环境质量评价实验指导书

目录
实验一 (1)
实验二 (10)
实验三 (13)
实验四..........................................................................................19. 实验五. (23)
实验一Excel 在建立数学模型的应用
一、实验目的：
练习掌握线性回归分析、曲线拟合及参数估计等数学建模问题
二、实验原理：
数学模型的建立过程中，从数据分析、参数估计直至模型的检验，数据计算的工作量十分巨大，没有计算机的帮助要完成这些工作是很难想象的。

Microsoft Excel就是完成该项工作的一种简便有效的工具。

三、实验内容：
1、污水处理的线性回归分析;
表2-4 某污水处理厂3、4月份的日常监测台帐
18 712 102 900 166.56 158
19 584 134 771 148.89 123
20 841 118 755 146.7 139
21 870 182 855 160.4 127
22 1120 186 682 136.69 121
23 654 144 757 146.97 175
24 695 152 743 145.05 138
例2-2 某污水处理厂提供的3、4月份的日常监测台帐如表2-4所示，试根据3月份的数据建立其出水COD对应入水COD的线性回归模型，然后用4月份的数据进行验证。

解:首先建立Excel的工作表，输入污水处理厂监测的原始数据。

在2.2 中已介绍了Microsoft Excel的“分析工具库”。

线性回归也是属于该工具库的内容。

在“工具”菜单中，单击“数据分析”命令。

如果“数据分析”命令没有出现在“工具”菜单中，则需要通过加载宏安装“分析工具库”，与此同时也将“规划求解”安装备用。

如图2-5所示。

完成了加载宏的安装过程，在“工具”菜单中，单击“数据分析”命令，选择线性回归操作。

按照对话框要求在Y 值输入区域输入对因变量数据区域的引用，该区域必须由单列数据组成。

这里选择输入3月份的出水COD的数据区域；在X 值输入区域输入对应入水COD数据。

回归统计的一些主要结果如表2-5。

图2-5 加载宏安装“分析工具库”和“规划求解”
表2-5 出水COD 对应入水COD 回归统计结果
Multiple R 0.630237 Intercept 43.25682 X Variable 1 0.136996 标准误差 26.22009
观测值
24
因此，出水COD 对应入水COD 的线性回归的模型形式是：
Y = 0.137X + 43.257
相关系数 R =0.63，观测值24个。

查阅相关关系检验表，R 0.01(22)=0.515；由于这里|R |>R 0.01(n -2)，说明3月份数据的出水COD 与入水COD 两者之间，存在高度显著的线性相关关系。

使用模型 Y = 0.137X + 43.257，根据4月份入水COD 数据求出出水COD 的计算值；选择Y 值输入区域为4月份的出水COD 数据，在 X 值输入区域输入对应出水COD 的计算值，再次进行线性回归操作：观测值仍为24个，相关系数 R =0.45，查阅相关关系检验表，R 0.05(22)=0.404；由于这里R 0.05(n -2)<|R |≤R 0.01(n -2)，说明根据3月份数据归纳出的数学模型与新的数据观测组（4月份数据）之间的相关关系显著。

这里需要注意的是前后两个相关系数所具有的不同含意，前者表示模型中两个变量间的线性关系，后者表示的是数学模型估算值与观测值之间的相关关系。

4月份出水COD 对应入水COD 数据与模型估算值的比较如图2-6所示
2 结构分析和曲线拟合
从建立数学模型的过程中，对于两个变量 x 和 y 的试验或观测数据，我们需要确定模型的结构，然后使用最小二乘法进行参数估值来获得数学模型。

半机理模型结构的建立，在于对事物运动或反应机理的认识。

对于用初等函数表示的模型结构，使用Excel 能够帮助我们迅速获得模型的完整形式，并能分析结构的合理性。

这就是曲线拟合；即寻求能够代表 x 和
y 函数关系的数学模型。

0501001502002500
5001000
1500
使用Excel 工作表进行曲线拟合的操作，是在图表菜单下，选定数据系列，使用趋势线命令，获得对话框，如图2-7所示。

