《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A版理科一轮复习题库：第二章函数2.2函数的单调性与最值

《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A 版理科一轮复习题库：第二章函数2．2函数的单调
性与最值
一、选择题
1．(2021天津高考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )．
A ．y ＝cos 2x ，x ∈R
B ．y ＝log2|x|，x ∈R 且x ≠0
C ．y ＝ex －e －x 2
，x ∈R D ．y ＝x3＋1，x ∈R 2．已知f(x)＝⎩⎨⎧ ax
x>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范畴为(
)． A ．(1，＋∞)
B ．[4,8)[来源:Zxxk ]
C ．(4,8)
D ．(1,8)
3．若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上差不多上减函数，则y ＝ax2
＋bx 在(0，＋∞)上( )．
A ．单调递增
B ．单调递减
C ．先增后减
D ．先减后增 4．“函数f(x)在[0,1]上单调”是“函数f(x)在[0,1]上有最大值”的( )． A ．必要非充分条件
B ．充分非必要条件
C ．充分且必要条件
D ．既非充分也非必要条件
5．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为( )． A ．25 B ．12 C ．22 D ．1
6．已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．
A ．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B ．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C ．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D ．f(－25)＜f(80)＜f(11) 7．若函数y ＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x ＋3)的值域是( )．
A ．[－5，－1]
B ．[－2,0]
C ．[－6，－2]
D ．[1,3]
二、填空题 8．假如函数f(x)＝ax2－3x ＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a 的取值范畴是__________．
9．函数y ＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为__________．
10．若函数f(x)＝4x x2＋1
在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m 的取值范畴是__________．
三、解答题
11．函数f(x)＝ax ＋1x ＋2
在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范畴．
12．讨论函数f(x)＝x ＋a x (a ＞0)的单调区间．
参考答案
一、选择题
1．B 解析：关于A ，y ＝cos 2x 是偶函数，但在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2内是减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2内是增函数，不满足题意． 关于B ，log2|－x|＝log2|x|，是偶函数，当x ∈(1,2)时，y ＝log2x 是增函数，满足题意．
关于C ，f(－x)＝e －x －e －(－x)2＝e －x －ex 2＝－f(x)， ∴y ＝ex －e －x 2是奇函数，不满足题意． 关于D ，y ＝x3＋1是非奇非偶函数，不满足题意． 2．B 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a>1，4－a 2>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2×1＋2≤a ，
即4≤a ＜8，故选B. 3．B 解析：∵函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上差不多上减函数，
∴a ＜0，b ＜0，∴y ＝ax2＋bx 的对称轴方程x ＝－b 2a ＜0.∴y ＝ax2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数，选B.
4．B 解析：函数f(x)在[0,1]上单调，则函数f(x)在[0,1]上有最大值，而函数f(x)在[0,1]上有最大值，f(x)在[0,1]上不一定单调，故选B.
5．B 解析：当x ＝0时，y ＝0；
当x ≠0时，f(x)＝1x ＋1x ，
∵x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x
， 即x ＝1时等号成立，
故0＜f(x)≤12，∴0≤f(x)≤12.
故f(x)的最大值为12.故选B.
6．D 解析：因为f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，因此f(x －8)＝f(x)， 故函数是以8为周期的周期函数，
则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，
又因为f(x)在R 上是奇函数，
f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，
而由f(x －4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)， 又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，
因此f(1)＞f(0)＝0.因此－f(1)＜0，
即f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D.
7．A 解析：∵1≤f(x)≤3，
∴1≤f(x ＋3)≤3，－6≤－2f(x ＋3)≤－2，－5≤1－2f(x ＋3)≤－1. ∴－5≤F(x)≤－1，即函数F(x)的值域是[－5，－1]．
二、填空题
8．0≤a ≤14 解析：(1)当a ＝0时，f(x)＝－3x ＋4，函数在定义域R 上
单调递减，故在区间(－∞，6)上单调递减．
(2)当a ≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x ＝32a .
因为f(x)在区间(－∞，6)上单调递减，
因此a ＞0，且32a ≥6，解得0＜a ≤14.
综上所述0≤a ≤14.
9．[0,8] 解析：当x ＝0时，ymin ＝3|x|－1＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝3|x|－1＝32－1＝8，
故值域为[0,8]．[来源:学。

科。

网]
10．(－1,0] 解析：∵f ′(x)＝4(1－x2)(x2＋1)2
， 令f ′(x)＞0，得－1＜x ＜1，
∴f(x)的增区间为(－1,1)．
又∵f(x)在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，[来源:1ZXXK] ∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ≥－1，2m ＋1≤1，∴－1≤m ≤0. ∵区间(m,2m ＋1)中2m ＋1＞m ， ∴m ＞－1.
综上，－1＜m ≤0.[来源:1]
三、解答题
11．解：f(x)＝ax ＋1x ＋2＝a(x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2a x ＋2
＋a. 任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1－2a x1＋2－1－2a x2＋2＝(1－2a)(x2－x1)(x1＋2)(x2＋2). ∵函数f(x)＝ax ＋1x ＋2
在区间(－2，＋∞)上是递增的， ∴f(x1)－f(x2)＜0.
∵x2－x1＞0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
∴1－2a ＜0，a ＞12，即实数a 的取值范畴是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞. 12．解：方法一：(定义法)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则x2－x1＞0，f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·x1x2－a x1x2.
当0＜x1＜x2≤a 时，有0＜x1x2＜a ，
∴x1x2－a ＜0.
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x)在(0，a]上是减函数．
当a ≤x1＜x2时，有x1x2＞a ，
∴x1x2－a ＞0.
∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x)在[a ，＋∞)上是增函数．
∵函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)在(－∞，－a]上是增函数，在[－a ，0)上是减函数．
综上所述，f(x)在区间(－∞，－a]，[a ，＋∞)上为增函数，在[－a ，0)，(0，a]上为减函数．[来源:Zxxk ]
方法二：(导数法)f ′(x)＝1－a x2，
令f ′(x)＞0，得x ＜－a ，或x ＞a ，
又函数f(x)在x ＝±a 处有定义，且连续，
∴f(x)在(－∞，－a]，[a ，＋∞)上为增函数．
令f ′(x)＜0，得－a ＜x ＜0，或0＜x ＜a ，
又函数f(x)在x ＝±a 处有定义，且连续，
∴f(x)在[－a ，0)，(0，a]上为减函数．。