上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷调研考试数学统一考试试卷

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷调研考
试数学统一考试试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上） 1．已知,1,121i z i z -=+=且1
2111z z z
-=
，则=z ▲．（-i ）
2．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,2
1,a a a 成等差数
列，则8
7109a a a a ++=▲．（ ）22
3+
3．函数x x x f sin cos 3)(+=
)2
2
(π
π
<
<-
x 的值域为▲．(]2,1-
4．下图是一个算法的流程图，则输出n 的值是▲．（5）
5．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数
)(x f 满足)()(x f x f =-，记()g x 为)(x f 的导函数，则
)(x g -与()g x 的关系是▲．（)(x g -+()g x =0）
6．已知α、β表示两个不同的平面，m 是平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”之一）“必要不充分”
7．用数字1,2,3作为函数c bx ax y ++=2的系数，则该函数有零点的概率为▲．（ ）3
1
8．已知点),(b a M 在由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥20
y x y x 所确定的平面区域内，则),(b a b a N +-所在的平面区域的面积为▲．（4）
9．给出下列四个命题：①函数)3
2sin(3)(π-=x x f 的图象关于点)
0,6
(π-对称；②若1->≥b a ，则
b
b
a a +≥
+11；③存在实数x ，使0123=++x x ；④设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任意一点，圆1)()(:222=-+-b y a x O ，当
1)()(2121=-+-b y a x 时，两圆相切．其中正确命题的序号是▲．（把
你认为正确的都填上）（②③） 10．在
ABC
∆中，
2
,4==AC AB ，
M
是
ABC
∆内一点，且满足
2=++，则AM ⋅=▲．（-3）
11．在直角坐标系中，过双曲线19
2
2
=-y x 的左焦点F 作圆1
22=+y x 的一条切线（切点为T ）交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，则MT OM -=▲．（2） 12．在斜三角形
ABC
中，角
C
B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若
1tan tan tan tan =+B
C
A C ，则 =+2
2
2c
b a ▲．（3） 13．在等差数列{}n a 中，n S 表示其前n 项，若m n
S n =，)(n m n
m S m ≠=，则m n S +的取值范围是▲．（4，∞+） 14．设函数
|
|1)(x x
x f +-
=)
(R x ∈，区间[])(,b a b a M <=，集合
{}M x x f y y N ∈==),(|，则使N M =成立的实数对),(b a 有▲对．（0）
答卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点
P
在单位圆上，
,),0(,OP OA OQ AOP +=<<=∠πθθ
四边形OAQP 的面积为S
⑴求S OQ OA +⋅的最大值及此时θ的值0θ；
⑵设点,),5
4,53(α=∠-AOB B 在⑴的条件下求)cos(0θα+．
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形， 90=∠BED ，
BE ∥CD ，AB =6，BC =5，
3
1
=BE CD ，侧面ABE ⊥底面BCDE ，
︒=∠90BAE ．
⑴求证：平面ADE ⊥平面ABE ；
⑵过点D 作面α∥平面ABC ，分别于BE ，AE 交于点F ，G ，求DFG ∆的面积．
17．（本小题满分14分）
如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A
处有一个供给科考船物资的小岛，其中3
1
tan =α，13
2cos =
β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m 海里的B 处的补给船，
速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考
船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜． ⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； E B
C
D A
第16题图
⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜． 18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆12
:22
=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，下顶点为
A ，点P 是椭圆上任一点，圆M 是以2PF
⑴当圆M 的面积为8
π，求PA ⑵当圆M 与直线1AF 相切时，求圆M ⑶求证：圆M 总与某个定圆相切． 19．（本小题满分16分） 在数列{}n a 中，1
21
,411,111-=
-
==+n n n n a b a a a ⑴求证：数列{}n b 为等差数列；
⑵设n
b n
c 2=，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由． ⑶已知当*∈N n 且6≥n 时，m
n n m )2
1()31(<+-
，其中n m ,2,1=，求满足等式n
b n n n n b n )3()2(43+=++++ 的所有n 的值．
20．（本小题满分16分） 已知函数1
)(+=
x a
x ϕ，a 为正常数．
⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=，且a 2
9=，求函数)(x f 的单调增区间；
⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>．