Excel 趋势线所提供的模型结构形式，如表2-6所示。

表2-6 Excel 趋势线所提供的模型结构
例2-3 十二胺降解实验数据如表2-7所示，使用Excel 工作表进行曲线拟合。

表2-7 十二胺降解实验数据
名称 趋势线计算方程
备注
线性 b mx y += (2-11)
m 代表斜率 b 代表截距 对数
b x
c y +=ln
(2-12)
c 和 b 代表常数，函数 ln
代表自然对数
多项式
55221....x c x c x c b y ++++=
(2-13)
可选择多项式阶数，b 和C i
代表常数
乘幂 b cx y =
(2-14)
其中 c 的 b 为常数 指数
bx ce y =
(2-15)
c 和 b 为常数，e 代表自然
对数的底数
移动平均
n
A A A F n t t t t 1
1.....+--+++=
(2-16)
n 是“周期”选项, 设置移
动平均使用数据点数目，用来消除数据的波动
图2-7 Excel 图表菜单下，添加趋势线命令对话框
时间(h) 0 1 3 5 7 9 23 27 31 浓度(mg/L)
2.3
2.22
1.92
1.6
1.52
1.07
0.73
0.5
0.45
解： 在趋势线命令中分别选择模型结构形式为线性和指数模型，拟合结果如图2-8所示。

指数模型又分别指定和不指定是否必须通过初始浓度2.3 mg/L 。

注意在图2-7中有个选项页，如果需要在图中显示出模型的表达式、R 2
，或者需要限制趋势线必须通过初始浓度标记的函数点，均在选项页进行操作。

从获得的三个数学模型来看，指数模型
t e y 0519.016.2-=
与实验数据拟合的相关系数高达 98.6%（R 2
=0.9726）,应是较好的选择。

3 用Excel 进行参数估计
例2-4 根据对某一种反应的分析，获得灰箱模型为：21ln x b x a c y ++= 试根据表2-8所示的一组实验观测值，进行灰箱模型的参数估值，并讨论其是否可信。

解：首先建立Excel 的工作表，输入已知的实验数据，在新的两列中分别通过输入计算式，用复制命令或拖动鼠标求得对应的x 10.5
和 ln(x 2)，该反应测定的原始实验数据和两列中间计算结果均列入表2-8。

在“工具”菜单中，单击“数据分析”命令，选择回归操作。

按照对话框要求在Y 值输入区域输入因变量 y 数据区域的引用(第3列)；在 X 值输入区域输入第4 ,5 两列。

回归分析的一些主要结果如表2-9。

因此经确定参数后模型的形式是：
2
1ln 3.472.651.13x x y -+=
其相关系数R =0.94；查阅表2-3, n-2=11时的 5%和 1%置信度的R 分别为0.553和0.684，说明该模型与观测值之间相关关系高度显著。

表2-8 原始实验数据和两列中间计算结果
表2-9回归分析的一些主要结果
4空气污染指数
空气污染指数的分级标准是：（1）空气质量指数API 50 对应的污染物浓度为国家空气质量日均值一级标准；（2）API 100 对应的污染物浓度为国家空气质量日均值二级标准；（3）API更高值段的分级对应于各种污染物对人体健康产生不同影响时的浓度限制。

目前试行的空气污染指数分级标准如表3-4所示。

为了对空气污染综合分级，首先需按单项污染因子计算空气污染指数。

参照上述空气污染指数分级标准的一些原则，每个单项有着各自的分级标准，表3-5列出了二氧化硫和可吸
入颗粒物的分级标准。

空气污染指数API 的计算方法如下：计算各单项污染物的API 指数。

表3-4 空气污染指数分级标准(试行) （2000年4月27日发布）
将监测点的各项污染物浓度日均值与各自的分级标准限值相比较，确定对应于该浓度值时API 所在的API 指数区间，再按照插值法计算该污染物浓度的API 值。

n i n i n i n i n i n
i i i I I I C C C C I ,,1,,1,,)()
()(+-⨯--=
++
式中：I i —第 i 种污染物的污染分指数； C i —第 i 种污染物的实测浓度值；I i,n —第 i
种污染物ｎ转折点的污染分项指数； I i,n+1—第 i 种污染物ｎ+1转折点的污染分项指数； C i,n
—ｎ转折点上i 种污染物 (对应于I i,n )的浓度限值； C i,n+1—ｎ转折点上 i 种污染物 (对应于
I i,n+1 )的浓度限值。

