第一单元§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件

(2)命题“∀x∈
π
0,
2
【解析】(2)“∀x∈ 0,
,sin x<1”的否定是
π
2
“∃x∈ 0,
π
2
,sin x<1”的否定是“∃x∈ 0,
π
2
,sin x≥1”
.
,sin x≥1”.
答案
解析
题型三 根据命题的真假求参数的取值范围
【例 3】(1)若命题“∃x0∈R,02 +(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范
当 y= 2(sin 2x+cos 2x)=2sin 2
π
Ʊ4=2kπ-2,
3π

即 x=kπ- 8 ,k∈Z,故 q 为假命题.所以(�p)∧q
为假命题,故选
B.
点拨： “p∨q”“p∧q”“� p”情势命题真假的判断关键是对逻辑联结词
“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤:①明确其构成情势;②判断其中命题p,q的
.
π
π
【解析】(1)原命题等价于 tan x≤m 在 0, 4 上恒成立,即 y=tan x 在 0, 4
π
4
上的最大值小于或等于 m,又 y=tan x 在 0, 上的最大值为 1,
所以 m≥1,即 m 的最小值为 1.
(2)已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】p和q显然都是真命题,所以 p, q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题.
2.命题“∃x0≤0,使得02 ≥0”的否定是( A ).
A.∀x≤0,x2<0
B.∀x≤0,x2≥0
C.∃x0>0,02 >0
D.∃x0<0,02 ≤0
【解析】根据特称命题的否定是全称命题可知选A.
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,� p(x)
三、含有一个量词的命题的否定
命题
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
命题的否定
∃x0∈M,� p(x0)
∀x∈M,� p(x)
答案
基础训练
1.已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题 p, q, p ∨q,p∧q中真命题的个数为( B ).
答案
解析
3.下列命题中的假命题是( B ).
A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x0∈R,ln x0<1
D.∃x0∈R,tan x0=2
【解析】因为2x-1>0对∀x∈R恒成立,所以选项A中的命题是真命题;
当x=1时,(x-1)2=0,所以选项B中的命题是假命题;
存在0<x0<e,使得ln x0<1,所以选项C中的命题是真命题;
目
录
1
高考引航
2
必备知识
3
关键能力
高考引航
必备知识
知识清单
一、简单的逻辑联结词
1.命题中的“ 或
”“ 且

2.命题p∧q,p∨q, p的真假判定
p
q p∧q
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假 假
p∨q
真
假
”“
非
”叫作逻辑联结词.
�p
假
假
真
真
答案
二、全称命题与特称命题
1.全称量词和存在量词
量词名称
全称量词
点拨：根据复合命题真假求参数的步骤
(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假;
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况,从而求出参
数的取值范围.
答案
解析
【追踪训练 3】(1)若“∀x∈
值为
1
π
0, 4
,tan x≤m”是真命题,则实数 m 的最小
p:任意x∈[1,+∞), 使得
答案
解析
(2)命题“∀x>0,

>0”的否定是( B
-1
).

A.∃x>0, ≤0
-1
B.∃x>0,0≤x≤1

C.∀x>0, ≤0
-1
D.∀x>0,0≤x≤1
【解析】(2)命题“∀x>0,


>0”的否定是“∃x>0, ≤0 或 x=1”,
-1
-1
即∃x>0,0≤x≤1,故选 B.

A.�p:任意
x∈[1,+∞),使得(log23)x<1

B.�p:不存在
x0∈[1,+∞),使得 (log 2 3) x0 <1

C.�p:任意
x∈[1,+∞),使得(log23)x≤1

D.�p:任意
x∈(-∞,1),使得(log23)x≤1
【解析】(1)根据全称命题与特称命题的关系,可得
(log23)x≤1,故选C.
从而p为假不一定成立,即�p为真不一定成立.
因此,“� p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.
答案
解析
(2)已知命题 p:∃x∈R,cos x>sin x,命题 q:∀x∈(0,π),sin
1
x+sin>2,
则下列判断正确的是( D ).
A.命题 p∨q 是假命题
B.命题 p∧q 是真命题
C.命题 p∨( q)是假命题
D.命题 p∧(
q)是真命题
【解析】(2)当
当
π
x= 时,sin
2
π
x=6时,cos
x>sin x 成立,所以命题 p 是真命题;
1
x+
=2,
sin

