晶体定向晶面符号与晶带

确定了晶体的对称型，仍不一定获得有关形态的完 整概念。
四个晶体的对称型都是L44L25PC，其中中间两个都
是四方柱和四方双锥组成。 要准确描述，就必须确定晶面在空间的相对位置， 需要一个坐标系统，这就是晶体的定向。
晶体定向就是在晶体中选定一个与晶体 对称特征相符合的坐标系统，使晶体中各种 几何要素得到相应的空间取向。
即：h＋k＋ i＝0
设一晶面MM’在X、Y、U轴上的截
距分别为P1、P2、P3，作辅助线
KM’，使其平行于U轴，OKM’为 等边三角形，三个边都等于P2。 由于△MKM’与△MOE相似，因
60°
60°
60°
M’
此:
式两边： 即： 因此，h + k + i = 0
,以P1除以等
，
M
（2）整数定律：晶面在轴上截距系数之比为简单 的整数比
也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).
Z Z
U Y X
三个晶轴不一定垂直
X
120º
Y
那么,怎么选出这些晶轴?
1）与晶体的对称特点相符合（既一般都以对称要素作晶 轴，要么对称轴，要么对称面法线，无对称轴，对称面的， 平行晶棱选取）。 2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为90°，即 相互垂直，并使轴长趋于相等，即尽可能使a＝b＝c 和α ＝β＝γ ＝ 90°。
设有一晶棱OP，将其平移,使其 通过晶轴交点，并在其上任取 一点M，M点在三个晶轴上的坐 标分别为MR、MK、MF，三个 轴的轴长分别为a、b、c。
O
P
Z
P R K M
则r:s:t=
a X
c b
O F
Y
=1 : 2 : 3
则 故该晶棱的符号为[ 123 ]. 如果某晶棱与某晶轴垂直，则该晶棱指数为0；如果某晶棱 与某晶轴平行，则该晶棱指数为1.
Z
Y
X
斜方晶系a
≠b ≠c
α ＝β ＝γ ＝ 90°
Z
β＞900
X
Y
单斜晶系a≠b≠c α＝γ＝ 90°β≠ 90°
Z
Z
Y Y
X X
三斜晶系a≠b≠c α≠β≠γ≠ 90°
（4）晶体常数 轴率a∶b∶c与轴角α、β、γ统称晶体常数，是表征晶体坐标
系统的一组基本参数 。晶体常数特点是可以在晶体宏观形态上体
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
四方晶系a＝b≠c α＝β＝γ＝ 90°
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
斜方晶系a≠b≠c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y
X
等轴晶系a＝b＝c α＝β＝γ＝ 90°
Z
Y
X
四方晶系a＝b≠c α ＝β ＝γ ＝ 90°
Z
U Y
X
三方、六方晶系a＝b≠c ； α＝β＝ 90°γ＝120°
α=γ= 90°
β＞ 90°
三斜晶系：
以不在同一平面内的主要 晶棱方向为 X、Y、 Z 轴。
晶体常数特点：
a≠b≠c α≠γ≠ β≠ 90°
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特点选出
的三根晶轴，与晶体内部结构的空间格子的三个不
共面的行列方向是一致的。
为什么? 因为空间格子中三个不共面的行列也是根据晶体的 对称性人为地画出来的，而晶轴也是根据晶体的对
根据晶带定律，我们可以由若干已知的晶面或晶带推导
出晶体上一切可能的晶面位置。 晶带定律和整数定律分别以不同的形式阐述了晶面（面 网）与晶棱（行列）相互依存的面符号的关系
设晶面（hkl）位于晶带[rst]上，也就是[rst] 直线位于（hkl）晶面中，
则根据平面方程式可以导出：hr+ks+lt=0 (参考南京大学地质学岩矿教研室 1978.7，结晶学与矿物学P61页, 北京,地质出版社）
27号模型菱面体：L33L23PC
斜方晶系：
以相互垂直的L2为 X、Y、 Z 轴；在L22P对称型中以 L2为Z 轴， 两个对称面P
的法线为X、Y 轴。
晶体常数特点：
a≠b≠c
α=β=γ=90°
单斜晶系：
以L2或 P的法线为 Y轴，以 垂直Y轴的主要晶棱方向为 X、 Z 轴。 晶体常数特点： a≠b≠c
平行于此组平行晶棱，通过晶体中心的 直线叫做该晶带的晶带轴。 该组晶棱的符号就是晶带轴的符号，用 [ ]表示。
思考: 水平大圆上晶面 晶带轴的符号?
思考: 该直立大圆上晶面 晶带轴的符号?