1） 确定监测点的API 指数及首要污染物。

当各污染物的分指数I i 计算完毕后，取API = Max (I 1,I 2,…I n ) 为该监测点所在区域的空气污染指数（API ），相应的该项污染物即为该区域的首要污染物（Critical Pollutants ）。

每天，我们分别计算出各监测点的污染指数，这个指数所对应级别就定义为这个监测点的空气质量级别，对应的污染物就是这个监测点的主要污染物。

API 越小、空气质量越好。

使用API 比使用级别说明空气质量更详细。

比如 API 等于101和API 等于200，都属于Ⅲ级，但实际上101是接近良好的水平，而200是接近中度污染的水平。

目前我们采用的办法是各测点报空气污染指数，全市报级别并报平均空气污染指数和首要污染物。

例3-2 用分析仪器测得某监测站点某日的二氧化硫日均浓度值为80μg/NM 3，当日测得的可吸入颗粒物浓度值是200μg/NM 3，计算API 并指明首要污染物。

解：根据二氧化硫日均浓度值80μg/NM 3，查表3-3 API 在50-100之间，插值计算：
65)5080(50
15050
100502=---+
=SO I
同理，根据测得的可吸入颗粒物浓度值是200μg/NM 3，计算API
125)150200(150
350100
20010010=---+
=pM I
因此该测点的污染指数是125，首要污染物是可吸入颗粒物。

实验二 用Excel 进行等标污染指数、等标污染负荷、 污染负
荷比的运算方法
一、实验目的：
掌握用Excel 运算等标污染指数、等标污染负荷、污染负荷比的方法
二、实验原理：
等标污染指数
i
ij
ij C C N 0= 等标污染负荷
污染物的等标污染负荷
ij i
ij ij Q C C P 0=
评价范围内的等标污染负荷
∑=j
ij i P P
污染负荷比
j ij ij P P K =
污染源对于这个评价范围的污染负荷比
P
P K j j =
该污染物对于这个评价范围的污染负荷比
P
P K i
i =
三 实验内容：
例4-5 已知某地区建有造纸厂，酿造厂和食品厂。

其污水排放量和污染物监测结果如表4-4,试确定该地区的主要污染物和主要污染源
表4-4:各厂污水排放量和污染物浓度（mg/l ）
(附污染物排放标准)
项目 排放标准 造纸厂 酿造厂 食品厂 污水量(m3/s) 0.42 0. 42 0.63 挥发酚 0.5 0.57 0.15 0.08 COD(Cr) 100 758 865 532 SS 70 636 188 120 S
1.0
4.62
0.01
0.01
解：使用 Excel 进行成批的数据运算，如图4-1所示。

操作步骤如下：
（1）首先计算各污染源的单项等标污染负荷。

单元 C11 对应于造纸厂挥发酚的等标污染负荷，输入公式：
“ = C4/$B4*C$3 ” 相当于执行 “=0.57/0.5*0.42”
C4的内容是造纸厂挥发酚浓度，B4的内容是挥发酚排放标准， C3是造纸厂的污水流量。

“$”是Excel 的绝对地址限制符号，以写有公式的单元C11为源区域，复制到目标区域
C11:E14，$B4中的“$”保证了在向酿造厂、食品厂进行横向复制时，不会脱离排放标准一栏。

