上海市闵行区高三数学上学期期末质量调研试题 理

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试
数 学 试 卷（理科）
（满分150分，时间120分钟）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．
2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．本试卷共有23道试题．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z
满足i i z =
（i 为虚数单位），则||z = .2
2．若全集U =R ，函数2
1x y =的值域为集合A ，则U A =ð .)0,(-∞ 3．方程4260x x --=的解为 .2log 3x = 4．函数()cos()sin sin()cos x x f x x x
π-=π+的最小正周期T = .π
5．不等式
x x
>4
的解集为 .)2,0( 6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .15π
7．已知ABC △中，43AB i j =+u u u r r r ，34AC i j =-+u u u r r r
，其中i j r r 、是基本单位向量，则ABC △的面积
为 .
252
8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.10 9．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且861086S S =+，则2lim n n S n
→∞= . 5 10．若函数()2
x a
f x -=()a ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数
m 的最小值等于 . 1
11．若点P 、Q 均在椭圆22
22
:11
x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-u u u r u u u u r u u u r
的最大值为 .2a
12．已知函数14
cos 042()log (3)1 4x x f x x x π
⎧≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩，
，
，若实数a b c 、、互不相等，且满足
)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是 .(8 23)，
13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依
学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………
据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为
b a
和d c （*
,,,a b c d ∈N ）,则b d a c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令3149
1015
<π<
，则第一次用“调日法”后得165
是π的更为精确的过剩近似值，即3116
105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用
“调日法”后可得π的近似分数为 .22
7
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈*N ，1(1)32
n
n n n S a n =-++-且
1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是 .311,44⎛⎫
- ⎪⎝⎭
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应
编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若,a b ∈R ，且0ab >，则“a b =”是“
2b a
a b
+≥等号成立”的（ A ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16．设2345
()2510105f x x x x x x =+++++，则其反函数的解析式为（ C ）.
(A) 1y =+
1y =-
(C) 1y =-
1y =-17．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，满足
a b c c
b a b c
-+≤
+-，则角A 的范围是（ B ）. (A)0,
π⎛
⎤ ⎥6⎝⎦ (B) 0,π⎛⎤ ⎥3⎝⎦ (C) ,π⎡⎫π⎪⎢6⎣⎭ (D) ,π⎡⎫
π⎪⎢3⎣⎭
18．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图像如图2所示.{}
(())0A x f g x ==,{}
(())0B x g f x ==,则A B I 中元素的个数为（ C ）.
三、5内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，
C
A
B
D
A 1
B 1
C 1
图2 图1
12AA AB ==，1BC =,BAC π∠=
6，D 为棱1AA 中点，证明异面直线11B C 与CD 所成角为π2
，并求三棱柱111ABC A B C -的体积．
[证明]Q 在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，11//BC B C ，BCD ∴∠或它的补角即为异面直线11B C 与CD 所成角，…………………………2分 由2AB =，1BC =,BAC π∠=
6以及正弦定理得sin ACB ∠=1，ACB π∴∠=2
即BC AC ⊥，…………4分
又1BC AA ∴⊥，11BC ACC A ∴⊥面，…………6分
BC CD ∴⊥………………8分
所以异面直线11B C 与CD 所成角的为
2
π
．…………………… 10分 三棱柱111ABC A B C -
的体积为11
122
ABC V S AA =⋅=⋅=△ …………12分
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．
如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，0
βαπ
<<
<<π． （1）若3
=4
απ，()2cos 3αβ-=，求sin 2β的值；
（2）证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．
[解]（1）方法一:Θ()2
cos 3
αβ-=，
1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=9
1
- …3分
Θ3
=4απ，即9
1)223cos(-=-βπ， ………………………………6分
9
1
2sin =∴β． ………………………………8分
方法二:Θ()2cos 3
αβ-=
，3
=4απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， …………3分 322cos sin =
-∴ββ，两边平方得，9
8
2sin 1=-β ……………………………6分 9
1
2sin =
∴β． …………………………………8分 （2）[证明]由题意得，)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ= ⋅∴=βαβαsin sin cos cos +
………………10分
又因为与夹角为βα-
1==
⋅∴
)cos()cos(βαβα-=- ………………………12分 综上cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立． ……………………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数a
y x
=
图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为10千米，以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标
p .
（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围. [解]（1）由题意得(1,8)M ，则8a =，故曲线段MPN 的关系式为8
y x
=
，4分 又得4
(10,)N ，所以定义域为[]1,10. ……………………………6分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分． 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3
(1,)2
，它的一个焦点与抛物线2
:4y x E =的焦点重合．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）斜率为k 的直线l 过点()1,0F ，且与抛物线E 交于A B 、两点，设点(1,)P k -，PAB △的面
积为k 的值；
（3）若直线l 过点()0,M m （0m ≠），且与椭圆Γ交于C D 、两点，点C 关于y 轴的对称点为Q ，直线QD 的纵截距为n ，证明：mn 为定值.
