高考数学压轴专题湛江备战高考《计数原理与概率统计》分类汇编附解析

【高中数学】《计数原理与概率统计》考试知识点
一、选择题
1．在二项式2
6
()2a x x
+
的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A ．
146π
+
B ．
146
π
- C ．
4
π D ．
16
【答案】B 【解析】 【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】
（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162r
r r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为446
2a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4
46
2a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝15，解得a ＝2．
曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1）
所以阴影部分的面积为()1
223100
1
11
-x-x |4
42346
dx x x π
ππ⎛⎫=
--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
2．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ．
7
8
B ．
34
C ．
12
D ．
14
【答案】A 【解析】
【分析】
根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】
解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，
要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥， 则相当于56
5.5
6.5x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
，即求y x ≥的概率，
如图所示：
约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：1117
12228
-
⨯⨯=， 所以对应的概率为：7
7818
=，
即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78
. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.
3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）
A ．2，5
B ．5，5
C ．5，8
D ．8，8
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得5x =，1
16.8(915101824)85
y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图
4．已知()1n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
()
20121n
n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则
()0121n
n a a a a -+-+-L 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解. 【详解】
Q ()1n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
∴23
n n C C =，∴5n =，
令0x =，则05
1a =，
令1x =，则()015
5212422431a a a a λ+=++=+=++L ，
∴2λ=，
令1x =-，则()0525
1112a a a a -=+--+=-L . 故选：B. 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.
5．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
12
【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】
由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率1133331
55C C A 9A 20P ==,其中学生丙第一个出场的概率13
3325
5C A 3A 20P ==,所以所求概率为21
13P P P ==. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.
6．若52345
012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为
（） A ．－233 B ．10
C ．20
D ．233
【答案】A 【解析】 【分析】
对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】
对等式两边进行求导，得：
2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，
∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】
本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．
7．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（ ） A ．36 B ．72
C ．24
D ．48
【答案】A 【解析】 【分析】
分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有212421
2
2
6C C C A =种分组方法；
②将分好的3组对应3名任课教师，有3
36A =种情况；
根据分步乘法计数原理可得共有6636⨯=种不同的问卷调查方案． 故选A ． 【点睛】
解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题．
8．已知a c ≠，随机变量ξ，η的分布列如表所示.
命题p ：=E E ξη，命题q ：D D ξη=，则( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假
C ．p 假q 真
D ．p 假q 假
【答案】C 【解析】 【分析】
首先分别求E ξ和E η，然后比较，利用公式()()2
2
D E E ξξ
ξ=-，利用公式
1a b c ++=，计算D D ξη-的值.
【详解】
12323E a b c a b c ξ=⨯+⨯+⨯=++ 12332E c b a a b c η=⨯+⨯+⨯=++ ，
()2E E c a ξη-=- a c ≠Q ，
E E ξη∴≠，所以命题p 是假命题，
()249E a b c ξ=++，()()2
223E a b c ξ=++，
所以()()2
4923D a b c a b c ξ=++-++
()294E a b c η=++，()()2
232E a b c η=++，
()()()()2
229432D E E a b c a b c ηηη=-=++-++ ，
()()()()()22
83223D D c a a b c a b c ξη-=-+++-++
()()()822444c a a c a b c =-+-++ ， 1a b c ++=Q ，
所以()()()()880D D c a a c ξη-=-+-=， 即()()D D ξη=,所以命题q 是真命题. 综上可知p 假q 真. 故选：C 【点睛】
本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是
()()22D E E ξξξ=-，比较大小的关键是利用1a b c ++=.
9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）
A ．
12
B ．
13
C D ．
3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】
因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以
1d =
≤，解得k ≤≤
所以相交的概率224
P ==
,故选C.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.
10．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66
C ．72
D ．126
【答案】A
【解析】
【分析】
要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解.
【详解】
从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：
所以共有1331
545460
C C C C
+=种取法.
故选：A
【点睛】
本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.
11．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）
A．1
2
B．
3
10
C．
1
4
D．
1
5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率．
【详解】
由题可得基本事件总数33
6320
n C C
==，
第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数213
2434
m C C C
==
所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是
41
205
m
P
n
===
故选D.