C$3中的“$”符号保证了在向COD、SS、S等项目进行纵向复制时，不会脱离排放流量一行。

（2）等标污染负荷求和
将计算所得的各污染源的单项等标污染负荷，分别按行和列的方向求和。

单元B11 有“=SUM(C11:E11)”，并扩展到B11:B14；单元B15 有“=SUM(B11:B14)”，并扩展到B15:E15。

单元F15 有“=C15/$B$15”，并扩展到F15:I15。

（3）计算各单项的污染负荷比
单元F11 对应于造纸厂挥发酚占该评价范围总等标污染负荷的污染负荷比，输入公式：“= C11/$B$15 ”
图4-1 计算污染源等标污染负荷的Excel工作表
单元坐标算式
C11 = C4/$B4*C$3
C11:E14 从区域C11复制到区域C11:E14
B11 =SUM(C11:E11)
B11:B14 从区域B11复制到区域B11:B14
B15 =SUM(B11:B14)
B15:E15 从区域B15复制到区域B15:I15
F11 = C11/$B$15
F11:H14 从区域F11复制到区域F11:H14
F15 = C15/$B$15
F15:I15 从区域F15复制到区域F15:I15
I11 =SUM(F11:H11)
I11:I14 从区域I11复制到区域I11:I14
中有两个“$”符号保证了在向酿造厂、食品厂进行横向复制，向COD、SS、S等项目进行纵向复制时，不会脱离该评价范围的总等标污染负荷所在单元，$B$15。

（4）污染负荷比汇总计算
将计算所得的各污染源的单项污染负荷比，分别按行和列的方向求和。

单元I11 有“=SUM(F11:H11)”，并扩展到I11:I14。

（5）污染物和污染源排序
比较污染物和污染源的污染负荷比数值，由大到小进行排序。

各单元中输入的算式如表4-5。

实验三 Excel 在大气环境质量评价中的应用
一 实验目的：
要求学生熟练掌握Excel 模版进行大气环境质量评价计算
二 实验原理：
（1）我国烟气抬升高度的计算方法
v s
a
h Q T T P Q ∆=5.3
1
02-=∆u H Q n H n
s n h n
（2）给定风速条件下地面的最大浓度：
y
z H u e Q C σπσ2
max 2=
2
H m
x x z
=
=σ
（3）熏烟型扩散模式
)]2y (
[exp h u 2Q
C 2
y f
2y f
f f σσπ-=
8
15.21515.2H Htg y y yf +=+=σσσ
三 实验内容
例5-2．已知, 北京处于 116.28°E, 40.0°N ， 求三月上旬的日出与日落时间(北京时间), 并画出纳布可夫日高图。

解：三月上旬δ≈ -5°， 计算正午12点h θ：h θ≈90° -（φ-δ）= 45°
计算日出日落真太阳时，由 0=Sin φSin δ+ Cos φCos δCos ω 0748.0)5()40(=--=-=o o tg tg tg tg Cos δϕω ω=85.7°，求出距正午12点时间为 t =85.7/15= 5.71 (h)=5小时43 分；
画出纳布可夫日高图如图5-11，使用日高图可查出其他时刻的日高角（例如8：00）。

由经度求时间补偿，Δt =(120°-116.28°)×4分/度= 14.9(分)
由日落日出真太阳时: 12±5小时43 分，求得日出的北京时间为 6：02；日落的北京时间为 17：28。

例5-3 某电厂烟囱有效高度150 m ，S02排放量151g ／s 。

夏季晴朗下午，大气稳定度 B 级， 烟羽轴处风速为4m ／s 。

若上部存在逆温层，使垂直混合限制在1.5km 之内。

确定下风向 3km 和 11km 处的地面轴线 S02浓度。

解：按照5-56计算烟流达到逆温层的σz
)(62815
.2150
150015.2m H h z =-=-=
σ 查表5-10 γ2=0.057025, α2 =1.09356；代入5-46, 2
2αγσD
z x =；
09356
.1057025.0628D
x =解出X D 值为：4967m 。