晶带定律：晶体上任一晶面至少属于两个晶带。即任意
两晶棱 (晶带)相交可决定一个可能晶面，任意两晶面相 交可决定一个可能晶棱(晶带)。
称性人为地选出来的。晶体的内部对称与晶体的宏
观对称是一致的，所以，晶轴与三个行列就是一致
的。
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（1）晶面符号的概念
晶体定向后，晶面在空间的相对位置就可以根 据它与晶轴的关系来确定，表示晶面空间方位的符
号就叫晶面符号。常用的是米氏符号（Miller’s
Sample）：晶面在三根晶轴上的截距系数的倒数比， 用小括号括起来。通常用（hkl）表示， h、k、l 叫 晶面指数 。 如果晶面相交于晶轴的负端，则在该相应指数上加
（A）求晶面（hkl)和晶面(mnp)决定的晶棱[rst] 因为: hr + ks + lt =0 mr + ns + pt =0 则: r:s:t=（kp-nl）:（lm－ph）:（hn－mk） 上式可表示为:
h
或写作:
容易记忆
例如:求晶面(100)和晶面(010)所决定的晶带
则:
r=0×0－1×0＝0，s=0×0-0×1=0 ，t＝1×1－0×0＝1
“－”。
举例:
设某晶面在X，Y，Z 轴上 的截距为2a，3b，6c, 那 么截距系数为2， 3， 6， 倒数为1/2，1/3，1/6， 化 简以后的倒数比为3:2:1， 写做(321)，这就是该晶面 的米氏符号。
当平行某轴时，视为截距 无穷大，倒数为0。 注意：三个晶轴上的轴单位 不一定相等，所以，截距 系数与截距不一定成正比。
对称面以m表示旋转反伸轴以12346表示若对称面与对称轴垂直则两者之间以斜线或横线隔开如l2pc以2m表示l4pc以4m表示由此可以看出对称中心c就不必再表示出来了因为偶次轴垂直对称面定会产生一个c
1、晶体定向 2、晶面符号（链接） 3、晶棱符号、晶带与晶带定律（链接） 4、国际符号（链接）
在晶体对称要素的空间分布时，已经涉 及晶体的定向。 由于对称性和异向性是晶体突出的性质， 因此在晶体形态、物性、内部结构研究以 及矿物鉴定工作中，晶体定向是必需的。 晶体定向后，晶体上的面、棱的空间方 位就可以用一定的指数（晶面或晶棱符号） 来表示。
及晶棱的具体位置，所有平行的晶棱只有一个晶棱符号。
确定晶棱符号的方法是：将晶棱（或其他直线）移至经过晶 体中心（即坐标原点），然后在直线上任取一点，求出该点 在三轴上的坐标（x、y、z），以轴长来度量，即可求得晶 面符号： =r:s:t 晶棱符号采用方括号表示“[ ]”,写作:[ rst ]
举例：
（2）轴角：三根晶轴正端之间的夹角，分别以α、β、γ 表示，其中α
为 Y ∧ Z 、β为 X ∧ Z 、γ为 X∧ Y轴之间的夹角。
＋
Z
－
Z
＋
－
β
α
γ
U
＋ －
－
Y
＋
Y
＋
X
＋ －
X
γ
－
＋
－
等轴晶系、四方晶系、斜方晶系晶轴为直角坐标系，其α＝β＝γ
＝ 90°。
在三方、六方晶系中α＝β＝ 90°， γ＝120°（ X、Y、U轴正端 之间的夹角）。 单斜晶系中，一轴倾斜， α＝ γ ＝ 90°， β＞ 90°。 三斜晶系三轴彼此斜交， α≠β≠γ≠ 90°。
与数学上坐标系统类似，包括两个基本 要素：轴角、轴单位 由此可见，晶体定向就是在晶体中选定 坐标轴（晶轴）和确定各轴上单位长（轴长） 的比率（轴率）以及坐标轴之间的夹角（轴 角）。
（1）晶轴：晶轴是交于晶体中心的三条 （或四条）直线，它们分别为： X 轴：水平轴，方向为前后，前端为 “＋” ，后端为“－”。 Y 轴：水平轴，方向为左右，右端为 “＋” ，左端为“－”。 Z 轴：直立轴，方向为上下，上端为 “＋” ，下端为“－”，并始终放在直
－ ＋X
＋Z
－ ＋Y
－ ＋Z
立位置。
对于三、六方晶系，四轴定向，增加一个 U轴，前端为 “－” ，后端为 “＋” 。
＋U
－ ＋Y
Y轴方向为左右，x轴正端朝正前偏左
30°。
＋ X
－
－
即是以晶体中心为原点建立的一个三轴或四轴的坐标系统。晶轴相当于格子 构造中的行列，并一般应与对称轴或者对称面的法线重合。
每个晶系的对称特点不同，因此每个晶系选择晶轴的具体方法 也不同，见下表（P56表I － 5 － 1）。 (此表非常重要，要熟记！).
