2013届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教B版2

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷
高三数学（理）
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则
=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1 B ． {}4,32， C ． {}4,3 D ．{}4,3,2,1 【答案】B
【解析】因为{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ，所以
{34}U
A =，,所以{2,3,4}
U C A B ⋃=（），选
B.
2. 若复数i Z =1, i Z -=32,则
=1
2
Z Z （ ） A ． 13i -- B ．i +2 C ．13i + D ．i +3 【答案】A 【解析】
2133113Z i i Z i i -==-=--，选A.
3．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ） A ．(2,4) B ．(3,7) C ．(1,1)D ．(1,1)-- 【答案】D
【解析】因为(2,4),(1,3),AB AC ==所以(1,1)BC AC AB =-=--，即
(1,1)AD BC ==--，选D.
4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥
B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ
C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β
D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 【答案】C
【解析】C 中，当//,//m m n α，所以，//,n α或,n α⊂当n β⊥，所以α⊥β，所以正确。

5．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数
x 值的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
【解析】本程序为分段函数2212log 2
x x y x x ⎧-≤=⎨>⎩，，，当2x ≤时，由213x -=得，24x =，所以
2x =±。

当2x >时，由2log 3x =，得8x =。

所以满足条件的x 有3个，选C.
6．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 【答案】A
【解析】若四个数之和为奇数，则有1奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数。

若1奇数3个偶数，则有1
3
54=20C C 种，若3个奇数1个偶数，则有3
1
54=40C C ，共有2040=60+种，选A. 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ．
38 B ．4 C ．2 D ．3
4
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为
14362⨯⨯=，所以该几何体的体积为1
6243
⨯⨯=，选B. 8. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]
k ， 即[]{}
5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈；② []22-∈； ③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪； ④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]
0a b -∈”． 其中，正确结论的个数为（ ）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
【解析】因为201340253=⨯+，所以[]
20133∈，
①正确。

2153-=-⨯+，[]23-∈所
以②不正确。

③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类所以正确。

整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a-b 被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”．故④正确，所以正确的结论个数有3个，选C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；
若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 . 【答案】2；6
【解析】如图不等式组对应的平面区域为三角形OBC ，由图象知0a >。

其中
(,),(,)B a a C a a -，所以2,BC a =所以三角形的面积为21
242
a a a ⨯⨯==，所以2a =。

由
y x z +=2得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点B
时，直线截距最大，此时z 也最大，把(2,2)B 代入y x z +=2得2226z =⨯+=。

10．如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知
1,2,3PA AB PO ===，则圆O 的半径等于 ．
6
【解析】设半径为r ，则3PC PO PC r =-=-,3PD PO OD r =+=+.根据割线定理可得
PA PB PC PD ⋅=⋅，即1(12)(3)(3)r r ⨯+=+-，所以2293,6r r -==，所以6r =
11．在等比数列{}n a 中，141=,=
42
a a ，则公比=q ，
123+++
+=n a a a a
【答案】1
1222
n
；
【解析】在等比数列中3
3411=4
2
a a q q ，所以
3
8
q ，即
2
q =-。

所以
1111
(2)2n n n a a q --==-，所以121(2)22n n n a --=-=，即数列n
a 是一个公比为2的等比数
列，所以
1
1231
(12)
12
+++
+=212
2
n n
n a
a a a 。

12． 在ABC ∆
中，若2,60,a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于 ．
【解析】由余弦定理得2
2
2
2cos60b a c ac =+-，即2
1
74222
c c =+-⨯⨯
整理得2230c c --=，解得3c =。

所以BC 边上的高为33
sin 3sin 602
c B =⨯=
13．已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线
22
1412
x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ． 【答案】9
【解析】由双曲线的方程可知2a =，设右焦点为1F ，则1(4,0)F 。

124PF PF a -==，即
14PF PF =+，所以1144PF PA PF
PA AF +=+
+≥+，当且仅当1,,A P F
三点
共线时取等号，此时15AF ==
=，所以149PF PA AF +≥+=，即
PF PA +的最小值为9.
14. 给出定义：若11
< +22
m x m -
≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题：
①=()y f x 的定义域是R ，值域是11
(,]22
-
； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈；
③函数=()y f x 的最小正周期为1；
④ 函数=()y f x 在13
(,]22
-
上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ． 【答案】①③
【解析】①中，令11
,(,]22
x m a a =+∈-
，所以11()={}(,]22f x x x a -=∈-。

所以正确。

②
(2)=2{2}(){}()()f k x k x k x x x f x f x ----=---=-≠--，所以点(,0)k 不是函数
()f x 的图象的对称中心，所以②错误。

③(1)=1{1}{}()f x x x x x f x ++-+=-=，所以周
期为1，正确。

④令1,12x m =-=-，则11()22f -=，令1,02x m ==，则11
()22f =，所以
11
()()22
f f -=，所以函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数错误。