⑶若)(ln )(x x x g ϕ+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有
1)
()(1
212-<--x x x g x g ，求
a 的取值范围．
附加题
21．已知⊙1O 与⊙2O 的极坐标方程分别为θρθρsin 4,cos 4-==． (1)写出⊙1O 和⊙2O 的圆心的极坐标；
(2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的极坐标方程． 22．若
2011
201122102011)21(x a x a x a a x ++++=- （ ）
R
x ∈，求
2011
2011221222a a a +++ 的值．
23．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为
PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．
⑴求证：M 为PC 中点；
⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小． 24．已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所
得弦24=AB ．
⑴求p 的值；
⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过
A 、
B 、
C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案及评分标准
填空题答案 ： -i ； 22
3+； (]2,1-； 5； )(x g -+()g x =0； 必要不充分；
3
1
； 4； ②③； -3； 2； 3； （4，∞+）； 0
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）
A
是单位圆与
x
轴正半轴的交点，点
P
在单位圆上，
,),0(,OP OA OQ AOP +=<<=∠πθθ
四边形OAQP 的面积为S
A
P
B
C
D
M
第23题图
⑴求S +⋅的最大值及此时θ的值0θ；
⑵设点,),5
4,53(α=∠-AOB B 在⑴的条件下求)cos(0θα+．
答案：
解:⑴由已知)sin ,(cos ),0,1(θθP A (3)
OP OA OQ += ，)sin ,cos 1(θθ+=∴OQ
又,sin θ=S 1)4
sin(21cos sin ++=++=+⋅∴π
θθθS OQ OA )0(πθ<<
故
S
+⋅的最大值是
1
2+，此时
4
0π
θ=
, (8)
⑵
,),54,53(α=∠-AOB B 5
4
sin ,53cos =-=∴αα…………………………………
(10)
)cos(0θα+=10
2
7)cos (sin 22)4
cos(-=+=
+
ααπ
α．…………………………
(14)
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形， 90=∠BED ，
BE ∥CD ，AB =6，BC =5，
3
1
=BE CD ，侧面ABE ⊥底面BCDE ，
︒=∠90BAE ．
⑴求证：平面ADE ⊥平面ABE ；
⑵过点D 作面α∥平面ABC ，分别于BE ，AE 交于点F ，G ，求DFG ∆的面积．
答案：
A A
（1）证明：因为侧面ABE ⊥底面BCDE ， 侧面ABE ∩底面BCDE =BE ，
DE ⊂底面BCDE ， DE ⊥BE ，
所以DE ⊥平面ABE ， 所以AB ⊥DE ， 又因为AE AB ⊥， 所以AB ⊥平面ADE ， 所
以
平
面
ADE ⊥平面
ABE ； (7)
（2）因为平面α∥平面ABC ， 所
以
DF
∥
BC
，同理
FG
∥
AB (9)
所以四边形BCDF 为平行四边形． 所以BF CD BC DF ===,5， 因为31=BE
CD ，所以3
2=EB EF
所以43
2==AB FG (11)
由⑴易证：⊥FG 平面ADE ，所以DG FG ⊥，所以3=DG 所
以
DFG
∆的面积
6=S ． (14)
17．（本小题满分14分）
如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ
方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β
角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中3
1tan =α，13
2cos =
β．现指
挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜． ⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ；
⑵ 应征调m 答案：
解 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为
则直线OZ 方程为
x y 3=． ………………………………………………………………
…2 设
点
()
00,y x A ，
则
a
a a x 313
313sin 130=⋅
==β，
a a a y 213
213cos 130=⋅
==β，
即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x m
a a
y --=32．
上
面的方程与
x
y 3=联立得点
)736,732(
a
m am
a m am C -- (5)
)3
7
(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴ (8)
⑵
328)3149492(314)
37(949)37()(2
22a a a a a a m a a m a m S =
+≥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=…………………
12
当且仅当
)
3
7(9493
7
2
a m a a m -=
-时，即
a m 3
14=
时取等
号， …………………………14 18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆12
:22
=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，下顶点为
A ，点P 是椭圆上任一点，圆M 是以2PF
⑴当圆M 的面积为8
π，求PA ⑵当圆M 与直线1AF 相切时，求圆M ⑶求证：圆M 总与某个定圆相切． 答案：
解 ⑴易得()0,11-F ，()0,12F ，()1,02-A ，设()11,y x P ， 则()()()2
12
12
12
12
12
222
