三维运动估计

第七章 三维运动估计
7.1 投影位移场的模型 1．刚体运动模型
t 时刻刚体上点123(,,)T X X X X =
t '时刻运动到''
'12
3(,,)T X X X X '= 运动由旋转因子R 和平移因子T 描述
X ’=RX+T (7.1--1) 其中 R=33()ij r ⨯，31()i T t ⨯= 在较小旋转欧拉角时
(7.1--2) 而θ∆，ϕ∆，φ∆分别表示绕1X ，2X ，3X 轴的较小逆时角位移。

2．正交位移场模型
（1）正交位移场是指三维运动矢量正交投影到图象平面，
即有 且 (7.1--3) 由(7.1--1)有
(7.1--4) 上式是第t 帧的点（12,x x ）⇒t '帧的点（1
2,x x ''）的变换算法，实质上是6参数
11r ，12r ，（1331
rX T +）；21r ，22r ，（2332rX T +）的仿射变换。

是一个参数化模
型。

（2）关于景深
a.观察点与景物上点之间的真实是不可观察的，因为是正交投影。

b.但景物本身的结构信息包含在投影图象中的。

c.设实际景深为333X X X =+，则3X 可理解为景物上参考点的深度，而3X 是景物上某一点与参考点的相对深度，因此，6参数模型包含了景物的相对信息。

d.通过估计⇒二维运动估计+深度估计（结构信息）≈三维运动估计
1
11R φϕφθϕθ-∆∆⎛⎫ ⎪=∆-∆ ⎪ ⎪-∆∆⎝⎭
1122{x X x X ''=''=1122{X x X x ==1111122
133122112222332()
{()x r x r x r X T x r x r x r X T '=+++'=+++
3．透视位移场模型
（1）透视位移场可由透视模型
（7.1--5）
代入(7.1--1)式得到（令f=1）
(7.1--6)
(2)这是非线性模型
(3)对三维空间中任意形状运动表面有效，因为深度参数3X 是独立的。

(4)T 3与3X 是作为比例因子对透视位移场起作用，即以起作用T 3/3X ，T 3=0深度信息不可观测。

例
a,b 两物体的二倍相对距离，二倍速度⇒同样图象
7.2三维估计运算（其中一种）
二维运动估计的多种方法已有讨论。

我们的目的：由两个正交的观察视图（2帧）⇒估计一个比例因子α以及参考点景象常数3X ⇒决定特征点的深度⇒完成三维运动估计
观测方程为
333i i X X X α=+，i =1,…，N (7.2--1) (指的N 特征点)，其中3X 可理解为常量，是先验量。

1.两步迭代法
将欧拉角表达的R 代入(7.1--1), 在正交投影条件有
(7.2--2)
113
223{
X x f
X X x f X ''='''='1
111122133
1
3
311322333
2
211222233
23
311322333{
T r x r x r X x T
r x r x r X T r x r x r X x T r x r x r X +++
'=+++++'=+++33333322a b
a a b
b T T T V t T V t
=⎧⎪
=∆⎨⎪=∆⎩1
12312
2132x x x X T x x x X T φϕφθ'=-∆+∆+⎧⎨
'=-∆-∆+⎩
因此，在t 与t '帧之间，有5个全局运动参数θ∆，ϕ∆，φ∆；1T ，2T 以及一个深度参数3X ，由于有3X ϕ∆，3X θ∆项，因此为非线性的模型⇒也称双线性模型。

(7.1--8)式的求解分如下两个步骤 （1）估计5个运动参数
设有N 个（3N ≥）特征点，在t 帧为12(,)i i i X x x =，（7.2--1）式可变换为
(7.2--3) 由N 个特征点，可得到关于(θ∆，ϕ∆，φ∆，1T ，2T )T 的2N 个方程，由最小二乘法求解(θ∆，ϕ∆，φ∆，1T ，2T )T 的估计量。

注意3X 深度参数的估计可以由先验知识得到初始估计值，而且误差不能超过预定的范围⇒解的唯一性问题
（2）估计景深
当(θ∆，ϕ∆，φ∆；1T ，2T )T 估计出来后。

(7.2--1)又可写为
(7.2--4)
上式可估计出所有有关特征点的新的深度估计3i X ，i =1,…，N 算法可选择最小二乘法，显然，这一次的3i X 估计比先验初始值精确。

(3)上述步骤反复进行，直至估计量收敛⇒基本不变
(4)理论上N=3即可，但实质上需要多于3个以上特征点，有利于收敛。

(5)改进（修正的）算法，例如在3i X 的估计加上随机扰动。

2．透视模型法—同伦法 (1)偏振约束模型
X R X T '=+意味着矢量X '，T 和RX 是共平面的（X 与X '可能不共平面） 则有T RX ⨯正交于该平面；则
()0X T R X '∙⨯= (7.2--5) ⨯--叉积；∙--点积
故有()0T X EX '= (7.2--6) 其中
321
1312212010001X X x x X X x x T T θϕφ∆⎛⎫ ⎪∆ ⎪'--⎛⎫⎛⎫ ⎪=∆
⎪ ⎪'-- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎪
⎝⎭1121322
22x x x T X x x x T φϕφθ'-+∆-∆⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'--∆--∆⎝⎭⎝⎭1
23324
563
100e e e T T E e e e T T R -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
E 的元素称为必要参数，i e 之间是非独立的。

用33
X X '除(7.2--6)两边，在成像平面有
(7.2--7)
这是一个齐次方程，也称三维运动估计的偏振约束方程。

但线性方程：有解、无解和无穷多个解。

因此，在i e 中令某一个为1，求解其8个系数。

(2)必要参数的估计 令91e =，由(7.2--7)式有
取t 与t '帧中的N （8N ≥）个对应特征点，即由最小二乘法统计出i e 来。

注意
0T ≠，否则无法应用(7.1--11)式
(a) 对应N>8个时，可以优选最小范数解；即选择ˆe Ge =，且1e =（归一化）(7.1--14)。

而
(7.1--15)
解与G 的最小特征跟有关。

(b) 对应点N<8时→同伦法
(c) 方程是欠定的，将(7.1--12)式中的E 阵分解为
()(
)
12
312
3ˆE e e e kT r kT r kT r ==⨯⨯⨯ (7.1--16)
i r ，i =1，2，3是R 的列矢量
k 表示平稳矢量的长度因子，ˆT
是沿T 方向的单位矢量
(3)由低噪声点及数据⇒E ，恢复R 和ˆT
的算法。

7.3三维平面情况
网格−−
−→近似
曲面→分解为多个网格平面 1．特点
增加了约束条件
1231a X b X c X ++
= (7.3--1) 且()T a b c 是该平面的法向量
1122(1)01x x x E x ⎛⎫
⎪''= ⎪ ⎪⎝⎭[]()11
121212221
212
34567
81
T
x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e ''''''∙=-11
111112111211121212111211121212221211N N N N N N N N N N N N x x x x x x x x x x x x G x x x x x x x x x x x x ''''''⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥''''''⎢⎥⎣⎦
2．模型
(7.3--2) 其中
透视情况；其他情况（参数情况）
()111222333112233X X X X R X T a b c X X X X X X
X A X X X '⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭'⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
'⎝⎭⎝⎭
1
234
567
8
9()a a a A a a a R T a b c a a a ⎛⎫ ⎪
==+ ⎪ ⎪⎝⎭。