（1）3km<4.97km, )/(1056.7])362150(21exp[3624034151)]2(exp[352
22m g H u Q C z z
y -⨯=-⨯⨯⨯=-=πσσσπ
（2）2×4.97km< 11 km )/(1009.81241
150042151
)]2(exp[23622m g y h u Q C y y -⨯=⨯⨯⨯=-=πσσπ
例5-4 某电厂烟囱有效高度150 m ，S02 排放量151g ／s 。

夜间和上午有效烟囱高度风速为4m ／s ，夜间稳定度E 级。

若清晨烟流全部发生熏烟现象，确定下风向16km 处的地面轴线S02浓度。

解：查表5-10解出E 级16km 处σy=733m, σz= 96m ；h f = H+σz =150+2×96=342(m)
式5-62为熏烟扩散时地面上的横向扩散参数σyf ： )(7528/1507338
m H
y yf =+=+
=σσ )/(1085.5752
34242151
235m g h u Q C yf -⨯=⨯⨯⨯==
πσπ
例5-7 某地( P=100 kPa)两工厂烟囱在城市的位置以图5-13中的平面坐标表示A(15,15)、B(150,150)（以 m 计），高度分别为100m 和 80m,SO 2 排放量分别为180g/s 和130 g/s ；TSP 排放量分别为340g/s 和300 g/s ；烟气温度均为100℃,当地平均气温冬季为
-10℃,春秋季节为 15℃；其烟气流量分别为 135 M 3/s 和 124M 3/s 。

（1） 分别求两污染源在风速与 X 方向平行，C 稳定度和相应情况的热排放率Q h , 危险
风速, 地面绝对最大浓度值及发生部位（以平面坐标表示）。

（2） 若在接受点C(950, 110)，风向平行X ，地面风速2.5 m/s, C 稳定度，考虑叠加效果。

（3） 若在接受点C(950,110)，地面风速0.8 m/s, 其他条件同上，考虑叠加效果。

解：（1）求解地面绝对最大浓度；
由5-35
式计算污染源热释放率，如 A 源冬季有)/(13934135373110
3505.3s kj Q T T P Q v s a
h =⨯⨯=∆=
抬升公式5-40式：1
02
-=∆u H Q n H n
s n h n ；由表5-4 n o =0.292， n 1=3/5， n 2
=2/5； 对照公式5-40式 1-=∆u B H ；有：5/25
/3292.0s h H Q B =
在危险风速条件下，有ΔH=H s ；求得危险风速s H B u /=；
由5-51式，地面最大浓度处s x x z
H H m
22/===σ；
查表5-10代入5-46,2
2αγσm z x =，解出 x m ,并计算1
1α
γσx y =；
表5-12 地面绝对最大浓度的计算用表
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11
12
13
14
15
16
TSP
17
Y
X
B(150,150)
C(950,110)
图5-13工厂和测点位置的平面坐标
18
19
令y
s z
H Be σπσ2=
Ω，由5-53式计算地面绝对最大浓度值为：
Ω==Q H Be Q C y
s z
absm σπσ2
当我们求解此类问题时，无论是手工计算还是使用Excel 的电子表格，使用表5-12形式的计算用表可以起到减少差错和提高效率的作用。

特别是对于多种污染因子和气象因素的类似操作，使用Excel 一次输入算式后即可用复制粘贴方法进行成批的数据运算。

在一次完成模板制作后，只需改变自变量数值，结果将自动生成。

表5-13列出此例中对应单元的算式和获得表5-12运算结果的复制粘贴使用方法。

地面绝对最大浓度出现的坐标应是：A ’(2540,15)、B ’(2130,150)。

(2) 求解接受点C(950,110)的污染物浓度； 用幂指数风速廓线模式（5-2）
p
z z u u )(
1
212=，
表
将地面风速折算成高空风速。

按步骤（1）中抬升公式计算目前气象条件和排放条件下的抬升高度和有效源高，代入地面任一点浓度公式（5-31）：
)]
22(exp[2222z y z y H y u Q C σσσσπ+-=； 使用Excel 的电子表格，输入算式后制成模板，能够适应解此类问题的需要。

