2022湖南高考数学一轮复习-点、直线、平面之间的位置关系

2022湖南高考数学一轮复习-点、直线、平面之间的
位置关系
I 卷
一、选择题
1．平行四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 分别在空间四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、AD 上，又EH ∥FG ，则（ ）.
A ．EH ∥BD ，BD 不平行于FG
B ．FG ∥BD ，EH 不平行于BD
C ．EH ∥B
D ，FG ∥BD D ．以上都不对
【答案】C
2．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．假如把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C
3． l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3
B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3
C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面
D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面
【答案】B
4．若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则( )
A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行
B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直
C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交
D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面
【答案】B
5．下列说法正确的是（ ）.
A ． 假如两个平面有三个公共点，那么它们重合
B ． 过两条异面直线中的一条能够作许多个平面与另一条直线平行
C ． 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D ． 假如两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行
【答案】C
6．设α、β是两个平面，l 、m 是两条直线，下列命题中，能够判定α∥β的是( )
A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β
B ．l ⊂α，m ⊂β，且m ∥α
C ．l ∥α，m ∥β且l ∥m
D ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥m
【答案】D
7．已知三棱柱111ABC A B C 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中
点，则异面直线
AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ） A
B ．
C ．
D ． 34
【答案】D
8．如图，正△ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )
A ．动点A ′在平面ABC 上的投影在线段AF 上
B ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCED
C ．三棱锥A ′－FE
D 的体积有最大值
D ．异面直线A ′
E 与BD 不可能垂直
【答案】D
9．AB 和CD 是夹在平行平面,αβ间的两条异面线段，,E F 分别是它们的中点，则EF 和α（ ）.
A ．平行
B ．相交
C ．垂直
D ．不能确定
【答案】A
10．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ）
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．②和④
【答案】D
11．b a //，P a =⋂α，则b 与α的关系为（ ）
A ． 必相交
B ． 必平行
C ． 必在内
D ． 以上均有可能
【答案】A
12．已知m ，n 是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是
( ）
A ．,n αββ⊥⊂
B ．//,n αββ⊥
C ．,//n αββ⊥
D ．,m n m α⊥⊥
【答案】B
II卷
二、填空题
13．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.
正确命题的序号是________．
【答案】①④
14．给定下列条件
①两个平面不相交
②两个平面没有公共点
③一个平面内所有直线都平行于另一个平面
④一个平面内有一条直线平行于另一个平面
⑤一个平面内有两条直线平行于另一个平面
以上条件能判定两个平面平行的有
【答案】①②③
15．过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个. 【答案】许多，一，一，许多
16．过一点可作________个平面与已知平面垂直.
【答案】许多
三、解答题
17．如图，长方体1111D C B A ABCD -
中，DA=DC=2，31=DD ，E 是11D C 的中点，F 是CE 的中点。

