例某系统的结构图如图所示试求系统的传递函数

解得
s1,2 j2.83
根轨迹如图所示。
6
4
j2.83
2
0
60o 6o0
-0.845
-2
-j2.83
-4
-6
26
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
（2）当3.1 k 48 时，系统闭环主导极点为一对共轭复数极点，系统瞬态响应为 欠阻尼状态，阶跃响应呈阻尼振荡形式。
s1 2 0.382 2
s1 1.236
由此可知，当 k 0.09时，闭环系统有重根极点，且三个极点为 0.382 ，
0.382和 1.236，于是
s
k1s 1 s 1.236 s 0.382 2

9s 1 s 1.236 s 0.382 2
元素全为零，说明可能有大小相等、符号相反的实根；或一对共轭虚根；或 对称于虚轴的两对共轭复根。，解辅助方程得：
2s4 2 2s 1s 1s js j 0
这样特征方程可写为
s 2s 1s 1s js j 0
可见，系统在S右半平面有一个根 s 1，在虚轴上有两个根 s j，s j，
2
s3 2 4 s1 s2 4.686
0
j2.83
60o 6o0 -0.845
根据幅值条件知
k s1 s1 2 s1 4 8.634
-2
-j2.83
-4
-6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
27
例8. 最小相角系统对数幅频渐近特性如图所示，请确定系统的传递函数。
17
所以 则


n
2
2
40 n 5

n
6.325 0.395

% e 1 2 100% 26%
ts
3
4n
1.2 1.6
n
当 5时 当 2时
提示：该例显示了高阶系统近似为二阶系统的方法，请注意近似原则。
L() (dB)
40
0
30
0
20
-20
20 -40
5
100

0
0.1 1
2
3 4 -60
28
8. 解：由图知在低频段渐近线斜率为0，因为最小交接频率前的低频段
L() v20lg ，故 v 0。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，
渐近特性斜率发生变化。
0.1处斜率变化 20dB dec ，属一阶微分环节。
（2）确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的 k 值范围；
（3）求产生持续等幅振荡时的 k 值和振荡频率；
（4）求主导复数极点具有阻尼比为 0.5 时的 k 值和闭环极点。
23
7. 解：（1）画根轨迹
① 该系统有三条根轨迹，开环极点为 0, 2, 4。
②
求渐近线
a


2 3
4

2
于是，渐近线与实轴交点，为 2, 0 。
k1 ，k2 和 a 的值。
Rs
k1
k2

ss a
Y s
yt
2.18 2.0
（a）
0
0.8
t
（b）
7
（a）系统结构图 （b）阶跃响应曲线
2. 解： 因为
Y s Rs

s2
k1 k 2 as
k2
所以
Y s
s2
k1 k 2 as
k2
Rs
s2

100% 9% e
1 2
2
0.608
t p 0.8
n
1 2
n 4.946 rad s
k2 2 24.463
a 2 n 2 0.608 4.946 6.014
提示：该例显示了由动态性能指标求系统参数的方法。
9
例3. 系统的结构图如图所示，试判别系统的稳定性。若不稳定求在S右半 平面的极点数。
a

180 2k
3
1
当k0 时
a 180
当 k 1时
a 60
③ 求分离点：由开环传递函数知 Ps 1，Qs ss 2s 4 代入方程
PsQs PsQs 0
有
3s2 12s 8 0
பைடு நூலகம்
24
s1,2 2 1.155 ，s1 3.155 不在根轨迹上，舍去。 s2 0.845 是分离点， 分离角为 90。
在 1处斜率变化 20dB dec ，属惯性环节。 在 2 处斜率变化 20dB dec ，属惯性环节。
在 3 处斜率变化 20dB dec ，属惯性环节。
在 4 处斜率变化 20dB dec ，属惯性环节。
L() (dB)
40
0
30
0
20
-20
Rs
Rs
4
s
s2

1
k

s

s 1 s
s 1

1
Cs
s
s
k （b）
s 1 s
s2


k
1
1 s 1
s 1
s
1
Cs
s

k （c）
s 1 s
s2


Rs
k
1
1 s 1
s 1
s
1
Cs
s

k （c）
s 1
Rs
s2 s k
（3）当 k 48 时，系统有一对共轭虚根，系统产生持续等幅振荡，n 2.83 。
（4）阻尼角 cos1 0.5 60，解方程或由图可知阻尼角为 60的主导极点
6
s1,2 0.675 j1.138
4
由于 n m 2 ，因此闭环极点之和等于开环
极点之和，另一个闭环极点为
s4 2 0 2 s3 0 0
8 0
s2 0 2

s1 16 0

s0 2
第三行元素全为零，对辅助方程 2s4 2 0
11
求导得
8s3 0
可用8，0替换第三行0，0；第四行第一列元素为零；用小正数 替换0，
继续排列劳斯阵。 劳斯阵第一列元素变号一次，说明特征方程有一个正根。劳斯阵有一行
G
s

s
s2
10 4s

6
15
例5. 某单位反馈随动系统的开环传递函数为
Gs

ss
20000
5s
500

试计算闭环系统的动态性能指标 % 和 ts 。
16
5. 解：这是一个高阶系统，我们注意到极点离虚轴的距离较极点离虚轴远的 多，这个极点对闭环系统瞬态性能的影响很小，因此，可以忽略该极点， 而使系统近似为二阶系统。近似原则如下：
18
例6．已知系统闭环根轨迹和反馈通路的零、极点分布如图的(a)和(b)所示， 试确定闭环存在重极点情况下的闭环传递函数，此时反馈通路根轨迹
增益为 0.01 。
5
3
4 2
3
2
1
1
0
-0.382
-1
-2
0
0
-1
-3
-2
-4
-5
-3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
0
1
2
由幅值条件知分离点处由已知条件知在分离点处因此有由可知闭环极点之和等于开环极点之和将分离点代入得由此可知当时闭环系统有重根极点且三个极点为和于是提示
总复习题
例1.某系统的结构图如图所示。试求系统的传递函数
Cs Rs
。
s
s2



