广东省2011年高考全真模拟考试理科数学试题(四)

2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（四）
注意事项：
1. 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将第I 卷答案的序号填涂在答题卡上，第II 卷
答案填写在答卷的相应位置上；
2. 本试卷共4页，21小题， 满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题， 共40分）
一、选择题(本大题共8题,每小题5分,共40分. 在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)
1. 已知全集U =R ，集合{}
|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合
()U A C B = （ ）
A ．{}
|24x x -<≤ B ．{}
|34x x x 或≤≥ C ．{}
|21x x -<-≤
D ．{}
|13x x -≤≤
2. 设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，，
．≥≤≥，则3z x y =-的最小值（ ） A ．2- B ．4- C ．6- D ．8-
3. 如果函数2
()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（ ）A. 8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-
4. 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为( ) A.
2 B.
3 C. 23-或 D. 23或
5. 已知平面向量()1,2a =, ()2,b m =-, 且//a b , 则b =( )
A.
B.
C.
D. 26. 曲线3123
y x =
-在点（5
(1,)3-处切线的倾斜角为（ ）
A . 6π B. 4
π C. 34π D . 56π
7. 给出如下三个命题：
①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题； ②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”
；
③在ABC ∆中，“45A >”是“sin A >
. 其中不正确的命题的个数是( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
8. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数. 给出下
列函数： ①x x x f cos sin )(+=； ②)cos (sin 2)(x x x f +=；
③x x f sin )(=；
④2sin 2)(+=
x x f .
其中“互为生成”函数的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
第Ⅱ卷 (非选择题， 共110分)
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．考生作答6小题，每小题5分，满分30分）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9. 已知0x >，则4
3x x
--的最大值为 ． 10. 在ABC ∆中，3
B π
=，且43BA BC ⋅=则ABC ∆的面积是
____________.
11. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线方程为
y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
12. 右面是计算3
3
3
1021+++ 的程序框图，图中的①、②分别 是 和_____________.
13. 设P 是边长为a 的正ABC ∆内的一点，P 点到三边的距离分别为
123h h h 、、，则123h h h ++=
；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体ABCD 内的一点，则P 点到四个面的距离之和1234h h h h +++= .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分.
14.（几何证明选讲选做题）如图，已知Rt ABC ∆的两条直角边AC ,BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，
则BD ＝ cm .
15. （坐标系与参数方程选做题）直线3470x y +-=截曲线cos ,
1sin x y αα
=⎧⎨=+⎩（α为参数）
的弦长为_____ ______.
三、解答题(本大题共6小题, 共80分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分12分）已知函数()4sin()cos f x x x π=-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若(0,)θπ∈,2
()43
f π
θ+
=, 求sin θ的值. 17．（本小题满分12分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
⑴、求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； ⑵、求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
⑶、设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列． 18．（本小题满分14分）
如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，底面
ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD
的交点，
1BB =M 是线段11B D 的中点．
（Ⅰ）求证：//BM 平面1D AC ；
（Ⅱ）求证：1D O ⊥平面1AB C ； （Ⅲ）求二面角1B AB C --的大小．
19．（本小题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：万元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件． （1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
20．（本小题满分14分）已知椭圆2
2
21(01)y x b b
+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C
上顶点为B ，过F,B,C 三点作
P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若FC 是P 的直径，
求椭圆的离心率；
（2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．
第18题图
21．（本小题满分14分）
设不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300
所表示的平面区域为n D ，记n D 内的格点（格点即横坐标和
纵坐标均为整数的点）个数为))((*
N n n f ∈. （1）求)2(),1(f f 的值及)(n f 的表达式；
（2）记()(1)2
n n
f n f n T ⋅+
=
，试比较1n n T T +与的大小；若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤成立，求实数m 的取值范围；
（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，其中)
(2n f n b =，问是否存在正整数t n ,，使
16
1
11<-+++n n n n tb S tb S 成立？若存在，求出正整数t n ,；若不存在，说明理由.
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（四）
答案
一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.
1.选 D ．提示：因为{}|14U C B x x =-≤≤，
所以()U A
C B ={}|13x x -≤≤.
2.选 D ．提示：画出约束条件表示的平面区域,平行移动直线01
:3
l y x =至点(-２,２)处取得最小值.
3.选 Ａ．提示：使得二次函数2
()3f x x ax =--的对称轴42
a
x =
≥即可. 4.选 Ｃ．提示：由317S a =得2
311117s a qa q a a =++=,解得q =23-或.