(1）求证：
(2）求证：
【答案】(1)连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，
可得OF 是△ACE 的中位线，OF ∥AE ，
又AE ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，
因此EA ∥平面BDF .
(2)运算可得DE ＝DC ＝2，又F 是CE 的中点，
因此DF ⊥CE ，
又BC ⊥平面CDD 1C 1，
因此DF ⊥BC ，
又BC ∩CE ＝C ，
因此DF ⊥平面BCE ，
又DF ⊂平面BDF ，
因此平面BDF ⊥平面BCE .
18．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长差不多上4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．
(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；
(2)设二面角C －AF －E 的大小为θ，求tan θ的最小值．
【答案】解法1：过E 作EN ⊥AC 于N ，连结EF .
(1)如图1，连结NF 、AC 1，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面A 1C ，
又底面ABC ∩侧面A 1C ＝AC ，且EN ⊂底面ABC .
因此EN ⊥侧面A 1C ，NF 为EF 在侧面A 1C 内的射影．
在Rt △CNE 中，CN ＝CE cos60°＝1.
则由CF CC 1＝CN CA ＝1
4，得NF ∥AC 1，
又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C .
由三垂线定理知EF ⊥A 1C .
(2)如图2，连结AF ，过N 作NM ⊥AF 于M ，连结ME .
由(1)知EN ⊥侧面A 1C ，依照三垂线定理得EM ⊥AF ，
因此∠EMN 是二面角C －AF －E 的平面角，
即∠EMN ＝θ，
设∠FAC ＝α，则0°<α≤45°.
在Rt △CNE 中，NE ＝EC ·sin60°＝3， 在Rt △AMN 中，MN ＝AN ·sin α＝3sin α， 故tan θ＝NE MN ＝33sin α．又0°<α≤45°，∴0<sin α≤2
2．
故当sin α＝2
2，即当a ＝45°时，tan θ达到最小值，
tan θ＝33×2＝6
3，现在F 与C 1重合．
解法2：(1)建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得
A (0,0,0)，
B (23，2,0)，
C (0,4,0)，A 1(0,0,4)，E (3，3,0)，F (0,4,1)，
因此＝(0，－4,4)，＝(－3，1,1)，
则·＝(0，－4,4)·(－3，1,1)＝0－4＋4＝0，故EF ⊥A 1C .
(2)设CF ＝λ，(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由(1)得F (0,4，λ)， ＝(3，3,0)，＝(0,4，λ)，因此由m ⊥，m ⊥可得
即⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋3y ＝0，
4y ＋λz ＝0.取m ＝(3λ，－λ，4)．
又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1的一个法向量为n ＝(1,0,0)， 因此由θ为锐角可得cos θ＝|m ·n ||m |·|n |＝3λ2λ2＋4，sin θ＝λ2＋16
2λ2＋4，
因此tan θ＝λ2＋16
3λ＝
13＋163λ2． 由0<λ≤4，得1λ≥14，即tan θ≥
13＋13＝6
3， 故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值6
3．
19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB ＝90°，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB ＝2EF .
(1)若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ；
(2)若AC ＝BC ＝2AE ，求二面角A －BF －C 的大小．
【答案】(1)证法一：
因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，
因此∠EGF ＝90°，
△ABC ∽△EFG .
由于AB ＝2EF
因此BC ＝2FG
连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，
在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，
则AM ∥BC ，且AM ＝1
2BC .
因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，
因此四边形AFGM 为平行四边形．因此GM ∥FA .
又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，
因此GM ∥平面ABFE .
证法二：
因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，
因此∠EGF ＝90°，
△ABC ∽△EFG ，
由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .
取BC 的中点N ，连接GN ，
因此，四边形BNGF 为平行四边形，因此GN ∥FB .
在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，连接MN ，则AM ∥AB .
因为MN ∩GN ＝N ，因此平面GMN ∥平面ABFE .
又GM ⊂平面GMN .因此GM ∥平面ABFE .
(2)解法一：
因为∠ACB ＝90°，因此∠CAD ＝90°
又EA ⊥平面ABCD ，因此AC ，AD ，AE 两两垂直
分别以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设AC ＝BC ＝2AE ＝2，则由题意得A (0,0,0)，B (2，－2,0)，C (2,0,0)，E (0,0,1)，因此＝(2，
－2,0)，＝(0,2,0)．又EF ＝1
2AB ，
因此F (1，－1,1)，＝(－1,1,1)．
设平面BFC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，
则m ·＝0，m ·＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝0
x 1＝z 1
取z 1＝1得x 1＝1，因此m ＝(1,0,1)．
设平面ABF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．
则n ·AB ＝0，n ·＝0，因此⎩⎪⎨⎪
⎧ x 2＝y 2z 2＝0
取y 2＝1，得x 2＝1.则n ＝(1,1,0)．
因此cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝1
2．
因此二面角A －BF －C 的大小为60°.
解法二：
由题意知，平面ABFE ⊥平面ABCD ，
取AB 的中点H ，连接CH ，
因为AC ＝BC ，
因此CH ⊥AB .
则CH ⊥平面ABFE ，
过H 向BF 引垂线交BF 于R ，连接CR ，则CR ⊥BF ，
因此∠HRC 为二面角A －BF －C 的平面角．
由题意，不妨设AC ＝BC ＝2AE ＝2.
在直角梯形ABFE 中，连接FH ，则FH ⊥AB ，
又AB ＝22．
因此HF ＝AE ＝1，BH ＝2，
因此在Rt △BHF 中，HR ＝6
3．
由于CH ＝1
2AB ＝2，
因此在Rt △CHR 中，tan ∠HRC ＝2
63
＝3．
因此二面角A －BF －C 的大小为60°.
20． 如图，已知.,,,,AB a a B EB A EA l ⊥⊂⊥⊥=⋂αβαβα于于求证：a ∥l .
【答案】
EAB l EB l EA l l EB EA 平面⊥⇒⎭
⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥βαβα, EA a EA a ⊥∴⊥⊂,,αα 又
EAB a AB a 平面又⊥∴⊥
.//l a ∴
21．如图13－3，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AC ＝BC ＝2，AA 1＝4，AB ＝22，M ，N 分别是棱CC 1，AB 的中点．
(1)求证：CN ⊥平面ABB 1A 1；
(2)求证：CN ∥平面AMB 1； 1的体积．
【答案】(1)证明：因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC .又因为CN ⊂平面ABC ，因此AA 1⊥CN .
因为AC ＝BC ＝2，N 是AB 中点，因此CN ⊥AB .
又因为AA 1∩AB ＝A ，因此CN ⊥平面ABB 1A 1.
(2)取AB 1的中点G ，连接MG ，NG .
因为N ，G 分别是棱AB ，AB 1中点，
因此NG ∥BB 1，NG ＝1
2BB 1.
又因为CM ∥BB 1，CM ＝1
2BB 1，因此CM ∥NG ，CM ＝NG .
因此四边形CNGM 是平行四边形．因此CN ∥MG .
因为CN ⊄平面AMB 1，GM ⊂平面AMB 1，
因此CN ∥平面AMB 1(3)由(2)知GM ⊥平面AB 1N .
因此VB 1－AMN ＝VM －AB 1N ＝13×12×2×4×2＝4
3．
22．已知平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝a ，求证：a ⊥α。

【答案】证法1:如图1：在α内取一点P ，作PA ⊥β于A ，PB ⊥γ于B ，
则PA ⊥a ，PB ⊥a ，又PA ⊂α，PB ⊂α，PA ∩PB ＝P ，∴ a ⊥α。

证法2：如图2，在a 上任取一点Q ，作QC ⊥α于C ，∵β∩γ＝a ，∴Q ∈β，
又β⊥α，∴QC ⊂β，同理可证QC ⊂γ，∴QC 为β与γ的交线a ，∴ a ⊥α。

证法3：如图3，在a 上取点R ，在β内作RD 垂直于α、β的交线l 于D ，
∴RD ⊥α，同法在γ内，作RE 垂直于α，交α与γ的交线m 于E ，则RE ⊥α，过平面外一点，作那个平面的垂线是惟一的，∴RD 、RE 重合，则它既包含于β，又包含于γ，∴ a ⊥α。

证法4：如图4，在β、γ内分别取M 、N 分别作α、β的交线l 和α、γ的交线m 的垂线c ，d ，则c ⊥α，d ⊥α，cd ，ca ，∴ a ⊥α。