Rs
1
k
s


A s 1 s
1
Cs
s
结构图
1
1.解：
s0
则Gs 分母的常数项应为零。
设
Gs

s as2
k bs

c
则闭环系统传递函数为
14
s

1
Gs Gs

as3

k bs 2

cs

k
特征方程式为 as3 bs2 cs k s3 4s2 6s 10 0
比较系数得 即
a 1 ， b 4 ， c 6 ， k 10
k1 k 2 as
k2
1 s
y

lim
t
yt

lim
s0
s

s2
k1 k 2 as
k2

1 s

k1

2
又因为 所以
8
Gs

k2
ss
a

ss
n2 2
n



n
2

k2
2 n a
据题意知 解得
解得 故

%
2.18 2

k1
ss 1
Cs

k2 s 2
s 1
图 结构图
由幅值条件知，分离点处 k s s 1 2 0.382 0.6182 0.09
s2
1.618
20
由已知条件知在分离点处 k2 0.01
因此，有
k1 9
由 n m 2，可知闭环极点之和等于开环极点之和，将分离点 0.382 代入得
s 1

Rs

1
s
1
1
2
Y s
s2 s
s2 s
s
系统结构图
10
3. 解：系统的闭环传递函数为
s

s5

2 2s4
s

2
系统的特征方程为
s5 2s4 s 2 0
看出特征方程的系数不全为正，所以系统是不稳定的。为了求出S右半平面
的极点数，列劳斯阵如下： s5 1 0 1
3
（a）
（b）
19
图 根轨迹和 Hs 的零、极点分布
6. 解：由图(a)可知系统的开环传递函数为
GH

ks 2 ss 12
其中 k k1 k2 ，k1为前向通路的根轨迹增益；k2为反馈通路的根轨迹增益。
由图(b)知
H s

k2 s 2 s 1
因此，系统结构如图所示。Rs
根据幅值条件可求出分离点处的增益
k2 s2 s2 2 s2 4 3.1
④ 根轨迹与虚轴的交点
特征方程为
f s s3 6s 2 8s k 0
劳斯表为
s3 1 8
s2 6 k
s1 48 k
6
s0
k
25
当 k 48 时，辅助方程为 6s2 48 0
在S左半平面有两个根 s 1，s 2 。
提示：该例显示了用劳斯判据是系统稳定性的方法。讨论了两种特殊情况 （劳斯阵某行元素全为零和第一列某元素为零）下劳斯阵的组成方法。
12
例4.闭环控制系统的结构图如图所示。试求满足下列两个条件的三阶开环传递函
数 Gs，应满足的条件: (1)由单位阶跃函数输入引起的稳态误差为零；
的反馈点（即分支点）A前移到 A 点时，A点的反馈值比在A点反馈少了s Rs， 为了保证变换的等效性，需在相加点 B处加以补偿，大小为s Rs ，于是有了
图a。下例的变换也是这个思路，碰到这类分支点和相加点需要相互移动的题目，
可用梅逊公式求解较为简单。
6
例2. 图(a)为系统结构图，图(b)为某典型单位阶跃响应。试确定
1s 1 ss 1
1 s
Cs

k 1s 1 ss 1
（d） 5
Rs
1
Cs
（e）
所以
Gs

Cs Rs

1
提示：本题用等效变换法做较复杂。主要困难可能出现在分支点和相加点互相 移动时（本例中的第一步变换），其移动的思路大致是：（参考图a）当原图
s
s2



Rs
1
k
s


A s 1 s
1
Cs
s
结构图 s
s2



Rs

1
k
s

B
A
s 1 s
1
Cs
s
2
（a）
s
s2



Rs

1
k
s

B
A
s 1 s
1 s
Cs
Rs
3
s
s2

1
k

s

（a）
s 1 s
s 1 s

1
s
Cs
k （b）
① 保持系统的稳态值不变； ② 瞬态性能变化不大。根据这个原则，原开环传递函数近似为
Gs

ss
20000
5s
500


ss

40
5
s
1

40
ss
5
500
近似后的闭环传递函数为
s 40
n2
s2 5s 40 s2 2 n s n2
(2) 闭环系统的特征方程为 s3 4s2 6s 10 0。
Rs
Es Gs
Y s

系统结构图
13
4. 解：由单位阶跃引起的误差为
1
Es

1
Rs Gs

1

s
Gs
由题意知稳态误差为
1
ess

lim
s0
s

1

s
Gs

0
所以
lim Gs
21
提示:（1）系统开环根轨迹增益为前向通路根轨迹增益和反馈通路根轨迹 增益的乘积。
（2）系统闭环根轨迹增益等于前向通路的根轨迹增益。 （3）系统的闭环零点由前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函
数的极点所组成。
22
例7．已知单位反馈系统的开环传递函数为
Gs

ss

k
2s

4
（1）画出系统的根轨迹；
20 -40
5
100

0
0.1 1
2
3 4 -60
29
因此系统的传递函数具有下述形式
K s 1
Gs
0.1

s 1

1
s 2

1
s 3

1
s 4
1
L() (dB)
40
0
30
0
20
20