故 q 是假命题.因此,p∧(�q)是真命题.
答案
解析
题型二 全称命题与特称命题
【例 2】(1)命题 p:存在 x0∈[1,+∞),使得 (log 2 3) x0 >1 的否定是( C ).
真假;③确定“p∨q”“p∧q”“� p”情势命题的真假.
点拨
【追踪训练1】(1)已知命题p,q,则“� p为真”是“p∧q为假”的( A ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】(1)由� p为真知p为假,则p∧q为假;反之,若p∧q为假,
则命题p,q中至少有一个为假,
1
D.存在一个负数 x,>2
【解析】(1)A 中锐角三角形的内角都是锐角,所以 A 是假命题;
B 中当 x=0 时,x2=0,满足 x2≤0,所以 B 既是特称命题又是真命题;
C 中因为 2+(- 2)=0 不是无理数,所以 C 是假命题;
1
1
D 中对于任意一个负数 x,都有<0,不满足>2,所以 D 是假命题.
则下列说法正确的是(
A.p∨q 是假命题
C.p∧q 是真命题
B ).
B.( p)∧q 是假命题
D.( p)∨q 是真命题
答案
解析
【解析】命题 p 中,y=cos
π
3π
2- 4
=cos
π π
2- 4 - 2
=cos
π
2
π
2- 4
=sin
π
2- 4
,
π
y=sin 2- 4 与 y=sin 2 + 4 的图象关于原点对称,故 p 为真命题.命题 q 中,
点拨：对全(特)称命题进行否定的方法:①找到命题所含的量词,没
有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;②对原命题的
结论进行否定.
答案
解析
【追踪训练 2】(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( B ).
A.锐角三角形有一个内角是钝角
B.至少有一个实数 x,使 x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
围是( D ).
A.[-1,3]
B.(-1,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
【解析】(1)因为命题“∃x0∈R,02 +(a-1)x0+1<0”是真命题等价于
02 +(a-1)x0+1=0 有两个不等的实根,
2
2
所以 Δ=(a-1) -4>0,即 a -2a-3>0,解得 a<-1 或 a>3,故选 D.
答案
解析
(2)已知p:对任意x∈[1,2],x2-a≥0,q:存在x∈R,x2+2ax+2-a=0,若p且q为真命题,则
实数a的取值范围是 (-∞,-2]∪{1} .
【解析】(2)若 p 且 q 为真命题,则 p,q 都是真命题.
由 p 为真命题知 x2≥a 在[1,2]上恒成立,只需 a≤(x2)min=1.
1
值范围是
5
(-∞,0]∪ 2 ,1 ∪ 2 , + ∞
.
答案
解析
【解析】若命题 p 为真命题,则函数 y=x2-2x+a 在区间(1,2)上有一个零点.
因为二次函数的图象开口向上,对称轴为直线 x=1,
12 -2 × 1 + a < 0,
所以 2
得 0<a<1.
2 -2 × 2 + a > 0,
答案
解析
方法突破
方法
分类讨论思想在命题真假判断中的应用
根据含逻辑联结词命题的真值表推出所给命题的真假需分情况讨论,讨论时要
全面.如:命题“p∨q”为真且“p∧q”为假时,要分为p真q假和p假q真两种情况.
【突破训练】已知p:函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,q:函数y=x2+(2a3)x+1的图象与x轴交于不同的两点.若p且q是假命题,p或q是真命题,则实数a的取
③的原命题为真命题,其否定为假命题.故真命题的序号为①②.
答案
解析
关键能力
题型归纳
题型一
含有逻辑联结词的命题的真假判断
π
3π
【例 1】已知命题 p:函数 y=sin 2 + 4 和函数 y=cos 2- 4 的图象关于原点对称,
π
命题 q:当 x=kπ+2(k∈Z)时,函数 y= 2(sin 2x+cos 2x)取得极小值,
因为正切函数y=tan x的值域是R,所以选项D中的命题是真命题.
4.给出下列命题:
①对任意 x∈N,x3>x2;
②存在 x0∈R,02 -x0+1≤0;
③存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
以上命题的否定中,真命题为 ①② .(填序号)
【解析】①的原命题为假命题,其否定为真命题;
②的原命题为假命题,其否定为真命题;
存在量词
常见量词
所有、一切、任意、全部、每一
个、任给
存在一个、至少有一个、有一个、
某个、有些
符号表示
∀
∃
答案

2.全称命题和特称命题
名称形式
结构
简记
否定
全称命题
对 M 中的 任意一个 x,
有 p(x)成立
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,� p(x0)
存在
特称命题
M 中的一个 x0,使
p(x0)成立
若命题 q 为真命题,则函数 y=x2+(2a-3)x+1 的图象与 x 轴交于不同的两点.
2
2
由 Δ=(2a-3) -4>0,得 4a -12a+5>0,解得
1
a<2或
5
a>2.
因为 p 且 q 是假命题,p 或 q 是真命题,所以 p,q 一真一假.
0 < < 1,
若 p 真 q 假,则 1
设 f(x)=x2+2ax+2-a,存在 x∈R 使 f(x)=0,只需 Δ=4a2-4(2-a)≥0,
即 a2+a-2≥0,解得 a≥1 或 a≤-2,所以由命题 q 为真知 a≥1 或 a≤-2.
≤ 1,
由
得 a=1 或 a≤-2,
≥ 1 或 ≤ -2,
故实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪{1}.
2
若 p 假 q 真,则
≤a≤
1
5 解得 ≤a<1;
2
,
2
≤ 0 或 ≥ 1,
5
1
5 解得 a≤0 或 a>2.
< 2或 a > 2,
故实数 a 的取值范围是(-∞,0]∪
1
,1
2
∪
5
,+∞
2
.
谢 谢 观 赏
m的取值范围为( A ).
A.m≥2
B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2
D.-2≤m≤2
【解析】(2)依题意知 p,q 均为假命题.当 p 是假命题时,mx2+1>0 恒成立,
则有 m≥0;当 q 是真命题时,Δ=m2-4<0,即-2<m<2.因此由 p,q 均为假命题
≥ 0,
得
即 m≥2.
≤ -2 或 ≥ 2,