如表5-14。

表5-14 叠加求解高架源污染物地面浓度的 Excel 表格模板①
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11
12
13 14 15
表
(3) 求解小风条件下，接受点C(950,110)的污染物浓度；
这时不能直接使用表5-14的Excel 模板，因为小风时烟气抬升高度△H(m)改变为（5-45）
8
3410098.050.5⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=∆dz dT Q H a h
；
浓度预测模式变化为5-63
G Q y x C L 2
022
/3)
2(2),(η
γπ=
；
式中η按（5-64）计算，G 按（5-65）计算。

使用Excel 函数，能够根据（5-67）
η
γ01x
u S =
获得正态函数Φ(S)的值, Excel 电子表格解小风问题的模板，如表5-16、表5-17所示。

表5-16 解小风问题的Excel 表格模板
A
B
C
D
E
F
G
1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 12 13
14 15 16 17
18
通过该例题的分析，我们提供了在 Excel 环境下的计算模板，只要代入相应的原始条件，便能方便地获得结果。

每一个中间环节均在表格中显示出来，既免除了复杂的编程操作，又更方便使用，学生可按此例建立自己的实用模板。

实验四 用Excel 模板进行有关河流湖泊水质
模型的计算与预测
一 实验目的：
练习用Excel 模板进行有关河流湖泊水质模型的计算与预测。

二 实验原理：
一维模型的浓度计算公式：
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x u D
k D u
C C x x 2104112ex p 如果忽略扩散项，沿程的坐标x=ut,dC/dt=-k 1C , 代入初始条件 x=0, C=C 0方程的解为 )]/(ex p[)(10u x k C x C -=
无限大均匀流场：
若在无限大均匀流场中，坐标原点设在污染物排放点，污染物浓度的分布呈高斯分布，则方程式的解为。

⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=x D u y u x D uh Q
C y y 4ex p /42π 式中 Q 是连续点源的源强 (g/s)，结果 C 的单位为(g/m 3
= mg/L)。

考虑河岸反射时的污染物迁移扩散方程：
自然界的河流都有河岸，河岸对污染物的扩散起阻挡及反射作用，增加了河水中污染。

多数排污口位于岸边的一侧。

对于半无限均匀流场，仅考虑本河岸反射。

如果岸边排放源位于河流纵向坐标 x =0处，岸边排放连续点的像源与原点源重合，下游任一点的浓度为：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
=x D u y u x D uh Q
y x C y y 4ex p /42),(2π 对于需要考虑本岸与对岸反射的情况，如果河宽为 B ，只计河岸一次反射时的二维静态
河流岸边排放连续点源水质模型的解为
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x D u y B x D u y u x D uh Q
y x C y y y 4)2(exp 4exp /42),(22π 完成横向均匀混合的距离：
根据横向浓度分布状况，若某断面上河对岸浓度达到同一断面最大浓度的5％，定义为污染物到达对岸。

这一距离称为污染物到达对岸的纵向距离，用镜像法计算。

本岸C(L b ,0) 计算时不计对岸的反射项。

污染物到达对岸C(L b ,B)，只需要考虑一次反射。

使用6-15式计算浓度，并按定义C(L b ,B)/C(L b ,0)=0.05 解出的纵向距离L b 为：
y
b D uB L 2
0675.0=
虽然理论上讲，用镜像法计算时，如果纵向距离相当大，两岸反射会多次发生。