5.选 Ｃ．提示：由//a b 有12(2)0m ⨯-⨯-=,故得4m =-,在求得b =
6.选 Ｂ．提示：'
tan (1)1f α==. 7.选 Ａ．提示：
①若“p 且q ”为假命题，p 、q 可能有一个为真命题.
②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题应为“若2x <或3y <，则5x y +<”；
③在ABC ∆中，“45A >”是“sin 2
A >
”的必要非充分条件. 8.选 D ．提示：其它的都需要拉伸变换才行.
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，考生作答6小题，
每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 1-.提示:利用基本不等式即可. 10. ６.提示:用三角形面积公式: 1
sin 62
s BA BC B =
⋅⋅=.
11. 22
3144
x y -=. 提示:直接用点到直线的距离公式.
12. 3
i s s +=,1+=i i （顺序不能颠倒）. 提示:试着按照程序去运行就可以了.
13.
3
a .提示:把棱长为a 的空间正四面体ABCD 以Ｐ为顶点分割成４个地面相等的小四面体,然后用体积公示计算其和为定值. 14．
16
5
. 提示:用直角三角形的面积射影定理.
15．
85.提示:因为曲线是半径为１的圆.先求出圆心到直线的距离为 3
5
,
然后由弦长l =.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）
(本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力) （Ⅰ）∵()4sin()cos f x x x π=-
4sin cos x x =
2sin 2x =， ………3分
22
T π
π=
= …………………5分 ∴函数()f x 的最小正周期为π .…………………6分
（Ⅱ）由2()43f π
θ+=， ∴2
2sin 2()43
πθ+=, …………………7分
化简可得1
cos 23θ=, ………………9分
则2
112sin 3θ-=,
∴2
1sin 3
θ= …………………10分
由(0,)θπ∈,
∴sin 0θ>,
故sin θ=
…………………12分 17. （本小题满分12分）
（本小题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）
解：⑴、记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541
()40
A A P E C A ==，
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是
1
40
．………………………4分 ⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，
那么4424541
()10
A P E C A ==，………………………6分
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9
()1()10
P E P E =-=
．8分 ⑶、随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，
则23
5334541
(2)4
C A P C A ξ===． …………………………………10分
所以3
(1)1(2)4
P P ξξ==-==，ξ的分布列是
18. （本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解:（Ⅰ）连接1D O ，如图，
∵O 、M 分别是BD 、11B D 的中点，
11BD D B 是矩形，
∴四边形1D OBM 是平行四边形， ∴1//D O BM ． ………2分 ∵1D O ⊂平面1D AC ，
BM ⊄平面1D AC ，
∴//
BM 平面1D AC ．
………… 4分 （Ⅱ）连接1OB ，
∵正方形ABCD 的边长为2，1
BB ， ∴11B D =12OB =，12D O =，
则222
1111OB D O B D +=，
……… 12分
∴11OB D O ⊥． ……………6分 ∵在长方体1111ABCD A B C D -中，
AC BD ⊥，1AC D D ⊥，
∴AC ⊥平面11BDD B ， 又1D O ⊂平面11BDD B ， ∴1AC D O ⊥， 又1AC
OB O =，
∴1D O ⊥平面1AB C ． ………………………………8分
（Ⅲ）在平面1ABB 中过点B 作1BE AB ⊥于E ， 连结EC ，
∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，
又1AB ⊂平面1ABB ， ……………………………9分 ∴1CB AB ⊥，又1BE AB ⊥，且CB
BE B =，
∴1AB ⊥平面EBC ，而EC ⊂平面EBC ， …………………10分 ∴1AB EC ⊥．
∴BEC ∠是二面角1B AB C --的平面角． …………………12分
在Rt BEC ∆中，3
BE =
，2BC =
∴tan BEC ∠=60BEC ∠=，
∴二面角1B AB C --的大小为60． …………………………14分
解法2（坐标法）：
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接1D O ，
则点(1,1,0)O 、1D ，
∴1(1,1OD =--
又点(2,2,0)B ，M ，
∴(1,BM =-- ∴1OD BM =， 且1OD 与BM 不共线， ∴1//OD BM ．
又1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，
∴//BM 平面1D AC ． ……………………………4分
（Ⅱ）∵11(1,1(1,10OD OB ⋅=--⋅=，
1(1,1(2,2,0)0OD AC ⋅=--⋅-=
∴11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 即11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 又1
OB AC O =，
