2022-2023学年陕西省汉中市高二年级下册学期期末校际联考数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年陕西省汉中市高二下学期期末校际联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{3N x x =≥或}2x ≤-，则M N ⋂=（）
A ．{}2-
B ．{}0,1,2
C ．{}2,1,0,1--
D ．{}
2【答案】A
【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.【详解】集合{}2,1,0,1,2M =--，{3N x x =≥或}2x ≤-，所以{}2M N =-I .故选：A
2．在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为()()2
13i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，
则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.
3．已知直线l 经过()1,4A -，()1,2B 两点，则直线l 的斜率为（）A ．3B ．3
-C ．1
D ．1
-【答案】D
【分析】直接代入直线斜率公式即可.
【详解】因为直线l 经过()1,4A -，()1,2B 两点，所以直线l 的斜率为()
24
111AB k -==---，
故选：D ．
4．设函数()f x 可导，则0
(1)(1)
lim 3x f x f x
∆→+∆-∆等于（
）．
A ．(1)f '
B ．3(1)
f 'C ．
1
(1)3
f 'D ．(3)
f '【答案】C
【分析】利用导数的定义即可得出.【详解】0
0(1)(1)1(1)(1)1
lim lim (1)333
x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆．
故选：C
【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于基础题.5．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A ．ln y x =-B ．12x
y =
C ．1
y x
=-D ．2y x x
=-【答案】C
【分析】逐项判断即可求解.
【详解】A 项，由于函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以ln y x =-在()0,∞+上单调递减，故A 项错误；
B 项，由于1122x
x y ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
在R 上是减函数，故B 项错误；
C 项，由于11y x x
-=-
=在()0,∞+上单调递增，故C 项正确；D 项，由于2y x x =-是对称轴为12x =
，开口向上的二次函数，所以2y x x =-在1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递减，
在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，故D 项错误.故选：C.
6．已知a 、b 、c 、d 为实数，a b >且c d >，则下列不等式一定成立的是（）
A ．ac bd >
B ．a c b d +>+
C ．ac bd
<D ．11
a b
<【答案】B
【分析】利用特殊值法可判断ACD 选项；利用不等式的基本性质可判断B 选项.【详解】因为a 、b 、c 、d 为实数，a b >且c d >.
对于AC 选项，取2a =，2b =-，1c =，1d =-，则ac bd =，AC 都错；对于B 选项，由不等式的基本性质可得a c b d +>+，B 对；对于D 选项，取2a =，2b =-，则
11
a b
>，D 错.
故选：B.
7．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3,4,5，且()(),1,2,3,4,5P k ak k ξ===，则a 的值为（）
A ．
130
B ．
115
C ．30
D ．15
【答案】B
【分析】根据随机变量的概率和为1，列出方程即可求解.
【详解】 随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3,4,5，且()(),1,2,3,4,5P k ak k ξ===，123451,151,15
a a a a a a a ∴++++=∴=∴=
.故选：B.
8．某大学四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（）
A ．9种
B ．13种
C ．64种
D ．81种
【答案】D
【分析】根据每名大学生都有3种选择，利用分步计数原理求解.【详解】解：因为每名大学生都有3种选择，所以共有333381⨯⨯⨯=种选法．故选：D
9．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（
）
A ．2
B ．3
C ．9
D ．16
【答案】A
【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x 的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，所以
8789909193888990919055
x
+++++++++=，解得2x =，
故乙的平均成绩
8889909192
905
++++=，
则乙成绩的方差222222
[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]
25
s -+-+-+-+-==.
故选：A.
10．在ABC 中，“A B <”是“sinA sinB <”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充
分也不必要条件【答案】C
【分析】先判定充分性，然后判定必要性
【详解】在ABC 中，A B <， 三角形中大边对大角，则a b <由正弦定理可得2sin a R A =，2sin b R B =，
2sin 2sin R A R B ∴<，sinA sinB ∴<，充分性成立sinA sinB < ，
由正弦定理可得2a sinA R =，2b sinB R
=22a b R R
∴
<，则a b < 三角形中大边对大角，
则A B <，必要性也成立故选C
【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的成立，在三角形中运用正弦定理进行求解，注意在三角形内角的取值范围．
11．
函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）
A ．1x =是()f x 的极小值点
B ．()()
21f f ->-C ．函数()f x 在()1,1-上有极大值D ．函数()f x 有三个极值点【答案】B
【分析】根据导函数与原函数的关系，结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.
【详解】当3x <-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当31x -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以有()()21f f ->-，因此选项B 正确；当11x -<<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，
所以()f x 在()1,1-上没有极大值，因此选项C 不正确；当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，
因此1x =不是()f x 的极值点，只有当3x =-时，=1x -函数有极值点，所以选项A 不正确，选项D 不正确，故选：B
12．已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x '-<，且()02022f =，
则不等式()12023e x
f x +>的解集为（
）
A ．(),0∞-
B ．()
0,∞+C ．()
,1e -∞-D ．()
,1-∞【答案】A
【分析】构造函数()()1e x
f x
g x +=，将不等式()12023e x
f x +>转化为
()1
2023e
x
f x +>，利用其单调性求解.