然而，多数情况下，随着纵向距离的增加，虚源的作用衰减得十分迅速。

正态分布曲线趋于平坦，横向浓度分布趋于均匀。

实际上应用中，若断面上最大浓度与最小浓度之差不超过5％，可以认为污染物已经达到了均匀混合。

由排放点至完成横向均匀混合的断面的距离称为完全混合距离。

由理论分析和实验确定的完全混合距离，按污染源在河流中心排放和污染源在河流
（6-13）
（6-15）
（6-14）
（6-16）
岸边排放的不同情况，可将完全混合距离表示为：
中心排放情况，y m D uB L 2
1.0=
岸边排放情况，y
m D uB L 2
4.0=
三 实验内容：
例6-3 一重污染均匀河段，已知河流流速为1.3km/d,BOD 衰减速度常数K 1=0.30 l/d ,水中
复氧速度常数K 2=0.65 l/d ，起始段面河水中BOD 和溶解氧浓度值分别为42mg/L 和4.6mg/L ，分析该河流DO 、BOD 5的发展趋势并绘制相应图形。

解：（1）使用原模型根据6-26式解出溶解氧达到 0的点A, 对于x <X A ，的河段，一切均遵循原S_P 模型。

根据X A 可求得L A 的值。

在工具栏——单变量求解——目标单元格=G5——目标值=0——可变单元格（自变量区域）=E5；解出XA=0.9km ，同时获得LA=34.15mg/L.
（2）河段起始复氧点B ，必然对应L B =fC s ，自此往后dD/dt>0 河流中的溶解氧开始上升，求得 L B 的数值。

由此往后的溶解氧和BOD 的变化仍遵循以此点状态为初始条件的S-P 模型。

计算富氧点起始B ，LB 的数值。

LB=fCs=(0.65/0.3)*9.2=20mg/L
（3）对于A-B 河段，原S-P 模型失效，由于A-B 河段中必然有L >fD ，即k 2L >k 1C s ，BOD 的降解速度受到获氧速度的制约，6-25的第一式成为
s C k dt
dL
1-= 这时BOD 的降解速度是一个常数。

积分并由 x =ut ,代入边界条件，L A 、L B 求解 AB 段长度x AB 有：
u C k L L x s
B
A A
B 1-=
即在D5单元格内输入算式“=（F5-F6）*B4/(B3*D2)”。

（4）以复氧点起始B 为初始条件，重复S-P 模板的相应过程求解河流以后各点的DO 、BOD5的发展趋势，绘制DO 与失效模型的比较，如图6-5；绘制BOD5与失效模型的比较，如图6-6。

图中P-A-B-Q 点的连线，是河流中DO 、BOD5的实际走势。

（5）表6-7为处理失效S-P 模型Excel 模板（表6-6）的算式。

计算结果如表6-6。

表6-6 解重污染河段S-P 模型的 Excel 模板。

1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11
（6-18）
（6-17）
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
图6-6重污染河流BOD5模型与失效的S_P模型的比较
实验五 环境系统最优化
一 实验目的：
掌握运用 Excel 求解规划问题的方法。

根据规划问题的基本概念，正确解读出用 Excel 生成的运算结果报告、敏感性报告和极限值报告等。

二 实验原理
应用系统分析方法解决环境问题的显著特点是通过模型化和最优化来协调环境系统中各要素之间的关系，实现经济效益、环境效益和社会效益的统一。

三 实验内容
例8-1 某金属冶炼厂,每生产 1kg 金属产生 0.3 kg 废物，这些废物随废水排放,浓度为 2 kg/m 3，废水经部分处理，排入附近河流。

政府对废物实行总量控制，为10 kg/ d 。

工厂最大生产能力为 5500kg/d, 售价为 $13/kg ，生产成本为$9/kg,废水处理设施的废水处理能力为700m 3/d ，处理费用是$2/m 3 ,废水处理效率与污染物的负荷有关, 以 Q 表示废水处理量,单位为(×100m 3/d)，处理效率为η＝1-0.06Q ，试对该问题建立最优化模型，并求解。

解：
1.确定状态变量，设
X : 工厂的金属产量 (×100 kg/d)；
Y : 送往废水处理设施处理的污染物量 (×100 kg/d)； 2.建立最优化模型
污染物的质量 Y (×100 kg/d) ＝流量Q (×100 m 3/d)×浓度 (kg/m 3 )，已知浓度是 2kg/m 3，废水处理流量 Q ＝Y /2, 因此废水处理效率η＝1-0.06Q ＝1-0.03Y ，处理厂排出污染物量是Y (1-η)＝0.03Y 2 。

