2020版九年级北师大数学下册：第2章 二次函数2.1 二次函数
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2.1 二次函数
第二章
2.1 二次函数
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
知识点1 二次函数的概念
1.下列函数是二次函数的是 ( C )
A.y=x C.y=x-2+x2
B.y=1������ D.y=���1���2
2.二次函数y=(2x-3)(1-x)化为一般式为 y=-2x2+5x-3 ,
14.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1. (1)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样? (2)若这个函数是一次函数,求m的值. (3)这个函数可能是正比例函数吗?为什么? 解:(1)由m2-m≠0,得m≠0且m≠1时,函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1是二次函数. (2)由题意知,m2-m=0且m-1≠0,解得m=0. 即当m=0时,函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1是一次函数. (3)若函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1是正比例函数,则m2-m=0,m+1=0,m-1≠0,所以m不存 在, 所以函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1不可能是正比例函数.
第二章
2升练
拓展探究突破练
-5-
知识点3 求二次函数的值 6.在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)之间的函数表达式为s=5t2+2t,则当 t=4秒时,该物体所经过的路程为 ( D ) A.28米 B.48米 C.68米 D.88米 7.已知二次函数y=x2-3x-4,当x=-2时,函数值y= 6 .
时间 t/秒 1 2 3 4 …
距离 s/米
2 8 18 32 …
则s关于t的函数关系式为 s=2t2 .当向下滚动的距离为98米时,所用时间为 7 秒.
第二章
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-8-
13.写出下列问题中的函数表达式及自变量的取值范围,并指出此函数是否为二次函数. (1)矩形的长为4 cm,宽为3 cm,将其长与宽都增加x cm,增加的面积y(cm2)与x(cm)之间的 函数关系; (2)某商品每件成本为40元,以单价55元试销,每天可售出100件.根据市场预测,定价每减 少1元,销量可增加10件,每天销售该商品的获利金额y(元)与定价x(元)之间的函数关系.
第二章
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综合能力提升练
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-10-
15.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子,镜子的长
与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外
制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜子的宽度是x米. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)如果这面镜子的宽为2米,则制作这面镜子的总费用为多少元?
解:(1)由题意可得y=(4+x)(3+x)-4×3=x2+7x(x≥0),
此函数是二次函数.
(2)由题意可得y=(x-40)[100+(55-x)×10]=-10x2+1050x-26000(40≤x≤55),
此函数是二次函数.
第二章
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-9-
C.形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数
D.二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的值均不能为零
10.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价售卖.若每件商
品售价为x元,则可卖出(350-10x)件商品,那么商店所赚的钱y(元)与售价x(元)之间的函
数关系式 ( B )
A.y=-10x2-560x+7350 B.y=-10x2+560x-7350
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-6-
8.若 y=(m2+m)������������2-2������-1是二次函数,则 m 的值是 ( D )
A.1±2 3
B.2
C.-1 或 3
D.3
9.下列结论正确的是 ( B )
A.二次函数中两个变量的值是非零实数
B.二次函数中变量x的值是所有实数
C.y=-10x2+350x
D.y=-10x2+350x-7350
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-7-
11.已知函数y=(m-1)x|m|+1+2x是二次函数,当x=3时,y的值为 -12 . 12.一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离 s(米)与时间t(秒)的数据如下表:
解:(1)由题意得y=(2x+2x+x+x)×30+45+2x2×120=240x2+180x+45.
(2)当x=2时,
y=240×22+180×2+45=960+360+45=1365(元).
答:制作这面镜子的的总费用为1365元.
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-4-
5.如图,一块草地是长80 m、宽60 m的矩形,现欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的 小路,这时草坪的面积为y m2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解:依题意得y=(80-x)(60-x)=x2-140x+4800, 自变量x的取值范围为0≤x<60.
其中a= -2 ,b= 5 ,c= -3 .
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-3-
知识点2 列二次函数关系式 3.下列函数关系中,是二次函数的是 ( D ) A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 B.当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D.半圆面积S与半径R之间的关系 4.某工厂2018年某种产品的产量为120吨,该产品产量的年平均增长率为x(x>0).设2020 年该产品的产量为y吨,则y与x之间的函数关系式为 y=120(1+x)2 .
