述过程，如果有一步完不成，意义 就不大了。在以前，大量的计算令人生 畏（在建模过程中往往遇到），现如今 高性能的计算机的出现，使数学建模又 掀起了一个高潮。
（2） A 1 r2
2
（3） T 2 ka3
• k为比例系数，T为周期
（4）牛顿第二定律：
f r
万有引力定律的发现
基向量
ur
cos i sin
j
u sin i cos j
万有引力定律的发现
ur
cos i sin
j
u sin i cos j
r
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传染病模型
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SUCCESS
THANK YOU
2024/10/15
模型分类
• 依据变量的特征：确定型和随机 • 依据变量的取值：连续型和离散型 • 依据数学式子：线性和非线性 • 依据物理状态：静态和动态 • 依据对问题的认识程度：白箱、灰箱和黑箱