【点睛】
本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．
12．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有
A．6种B．9种C．12种D．18种
【答案】C
【解析】
由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:
当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;
当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 因此,不同的放球方法有12种. 故选：C
13．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为
123100,,,,x x x x L ，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为
132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，
2s '分别为（ ）
A ．32x +，232s +
B ．3x ，23s
C ．32x +，29s
D ．32x +，292s +
【答案】C 【解析】 【分析】
由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案. 【详解】
由平均数的计算公式，可得数据12100,,,x x x L 的平均数为1231001
()100
x x x x x =++++L 数据1210032,32,,32x x x +++L 的平均数为：
121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100
x x x x x x x ++++++=++++⨯=+L L ， 数据12100,,,x x x L 的方差为2222121001
[()()()]100
s x x x x x x =
-+-++-L ， 数据1210032,32,,32x x x +++L 的方差为：
222121001
{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100x x x x x x +-+++-++++-+L 2222121001
[9()9()9()]9100
x x x x x x s =
-+-++-=L 故选C. 【点睛】
本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．()()5
112x x ++的展开式中4x 的系数为（ ） A ．100 B ．120
C ．140
D ．160
【答案】D 【解析】 【分析】
利用二项式定理展开式通项公式求指定项的系数. 【详解】
()()
5
112x x ++的展开式中4x 的系数为3344
55C 2C 2160⋅+⋅=.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，是基础题.
15．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>
【答案】B 【解析】 【分析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】
1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，
()1409P ξ==
，()1129P ξ==，()141411999
P ξ==--=， 故123E ξ=
，2
2214144402199999
D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯==
=⨯，()22122
1323
P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=
，2
221242013399
D ξ=⨯+⨯-=, 故12
E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
16．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个
【答案】C 【解析】
由题意得，0a ≠，a 的选择一共有1
4C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155
C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。

选C.
17．二项式5
1(2)x x
-的展开式中含3x 项的系数是 A ．80 B ．48 C ．−40 D ．−80
【答案】D 【解析】
5
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C r
r r r r r
r r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
n n n n ， 令523r -=，1r =，所求系数为14
5C 280-=-n ，故选D .
18．某公司在2014~2018年的收入与支出情况如下表所示：
根据表中数据可得回归直线方程为$$0.7y x a
=+，依此估计如果2019年该公司收入为8亿元时的支出为（ ） A ．4.502亿元 B ．4.404亿元 C ．4.358亿元 D ．4.856亿元
【答案】D 【解析】 【分析】
先求 3.92x =，2y =，根据$0.7a y x =-，求解$0.744a =-，将8x =代入回归直线方程为$$0.7y x a
=+，求解即可. 【详解】 2.2 2.4 3.8 5.2 6.0
3.925x ++++=
=，0.2 1.5 2.0 2.5 3.825
y ++++==
$0.720.7 3.920.744a y x =-=-⨯=-即$0.70.744y x =-
令8x =，则$0.780.744 4.856y =⨯-= 故选：D 【点睛】
本题考查回归分析，样本中心点()
,x y 满足回归直线方程，是解决本题的关键.属于中档题.
19．某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（ ） A ．252 B ．288
C ．360
D ．216
【答案】A 【解析】 【分析】
3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教
师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故完成工作的方法有121342
C C C ••种,然后再根据甲、乙、丙三人的条件要求，分三种情况讨论，得出结果. 【详解】
解：因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，
故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1名人员，其方法有1
3C ， 然后再确定完成的工作，其方法有24C ，
然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有1
2C ，
故当3名教师确定时，完成工作的方法有121342
C C C ••种； 因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去， 故有三种方法选择教师，
第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有1
3C 种， 第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有2
3C 种，
第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有33C 种；
故最终选派的方法为()123121333342C C C C C C 252++•••=，故选A.
【点睛】
本题考查了排列组合的知识、分类分步的计数原理，解题的关键是要辨析清楚何时是分类，何时是分步.
20
．3
ax ⎛ ⎝⎭
的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入1
1
a
dx x
⎰
即可求出结果. 【详解】
解题分析
根据二项式3
6ax ⎛- ⎝⎭
的展开式的通项公式得2
21
213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44
a
a ∴=∴=，
则4
4
111
11d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.
故选：A 【点睛】
本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k k
k n T a b -+=.属于中等
题.。