12111-=-+-=+-=x x x y x PF ，
∴
()222
2
2112≤≤--
=x x PF ， …………………………………………
(2)
又圆M 的面积为8
π，∴()21288
-=
x ππ
，解得11=x ， ∴⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛22,1P 或⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-22,1， ∴
PA
所在的直线方程为
1221-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
=x y 或
1221-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=x y ； (4)
⑵∵直线1AF 的方程为01=++y x ，且⎪⎭
⎫
⎝⎛+2,2
111y x M 到直线1AF 的距离为
11
14
2
222
12
21x y x -=
+++， 化简得
1211--=x y ， (6)
联
立方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12
1
22
12111y x x y ，解得
1=x 或
9
8
1-
=x ． …………………………8 当
01=x 时，可得⎪⎭⎫
⎝⎛-21,21M ，
∴ 圆
M
的方程为
2121212
2
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++⎪⎭⎫ ⎝
⎛-y x ；………9 当
98
1-=x 时，可得⎪⎭
⎫ ⎝⎛187,181M ， ∴ 圆
M
的方程为
1621691871812
2
=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ； (10)
⑶圆M 始终与以原点为圆心，半径21=r （长半轴）的圆（记作圆
O ）相切． 证明
：∵
()()1212121214
2
228414
144
1x x x y x OM +=-++=
++=
， ……………14 又圆M 的半径1224
222x MF r -=
=，∴21r r OM -=， ∴圆M
总与圆O 内切． (16)
19．（本小题满分16分） 在数列{}n a 中，1
21
,411,111-=
-
==+n n n n a b a a a ，其中*∈N n ． ⑴求证：数列{}n b 为等差数列；
⑵设n
b n
c 2=，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数
列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由． ⑶已知当*∈N n 且6≥n 时，m
n n m )2
1()31(<+-
，其中n m ,2,1=，求满足
等式n
b n n n n b n )3()2(43+=++++ 的所有n 的值．
答案： ⑴
证
明：
1121
121211
21
121
11=----=
--
-=
-++n n
n n n n a a a a b b ……………………2 ∴数列{}n b 为等差数
列 …………………………………………4 ⑵解：假设数列{}n c 中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第)(,,q r p q r p <<项， 由
⑴
得
n
b n =，∴
n n c 2=， (5)
∴
q
p r 2222+=⋅， ∴
p q p r --++=2121 (7)
又
p
r -+12为偶数，
p
q -+21为奇
数． …………………………………………9 故
不
存
在
这
样
的
三
项
，
满
足
条
件． …………………………………………10 ⑶由⑵得等式n
b n n n n b n )3()2(43+=++++
可化为n n n n n n )3()2(43+=++++ 即1)3
2()34()33(=+++++++n
n n n n n n ∴
1)311()311()31(=+-+++--++-
n
n n n n n n n (12)
∵当6≥n 时，m
n n m )2
1()31(<+-
， ∴,21)311(<+-n n ,)2
1()321(2<+-n n …,)21()31(n n n n <+-
∴1)2
1(1)21()21(21)311()311()31(2<-=++<+-+++--++-n n n n n n n n n n
∴当
6
≥n 时，
n n n n n n )3()2(43+<++++ (14)
当5,4,3,2,1=n 时，经验算3,2=n 时等号成立 ∴
满
足
等
式
n
b n n n n b n )3()2(43+=++++ 的所有
3,2=n (16)
20．（本小题满分16分） 已知函数1
)(+=
x a
x ϕ，a 为正常数．
⑴若)(ln )(x x x f ϕ+=，且a 2
9=，求函数)(x f 的单调增区间；
⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，
()22,y x B ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k
，试证
明：)(0x f k '>． ⑶若
)
(ln )(x x x g ϕ+=，且对任意的
(]
2,0,21∈x x ，
2
1x x ≠，都有
1)
()(1
212-<--x x x g x g ，求
a 的取值范围．
答案： 解：⑴
2
22)1(1
)2()1(1)(++-+=+-='x x x a x x a x x f
∵a 2
9=，令0)(>'x f 得2>x 或2
10<<x
∴函数)(x f 的单调增区间为),2(),2
1,0(+∞ (4)
⑵证明：当0=a 时x x f ln )(=
∴x
x f 1)(='∴2
1002
1)(x x x x f +=
=
' 又1
212
12121212ln
ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=--=--=
不妨设12x x > ， 要比较k 与)(0x f '的大小， 即比较
1212
ln
x x x x -与
2
12x x +的大小，又∵12x x >，
∴ 即比较1
2ln x x 与1)1(
2)(21
2
1
2
2
112+-=
+-x x x x x x x x 的大小．
令)1(1
)
1(2ln )(≥+--=x x x x x h (8)
则0)1()1()1(41)(2
2
2≥+-=+-
='x x x x x x h ∴)(x h 在[)+∞,1上位增函数． 又11
2
>x x ，∴0)1()(