，所以正确的为①③
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）
已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x
+=
．
（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
46ππ，上的最大值和最小值．
16．（本小题共14分）
如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；
（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．
17．（本小题共13分）
甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为
1123p 、、，且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14
. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .
18．（本小题共13分）
已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．
（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线l 的下方； （Ⅲ）讨论函数=()y f x 零点的个数．
19．（本小题共14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，
离心率为2
，且经过点(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．
图1 图2
A 1
B
C
D
E
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；
（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．
20．（本小题共13分）
定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．
（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)x
f x k k =>是数列{}n a 的
“保三角形函数”，求k 的取值范围；
（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，
证明{}n c 是“三角形”数列；
（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?
(解题中可用以下数据 :lg20.301,
lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
(9题、11题第一空2分,第二空3分
) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）
（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+
,2
x k k Z π
π≠∈.
所以函数)(x f 的定义域为{+
,}2
x x k k Z π
π≠∈｜ ……………2分
sin 2sin cos ()cos x x x f x x
+=
（）
()2sin sin +cos =2sin +sin2x x x x x =２ -)14
x π
=
+ ……………5分
π=T ……………7分 （Ⅱ）因为4
6
π
π
≤
≤-
x ，所以7-
2-1244
x πππ
≤≤ ……………9分 当2-4
4
x π
π
=
时，即4
x π
=
时，)(x f 的最大值为2； ……………11分
当2-
-
4
2
x π
π
=时，即8
x π
=-
时，)(x f 的最小值为. ………13分
16．（本小题共14分）
（Ⅰ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥
1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.
由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面
1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………4分
（Ⅱ）如图,以C 为原点，建立空间直角坐标系．
1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ．
设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量， 因为(0,3,0),CB =1(2,0,4)CA =
11
222
n ； 32
所以30
240
y x z =⎧⎨
+=⎩，
令2x =，得=0,=1y z -.
所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量． ……………………7分 设BE 与平面1A BC 所成角为θ． 则4
sin =cos
5
BE θ<⋅>=
=n ． 所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为4
5
． …………………9分 （Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，
1A B =
=…………………12分
当=3x 时,1A B 的最小值是
即D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为 …………………14分 17．（本小题共13分）
记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有
12311
(),(),(),23
P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.
（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为
121()P A A -⋅122
1233
=-⨯=. …………………3分
（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有
()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233
p
p -⨯⨯-=， …………………5分
所以1134p -=，14
p =. ……………………7分
（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分
所以1
(0)4
P X ==
， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅
111312111423423424
=
+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅
11312111112342342344
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝1111
23424
⨯⨯=
. ……………………11分 X 分布列为：
……………………12分
所以，1111113
()012342442412
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. ………………13分 2．（本小题共13分） （Ⅰ）1
()=
f x a x
'- …………………1分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为
(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………3分
（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则
11
()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x
''--， 解得
…………………6分
(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，
即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………8分
（Ⅲ）令()=ln +1=0f x x ax -，ln +1
=
x a x
. 令 ln +1()=x g x x ，22
ln +11(ln +1)ln ()=()==x x x
g x x x x -''-，
则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，
当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g .
所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ≤．………………10分
若=1a ，()=ln +1=0f x x ax -，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x .
若0a ≤，()=ln +1f x x ax -单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax -与曲线=ln y x 有一个交点）.
若0<<1a ，解1()=
=0f x a x '-得1=x a ，
由函数的单调性得知()f x 在1
=x a
处取最大值，11
()=ln >0f a a
，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即()f x 在单调递减区间1(,+)a ∞有且仅有一个零点；又因为1()=<0a
f e e
-，所以()f x 在单调递增区间
1
(0)a
，有且仅有一个零点.
综上所述，当>1a 时，()f x 无零点； 当=1a 或0a ≤时，()f x 有且仅有一个零点；
当0<<1a 时，()f x 有两个零点. …………………13分 19．（本小题共14分）
（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b
+=
，因为2e =，所以224a b =，
又因为(4,1)M ，所以
2
2161
1a b
+=，解得225,20b a ==， 故椭圆方程为
22
1205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入
22
1205
x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分
（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则212128420
,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)
y y y x y x k k x x x x ----+--+=
+=----
122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)0
55
x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子
所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）
（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列。

因为1k >，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<<
，
由12()()()n n n f a f a f a +++>得12
n n n k k k +++>
k <.
所以当1(1,
2
k ∈时， ()x f x k =是数列{}n a 的保三角形函数. …………………3分
（Ⅱ）由1438052n n s s +-=，得1438052n n s s --=，
两式相减得1430n n c c +-=，所以1
320134n n c -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
…………………5分
经检验，此通项公式满足1438052n n s s +-=. 显然12n n n c c c ++>>,
因为1
1
123
3213201320134
4
164
n
n n n n n c c c +-+++==
⋅>（）+2013(）（）, 所以{}n c 是三角形数列. ……………8分
（Ⅲ）1
33()lg[2013]=lg2013+(-1)lg 44n n g c n -⎛⎫
⎛⎫
= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
,
所以{()}n g c 单调递减. 由题意知，3lg 2013+(n-1)lg >04⎛⎫
⎪⎝⎭
①且12lg lg lg n n n c c c --+>②, 由①得3
-1lg
>-lg 20134
n （），解得27.4n <,
由②得
3
lg>-lg2013
4
n，解得26.4
n .
即数列{}
n
b最多有26项. …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。