[解]（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，由题设得222219141
a b a b ⎧+=⎪
⎨⎪=+⎩
，…2分
22
43
a b ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆Γ的方程是22
143x y += …………………………4分 （2）设直线:(1)l y k x =-，由2
(1),4,
y k x y x =-⎧⎨
=⎩得2222
2(2)0k x k x k -++= l 与抛物线E 有两个交点，0k ≠，216(1)0k ∆=+>，
则22
4(1)k AB k
+== …………………………6分 (1,)P k -到l
的距离d =
，又PAB
S =△
2214(1)2k k +∴⋅=22433k k =+
，故k =． ………………………10分
（3）Q ()()1122,,,C x y D x y ，点C 关于y 轴的对称点为11(,)Q x y -， 则直线211121:()y y CD y y x x x x --=--，设0x =得121211212121
()x y y x y x y
m y x x x x --=-=--
直线211121:()y y QD y y x x x x --=
++，设0x =得121211212121
()x y y x y x y
n y x x x x -+=+=++14分
2222
211222
21
x y x y mn x x -∴=-，又2211143x y +=，2222143x y +=22113(4)4y x ∴=-，22
223(4)4y x =- 22222222211221
12
222
2
2
1
2133(4)(4)
443x x x x x y x y mn x x x x ⋅--⋅--∴===--．………………………16分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．
已知数列{}n a 的各项均为整数，其前n 项和为n S ．规定：若数列{}n a 满足前r 项依次成公差为1的等差数列，从第1r -项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{}n a 为“r 关联数列”． （1）若数列{}n a 为“6关联数列”，求数列{}n a 的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出n S ，并证明：对任意n ∈*
N ，66n n a S a S ≥；
（3）已知数列{}n a 为“r 关联数列”，且110a =-，是否存在正整数,()k m m k >，使得
121121?k k m m a a a a a a a a --++++=++++L L 若存在，求出所有的,k m 值；若不存在，请说明
理由．
[解]（1）Θ{}n a 为“6关联数列”，∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列
,4,51516+=+=∴a a a a 且
256=a a ， 即24
511=++a a ，解得31-=a …………2分 54,4
2,5n n n n a n --≤⎧∴=⎨≥⎩（或554,54,62,62,7
n
n n n n n n a n n --⎧-≤-≤⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩）． ……………………4分 （2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -⎧-≤⎪=⎨⎪-≥⎩（或22441717
,5,6
2222
27,627,7n n n n n n n n n S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≥-≥⎩⎩
） …………………………………6分
{}2345:3,2,1,0,1,2,2,2,2,2,n a ---L ，{}:3,5,6,6,5,3,1,9,25,n S ------L {}:9,10,6,0,5,6,4,72,400,n n a S --L
，可见数列{}n n a S 的最小项为666a S =-，
证明：541
(4)(7),5
22(27),6
n n n n n n n n a S n --⎧--≤⎪=⎨⎪-≥⎩，
列举法知当5n ≤时，min 55()5n n a S a S ==-； ………………………………………8分
当6n ≥时，)6(27)2(2525≥⋅-⋅=--n S a n n n n ，设52n t -=，则{}
22,2,,2,m
t ∈L L
，
222749
272()2272648
n n a S t t t =-=--≥⋅-⋅=-． ……………………10分
（3）Q {}n a 为“r 关联数列”，且110,1,2a d q =-==
11(2)12,11r r a a r d r a r -∴=+-=-=-，1
213r
r a r a -=∴=Q
2121112111,12,12
,22
2,13256,13n n n n n n n n n a S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪∴==⎨⎨≥⎪⎪-≥⎩⎩
…………………………12分 ①当12k m <≤时，由
22121121
2222
k k m m -=-得(k )(k )21(k )m m m +-=- 21,,12,k m k m m k +=≤>，129m k =⎧∴⎨
=⎩或11
10
m k =⎧⎨=⎩． ②当12m k >>时，由11
112
56256k m ---=-得m k =，不存在 ………………14分
③当12,12k m ≤>时，由211121
25622
m k k --=-，102221112m k k -=-+ 当1k =时，10
*2
92,m m N -=∉；当2k =时，10*274,m m N -=∉； 当3k =时，10
*2
58,m m N -=∉；当4k =时，10*244,m m N -=∉； 当5k =时，10
5*22,15m m N -==∈；当6k =时，10*222,m m N -=∉； 当7k =时，10
*214,m m N -=∉；当8k =时，103*22,13m m N -==∈； 当9k =时，10
22
2,12m m -==舍去；当10k =时，1022,11m m -==舍去
当11k =时，10
2
2,11m m -==舍去；当12k =时，10222,12m m -==舍去……16分
综上所述，∴存在155m k =⎧⎨=⎩或138m k =⎧⎨=⎩或129m k =⎧⎨=⎩或1110
m k =⎧⎨=⎩． …………………18分。