【详解】解：令()()1e x
f x
g x +=，
则()()()1
e x
f x x x
g f '--'=
，
因为()()1f x f x '-<，
所以()0g x '<，则()g x 在R 上递减，
又不等式()12023e x
f x +>，即为
()1
2023e x
f x +>，又()02022f =，则()02023
g =即()()0g x g >，所以0x <，故选：A
二、填空题
13．7πtan
6=.
【答案】
33/133
【分析】根据诱导公式化简，再应用特殊角三角函数值，可得答案.【详解】7πππ3tan
tan πtan 6663⎛
⎫=+== ⎪⎝
⎭，故答案为：
33
.14．已知向量(),3m x =- ，()2,1n x =+ ，m n ⊥
，则x =
.
【答案】3
-【分析】由m n ⊥ ，得0m n ⋅=
，列方程求解.
【详解】因为向量(),3m x =- ，()2,1n x =+ ，m n ⊥
，所以2330m n x x ⋅=--=
，得3x =-，
故答案为：3
-15．在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为1的概率为0.1；发送信号1时，接收为1的概率为0.95，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为0的概率为.
【答案】0.475/
19
40
【分析】运用全概率公式计算即可.
【详解】设A =“发送的信号为0”，B =“接收到的信号为0”，则A =“发送的信号为1”，B =“接收到的信号为1”，
所以()()()()()()
0.5,0.5,|0.9,| 0.1,|0.05,|0. 95P A P A P B A P B A P B A P B A ======，所以接收信号为0的概率为：()()()()()
||0.50.90.50.050.475P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.故答案为：0.475
16．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A 、B 、C 三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学报名，则不同报名方法有种
【答案】150
【分析】将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，确定每组的人数，然后将这三组同学分配给A 、
B 、
C 三门德育校本课程，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1，然后将这三组同学分配给A 、B 、C 三门德育校本课程，
由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为()2233
535322C C C A 15106150A ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭
.
故答案为：150.
三、解答题
17．为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了"书法"和“剪纸”两门选修课为了了解选择“书法”或"剪纸"是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：
选书法
选剪纸
合计男生40
50
女生合计
30
(1)请将上面22⨯列联表补充完整；
(2)是否有95%的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关?附：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++.
()
2P K k ≥0.1000.0500.025k
2.706
3.841
5.024
【答案】(1)列联表见解析
(2)有95%的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关
【分析】（1）根据题意与表中数据即可完成列联表；（2）根据公式求出2K ，再对照临界值表，即可得出结论.【详解】（1）根据题意，一共抽取了100人，补全列联表如下，
选书法
选剪纸
共计
男生401050女生302050共计
70
30
100
（2）根据列联表数据，得
()2
210040201030= 4.762 3.841
50507030
K ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47a =，29S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若数列{}n b 满足32n a n b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)3
n a n =+(2)1
22
n n T +=-【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前n 项和为n S 求得首项1a 与公差d 即可得数列{}n a 的通项公式；
（2）由（1）得2n
n b =，直接利用等比数列的前n 项和公式求得n T .
【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
则11
3729a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得14a =，1d =.
∴413n n n a =+-=+.（2）∵32n a n b -=，3n a n =+，
∴2n
n b =，
∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴()()12122212212
n n n n T +-=
=-=--.
19．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>过点()0,2，其焦点为()15,0F -，(
)
2
5,0F .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若点P 在椭圆C 上，且14PF =，求12PF F △的面积.
【答案】(1)22
1
94
x y +=(2)4
【分析】（1）根据椭圆的几何性质计算求得,a b ，写出椭圆方程即可；
（2）应用椭圆的定义求出22PF =，再根据勾股定理得出直角三角形最后应用面积公式计算求解即可.
【详解】（1）由题易知2b =，5c =，∴2229a b c =+=.
∴椭圆C 的方程为：22194
x y +=.