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知识点1 二次函数的概念
1.下列函数是二次函数的是 ( C )
A.y=x C.y=x-2+x2
B.y=1������ D.y=���1���2
2.二次函数y=(2x-3)(1-x)化为一般式为 y=-2x2+5x-3 ,
14.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1. (1)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样? (2)若这个函数是一次函数,求m的值. (3)这个函数可能是正比例函数吗?为什么? 解:(1)由m2-m≠0,得m≠0且m≠1时,函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1是二次函数. (2)由题意知,m2-m=0且m-1≠0,解得m=0. 即当m=0时,函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1是一次函数. (3)若函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1是正比例函数,则m2-m=0,m+1=0,m-1≠0,所以m不存 在, 所以函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1不可能是正比例函数.
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知识点3 求二次函数的值 6.在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)之间的函数表达式为s=5t2+2t,则当 t=4秒时,该物体所经过的路程为 ( D ) A.28米 B.48米 C.68米 D.88米 7.已知二次函数y=x2-3x-4,当x=-2时,函数值y= 6 .
时间 t/秒 1 2 3 4 …
距离 s/米
2 8 18 32 …
则s关于t的函数关系式为 s=2t2 .当向下滚动的距离为98米时,所用时间为 7 秒.
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-8-
13.写出下列问题中的函数表达式及自变量的取值范围,并指出此函数是否为二次函数. (1)矩形的长为4 cm,宽为3 cm,将其长与宽都增加x cm,增加的面积y(cm2)与x(cm)之间的 函数关系; (2)某商品每件成本为40元,以单价55元试销,每天可售出100件.根据市场预测,定价每减 少1元,销量可增加10件,每天销售该商品的获利金额y(元)与定价x(元)之间的函数关系.
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15.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子,镜子的长
与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外
制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜子的宽度是x米. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)如果这面镜子的宽为2米,则制作这面镜子的总费用为多少元?
解:(1)由题意可得y=(4+x)(3+x)-4×3=x2+7x(x≥0),
此函数是二次函数.
(2)由题意可得y=(x-40)[100+(55-x)×10]=-10x2+1050x-26000(40≤x≤55),
此函数是二次函数.
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C.形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数
D.二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的值均不能为零
10.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价售卖.若每件商
品售价为x元,则可卖出(350-10x)件商品,那么商店所赚的钱y(元)与售价x(元)之间的函
数关系式 ( B )
A.y=-10x2-560x+7350 B.y=-10x2+560x-7350
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8.若 y=(m2+m)������������2-2������-1是二次函数,则 m 的值是 ( D )
A.1±2 3
B.2
C.-1 或 3
D.3
9.下列结论正确的是 ( B )
A.二次函数中两个变量的值是非零实数
B.二次函数中变量x的值是所有实数
C.y=-10x2+350x
D.y=-10x2+350x-7350
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11.已知函数y=(m-1)x|m|+1+2x是二次函数,当x=3时,y的值为 -12 . 12.一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离 s(米)与时间t(秒)的数据如下表:
解:(1)由题意得y=(2x+2x+x+x)×30+45+2x2×120=240x2+180x+45.
(2)当x=2时,
y=240×22+180×2+45=960+360+45=1365(元).
答:制作这面镜子的的总费用为1365元.
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5.如图,一块草地是长80 m、宽60 m的矩形,现欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的 小路,这时草坪的面积为y m2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解:依题意得y=(80-x)(60-x)=x2-140x+4800, 自变量x的取值范围为0≤x<60.
其中a= -2 ,b= 5 ,c= -3 .
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-3-
知识点2 列二次函数关系式 3.下列函数关系中,是二次函数的是 ( D ) A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 B.当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D.半圆面积S与半径R之间的关系 4.某工厂2018年某种产品的产量为120吨,该产品产量的年平均增长率为x(x>0).设2020 年该产品的产量为y吨,则y与x之间的函数关系式为 y=120(1+x)2 .