∴1D O ⊥平面1AB C ． …………………………8分 （Ⅲ）∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，
∴(2,0,0)BC =-为平面1ABB 的法向量． ∵11OD OB ⊥，1OD AC ⊥，
∴1(1,1OD =--为平面1AB C 的法向量． ∴11
cos ,2
BC OD <>=
，
∴BC 与1OD 的夹角为60，
即二面角1B AB C --的大小为60．………………14分
（Ⅲ）（法三）设二面角1B AB C --的大小为α，
1AB C ∆在平面1AB B 内的射影就是1AB B ∆，
根据射影面积公式可得11cos AB B AB C
S S α∆∆=
，
111
2AB B S AB B B ∆=⋅⋅=
111
2AB C S AC B O ∆=⋅⋅=
∴111
cos 2
AB B AB C
S S α∆∆=
=
=， ∴二面角1B AB C --的大小为60 …………14分 19. （本小题满分14分）
（本小题主要考查应用题型、函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设商品降价x 万元， 则多卖的商品数为2
kx ，
若记商品在一个星期的获利为()f x ，………………1分 则依题意有
2()(309)(432)f x x kx =--+
2(21)(432)x kx =-+， ………………4分
又由已知条件，2
242k
=·， 于是有6k =， ……5分
所以32
()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，
．…………7分
（2）根据（1），
我们有2
()18252432f x x x '=-+-
18(2)(12)x x =---．………9分
…………12分
故12x =时，()f x 达到极大值．
因为(0)9072f =，(12)11264f =，
所以定价为301218-=万元
能使一个星期的商品销售利润最大． …………14分
20. （本小题满分14分）
（本小题主要考查圆、椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
解：（1）由椭圆的方程知1a =，
∴点(0,)B b ，(1,0)C ，
设F 的坐标为(,0)c -， ………………1分
∵FC 是P 的直径，
∴FB BC ⊥
∵,BC BF b k b k c
=-= ∴1b b c
-⋅=- --------------------2分 ∴221b c c ==-，210c c +-= --------------------------------------3分
解得12
c = --------------------------------------5分
∴椭圆的离心率12c e a =
=--------------------6分
（2）∵
P 过点F,B,C 三点，
∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，
也在BC 的垂直平分线上，
FC 的垂直平分线方程为12
c x -=--------① -----------7分
∵BC 的中点为1(,)22b ，BC k b =-
∴BC 的垂直平分线方程为11()22
b y x b -=------② ---------9分 由①②得21,22
c b c x y b
--==， 即21,22c b c m n b
--== -----11分 ∵P (,)m n 在直线0x y +=上，
∴ 21022c b c b
--+=⇒(1)()0b b c +-=
∵10b +>
∴b c = ------------------13分
由221b c =-得212
b =
∴椭圆的方程为2221x y +=. -------------------14分
21. （本小题满分14分）
（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）
解：⑴(1)3,(2)6f f == -----------------2分
当1x =时，
y 取值为1，2，3，…，2n 共有2n 个格点
当2x =时，
y 取值为1，2，3，…，n 共有n 个格点
∴()23f n n n n =+= -----------------4分 ⑵()(1)9(1)22
n n n f n f n n n T ++=
= 119(1)(2)
229(1)22n n n n
n n T n n n T n
+++++⇒==+ -------------5分
当1,2n =时，1n n T T +≥
当3n ≥时，
122n n n n T T ++<⇒< ------------------6分 ∴1n =时，19T =
2,3n =时，23272
T T ==
4n ≥时，3n T T <
∴{}n T 中的最大值为23272T T ==
. ------------------8分
要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立，
只需
272m ≤ ∴272
m ≥ -------------------9分 ⑶()32
28f n n n n b === 8(18)8(81)187
n n n S -⇒==--. ---------------10分 将n S 代入16
111<-+++n n n n tb S tb S ，
化简得，8881778
12
877
n n t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<⎛⎫-- ⎪⎝⎭（﹡）-------------------11分 若1t =时 88
1
77
81277
n
n -<-，
815
77n
<即，
显然1n =-------------------12分
若1t >时 81
8077n t ⎛⎫
--< ⎪⎝⎭ （﹡）式化简为815
877n t ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
不可能成立 --------------13分
综上，
存在正整数1,1n t == 使16
111<-+++n n n
n tb S tb S 成立.
- --------------14分。