12=>h x x h ， ∴1)1(
2ln 1
2
1
2
1
2+->x x x x x x ，
即)(0x f k '>……………………………………………10 ⑶∵
1)()(1
212-<--x x x g x g ， ∴[]0)()(121122<-+-+x x x x g x x g
由题意得
x
x g x F +=)()(在区间(]2,0上是减函
数． (12)
︒1 当x x a
x x F x +++
=≤≤1
ln )(,21， ∴1)1(1)(2++-
='x a x x F 由31
3)1()1(0)(222+++=+++≥⇒≤'x
x x x x x a x F 在[]2,1∈x 恒成立．
设=)(x m 3132+++x x x ，[]2,1∈x ，则0312)(2>+-='x
x x m
∴
)
(x m 在[]2,1上为增函数，∴
2
27)2(=
≥m a (14)
︒2 当x x a
x x F x +++
-=<<1
ln )(,10，∴1)1(1)(2
++--='x a x x F 由11
)1()1(0)(222--+=+++-≥⇒≤'x
x x x x x a x F 在)1,0(∈x 恒成立
设=)(x t 112--+x
x x ，)1,0(∈x 为增函数
∴0)1(=≥t a
综上：a 的取值范围为2
27≥a (16)
附加题
21．已知⊙1O 与⊙2O 的极坐标方程分别为θρθρsin 4,cos 4-==． (1)写出⊙1O 和⊙2O 的圆心的极坐标；
(2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的极坐标方程． 答案：
解：(1)⊙1O 和⊙2O 的圆心的极坐标分别为)2
3,2(),0,2(π
(2)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系， 在直角坐标系下⊙
1
O 与⊙
2
O 的方程分别为
04,042222=++=-+y y x x y x (6)
则经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的方程为x y -= 其
极
坐
标
方
程
为
4
π
θ-
=（ ）
R ∈ρ． (10)
22．若
2011
201122102011)21(x a x a x a a x ++++=- （ ）
R
x ∈，求
2011
2011221222a a a +++ 的值．
答案：
解：由题意得：
2011,2,1,)2(2011 =-=r C a r r
r ， (2)
∴
2011
2011
201020113201122011120112011
20112212
22C C C C C a a a -++-+-=+++ ， (6)
∵02011
20112010201132011220111201102011
=-++-+-C C C C C C …………………………8 ∴12
2
2
2011
2011
221-=+++a a a …………………………………………10 23．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为
PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．
⑴求证：M 为PC 中点；
⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小． 证明 ⑴连接AC 与BD 交于G ，则平面PAC ∩平面BDM =MG ，
由PA ∥平面BDM ，可得PA ∥MG ， ∵底面ABCD 是菱形，∴G 为AC 中点，
∴MG 为△PAC 中位线， ∴
M 为PC 中
点． (4)
⑵取AD 中点O ，连接PO ，BO ， ∵△PAD 是正三角形，∴PO ⊥AD ， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，
A
P
B
C
D
M 第23题图
∴PO ⊥平面ABCD ，
∵底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，△ABD 是正三角形， ∴AD ⊥OB ，
∴OA ，OP ，OB 两两垂直，以O 为原点，，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如右图所示，则()0,0,1A ，
()0
,3,1B ，()0,0,1-D ，()3,0,0P ，
∴()3
,0,1=DP ，()0
,3,
1-=AB ，
∴()()
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=23,23,02121
()3
,3,0--=BP ，()0,0,2==DA CB ，
∴023230=+-=⋅BP DM ，000=++=⋅∴DM ⊥BP ，DM ⊥CB ，∴DM ⊥平面PBC ， ∴2
2
,cos >=
< 平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为
4
π (10)
24．已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB
．
⑴求p 的值；
⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：
解：⑴由⎩⎨⎧==py
x x y 22
解得)2,2(),0,0(p p B A
∴
p
p p AB 22442422=+==，
∴
2=p (4)
⑵由⑴得)4,4(),0,0(,42B A y x =
假设抛物线L 上存在异于点A 、B 的点
C )4,0()4
,(2
≠≠t t t t ，使得经过
A 、
B 、
C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线
令圆的圆心为),(b a N ，则由⎩⎨⎧==NC NA NB
NA 得⎪⎩
⎪⎨⎧-+-=+-+-=+222222
222)
4()()4()4(t b t a b a b a b a 得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+83248
481244222t t b t
t a t t tb a b a …………………………………………6 ∵抛物线L 在点C 处的切线斜率)0(2
|≠='==t t y k t x
又该切线与NC 垂直， ∴0412212432
=--+⇒-=⋅--
t t bt a t t a t b
∴08204
1
28324)84(223322=--⇒=--++⋅++-⋅t t t t t t t t t t (8)
∵4,0≠≠t t ，∴2-=t 故
存
在
点
C 且坐标为（-
2,1） (10)。