定向举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
等轴晶系：
以相互垂直的L4或Li4无L4 或Li4时以相互垂直的L2为
晶轴。
晶体常数特点： a＝b＝c α=β=γ=90°
（2）晶带: 交棱相互平行的一组晶面的组合就叫晶带。 由布拉维法则可知，晶体被面网密度大的晶面所包围，所以实际晶体 晶面是有限的；相应的，晶面交棱也是密度较大的行列，这种行列方 向也是不多的，所以晶体上许多晶棱具有共同的方向，相互平行。
思考: 该直立大圆上晶 面晶带轴的符号?
一组晶面交棱相互平行，组成一个晶带。
例如：47号模型复方偏十二面体：3L24L33PC
四方晶系：
以L4或Li4为 Z 轴，以垂直
Z 轴并相互垂直的L2或P的
法线为X、Y 轴，当无 L2或
P时，平行于晶棱选取。
晶体常数特点：
a＝b≠c
α=β=γ=90°
26号模型四方四面体：Li42L22P
六方及三方晶系：
以L3 、L6、 Li6为 Z 轴，以垂 直 Z 轴并相互以120°相交 （正端）的L2或P的法线为X、 Y 、U轴，当无 L2或P时， X、 Y 、U平行于晶棱选取。X轴 水平朝正前偏左30°。 晶体常数特点： a＝b≠c α=β=90 ° γ=120°
晶面是面网，晶轴是行列，晶面截晶轴于结点。以晶轴单位长a、b、 c作为度量单位，则晶面在晶轴上截距的系数比为简单整数比。 整数定律：晶面指数为简单整数。为什么？面网密度越大，晶面在晶 轴上截距的系数比越简单；晶体被面网密度大的晶面所包围（布拉维 法则），因此晶面在晶轴上截距的系数比为简单整数比。实际晶体上 的晶面就是晶面指数简单的晶面。
现出来。与实际晶体的晶胞参数 a0、b0、c0 ， α、β、γ 一致。
Z 如果知道a0、b0、c0 和 α、β、γ ，就可以知道 晶胞的大小和形状；如 果知道a∶b∶c和 α、β、 γ ，虽不知道晶胞大小， 但可知其形状。
c
a X
晶体常数和晶胞形状的关系

b
Y
以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,
Z
c0
a0
b0 X
Y
不同物质晶体结构不同，结点间距不同，轴长各不相同。
等轴晶系 对称程度高，晶轴X、Y、Z 为彼此对称的行列， 它们通过对称要素的操作可以相互重合，因此它们的轴长是 相同的。即 a＝b＝c ，轴率 a：b：c ＝1：1：1 中级晶族 （四方、三方、六方晶系）具有一个高次轴，以 高次轴为Z轴，通过高次轴作用可以使X轴与Y轴重合，因此 轴长 a＝b，与 c 不等，其 a：c比例视晶体不同而不同。 低级晶族 （斜方、单斜、三斜晶系）对称程度低，X、Y、 Z 轴不能通过对称要素的操作相互重合，所以a≠b≠c，视 晶体不同a∶b∶c比值不同。
在晶体模型上怎么写晶面符号?因为我们并不知道 晶面截晶轴的截距系数, 但我们可以知道截距大小相 对关系. 如: (示范模型): 八面体（111）、四方双锥（hhl）斜 方双锥（hkl）
a=b=c α=β=γ=90°
返回 a=b≠c α=β=γ=90°
3、晶棱符号、晶带和晶带定律
（1）晶棱符号：为表征晶棱（直线）方向的符号，它不涉
H X
Z L
K Y
对于三方，六方晶系来 说,可以用四轴定向， 要用
四个晶面指数h、k、 i、l，
晶面符号为(hkil)，排列顺序
60°
为X、Y、U、Z，前面三个
指数的代数和等于0。 例如： （1120）（1011）等。所 M 以也可以将i去掉转换成三指 数晶面符号（hkl）。
60° 60°
M’
证明前面三个指数的代数和等于0
Z
晶轴投影
U
Y
Z
Y X
X
X－
斜方，四方， 等轴晶系
U
三六方晶系
X－
Y－
Z
Y
Y－
Z
Y
X
X
U－
X－
Y－
Y
X
注意：只有等轴晶系晶体在倾斜的位置才能出现对称面， 因此，只有等轴晶系晶体投影时才能画该位置的辅助线，
目的是确定四个三次轴的位置（P41表I-4-5）。
（3）轴长与轴率： 晶轴系格子构造中的行列，该行列上的 结点间距称为轴长。 X、Y、Z 个轴上的轴长分别以 a0、b0、 c0 表示。由于晶体结构中的结点间距较小，（一般以nm 计），需要藉X射线才能测定，对晶体外形的宏观研究不能 定出其轴长，但利用几何结晶学方法可以求出它们的比率 a0∶b0∶c0（或表示为a∶b∶c ），这一比率称为轴率。