（2）由题意，点P 在椭圆C 上，且14PF =，
∴1226PF PF a +==，∴22PF =，又1225F F =，
∴2
2
2
1212PF PF F F +=，∴12PF PF ⊥，∴12PF F △的面积为1211
24422
S PF PF =
=⨯⨯=.20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD //QA ，
PD ⊥平面ABCD ，且22PD QA ==．
(1)求证：BC ⊥平面QAB ；
(2)求平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)
66
【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，可得QA ⊥平面ABCD ，进而得到QA BC ⊥，结合BC AB ⊥，
进而得证；
（2）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点建立空间直角坐标系，找出平面PBQ 与平面
PCD 的法向量，根据两面的法向量即可求解．
【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，∴QA ⊥平面ABCD ．∵BC ⊂平面ABCD ，∴QA BC ⊥．
在正方形ABCD 中，BC AB ⊥，又AB QA A ⋂=，AB ，QA ⊂平面QAB ，∴BC ⊥平面QAB ．
（2）建立空间直角坐标系如图：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点，
则有()2,2,0B ，()002P ,
,，()2,0,1Q ，()0,2,1QB =- ，()2,0,1PQ =-
，设平面PBQ 的一个法向量为(),,m x y z =
，
则有00
m QB m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020y z x z -=⎧⎨-=⎩，令2z =，则1x =，1y =，()1,1,2m = ，
易知平面PCD 的一个法向量为()1,0,0n =r ，
设平面PBQ 与平面PCD 所成二面角的平面角为α，则16cos 616
m n m n α⋅===⨯⋅ ，即平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值
66
．21．已知函数()ln f x x x =-．
(1)求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；
(2)求证：()1f x ≤-；
(3)若函数()()(R)e x x h x af x a =+
∈无零点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)10
y +=(2)证明见解析
(3)(]1,0,.e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用导数的几何意义及函数值的定义，结合直线的点斜式方程即可求解；（2）利用导数法求函数的最大值的步骤即可求解；
（3）根据（2）的结论及利用导数法求函数的最值，结合函数的零点的定义即可求解.
【详解】（1）因为()ln f x x x =-，
所以()111x f x x x
-'=-=，所以()1ln111f =-=-，
所以()f x 在点()()1,1f 处的切线的斜率为()11101
k f '==-=，故在点()f x ()()1,1f 处的切线方程为()101y x +=-，即10y +=.
（2）依题意知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，
()111x f x x x
-'=-=，
令()0f x ¢>，则10x x
->，解得01x <<；令()0f x '<，则10x x
-<，解得0x <或1x >；所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.
当1x =时，()f x 取得最大值为()()1ln111f x f ≤=-=-，
所以()1f x ≤-.
（3）依题意得()()()ln e e x x
x x h x af x a x x =+=-+，()()11111e e
x x x a h x a x x x -⎛⎫⎛⎫'=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a =时，()0e x
x h x =>，()h x 在定义域上无零点；满足题意.当0a >时，0x >，所以
10e x a x +>，令()0h x '>，得01x <<；
令()0h x '<，得1x >；
所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.
当1x =时，()h x 取得最大值为()11e
h a =-+
，因为()h x 无零点,
所以()110e h a =-+<，解得1e >a ；当a<0时，因为()1f x ≤-，
所以(ln )0a x x ->，即()()ln 0e
x x h x a x x =-+
>，所以()h x 在定义域上无零点；满足题意.
综上所述，实数a 的取值范围(]1,0,.e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)曲线1C 的极坐标方程是()3cos sin 4ρθθ-=，曲线2C 的极坐标方程是π6θ=，2C 与C 的一个交点为M （点M 异于点O ），与1C 的交点为N ，求MN .
【答案】(1)4cos ρθ
=(2)423
-【分析】（1）根据题意，先将曲线的参数方程化为直角坐标系方程，再转化为极坐标方程；（2）根据题意，分别求得点,M N 的坐标，即可得到结果.
【详解】（1）因为曲线C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数），转化为直角坐标方程为：()2224x y -+=，即2240x y x +-=,
转化为极坐标方程为：4cos ρθ=.
（2）曲线1C 的极坐标方程是()3cos sin 4ρ
θθ-=，曲线2C 的极坐标方程是π6
θ=，且2C 与C 的一个交点为M ，则4cos π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得123ρ=，与1C 的交点为N ，则()
3cos sin 4π6ρθθθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得24ρ=，所以12423MN ρρ=-=-.
23．已知函数()|||2|f x x a x =-++．
(1)若1a =，求不等式()7≤f x 的解集；
(2)若()21f x a ≥+，求a 的取值范围．
【答案】(1)[4,3]
-(2)(,1]
-∞【分析】（1）根据绝对值的定义，将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集即可得出答案.
（2）由()|||2||2||2|f x x a x x a x a =-++≥---=+，推出|2|21a a +≥+，分12a <-和12
a ≥-解不等式即可得出答案.
【详解】（1）当1a =时，()|1||2|7f x x x =-++≤，
当2x ≤-时，不等式化为127x x -+--≤，4x ∴≥-，此时42x -≤≤-；
当21x -<≤时，不等式化为1237x x -+++=≤，恒成立，此时21x -<≤；当1x >时，不等式化为12217x x x -++=+≤，3x ∴≤，此时13x <≤，综上所述，不等式的解集为[4,3]-；（2）()|||2||2||2|f x x a x x a x a =-++≥---=+，若()21f x a ≥+，则|2|21a a +≥+，当12
a <-时，不等式恒成立；当12
a ≥-时，不等式两边平方可得2244441a a a a ++≥++，解得11a -≤≤，112
a ∴-≤≤，综上可得，a 的取值范围是(,1]-∞．。