以满足排放标准和获得最大利润为目标，每日利润以 Z 表示: Z ＝(13-9)X ×100 －2×100×Y /2 ($/d) 最后获得的最优化模型为：
Max Z ＝400X-100Y
S.t. 0.3X-Y + 0.03Y 2 ≤10；
X ≤55； Y ≤14；
0.3X -Y ≥0, X ≥0, Y ≥0
例8-2 在上节讨论优化问题时,以水处理方案为例建立了最优化模型。

该例中, 污水处理效率与负荷有关,所以可行域边界线有一段为曲线.将例8-1的问题稍作修改, 如果污水处理厂的处理效率与废水处理量无关，始终为η=0.85，其他条件仍相同，该如何进行选择。

解：按例8-1解法，设
X: 工厂的金属产量 (×100 kg/d)；
Y: 送往废水处理设施处理的污染物量 (×100 kg/d)； 建立的最优化模型成为：
Max Z ＝ 400X -100Y
图 8-1 污染物的发生与产量、处理量的关系。

（8-4） （8-5） （8-6）
S.t.
0.3X －Y +(1-0.85）Y ≤10； X ≤55； Y ≤14；
0.3X-Y ≥0, X ≥0, Y ≥0；
这样，进行工厂生产和排污规划设计，需待解决问题的数学描述就是：
在满足限制条件(8-6)～(8-8)式的要求下，求使 Z 值最大的未知量X ，Y 。

例8-3 农药管理问题。

一个容积为 100000m 3
的湖泊,湖水的平均停留时间为6个月,周围有1000ha 农田,农作物上施加的一部分农药会流失到湖中,并危害到吃鱼的鹰。

环保部门想知道如何管理农田才不致对鹰造成危害，生物学的研究证明湖水中的农药在食物链中被富
集,并按几何级数增长。

设湖水中的农药浓度为 C 1 (ppm),湖水中的藻类中的农药浓度为C
2(ppm),食藻鱼体内浓度为C 3(ppm),食鱼的鹰体内浓度为C 4
(ppm),鹰的最大耐药浓度为100ppm 。

在1000ha 农田上种植两种农作物,它们具有不同的收益和农药施加量具体数据如下：
作物
农药施加量 (kg/ha)
农药流失率 %
作物收入 $/ha
作物费用 $/ha
蔬菜 6 15 300 160 粮食 2.5 20 150 50
建立模型，设：种植蔬菜面积为X1公顷,种植粮食面积为X2公顷 净收益: Z ＝(300-160)X1+(150-50)X2
湖水中的农药浓度: 为全年农药流失量除以全年湖水水量 (6×0.15×X1+2.5×0.2×X2)/(2×100000) （kg/m 3） 换算成 ppm,环保目标为：
10020025.019.04
4
≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=X X C
种植总面积约束 X1+ X2 ≤1000 完整的模型为:
Max Z ＝140X1+ 100X2 S.t. 0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
例8-3，农药管理问题。

根据已经获得的LP 完整的模型
Max Z ＝140X1+ 100X2 S.t. 0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5 X1+ X2 ≤1000
X1,X2 ≥0
首先在X1、X2二维平面时，由X1、X2坐标轴与直线X1+X2＝1000、0.9X1+0.5X2＝632.5围成可行域OABC ；以参数Z =102500 （X1=400）、110500（X1=600）画出目标函数的投影线，说明目标线右移时 Z 值增大。

目标线右移与可行域OABC 的最后接触点是B 点。

（8-7） （8-8） （8-10） （8-9） （8-11）
（8-10）
（8-9） （8-11）
解出B点的坐标是（331.25,668.75）,因此该问题的解是：种植蔬菜面积为331.25公顷, 种植粮食面积为668.75公顷，能够获得最大净收益$113250。

例8-4
Max Z ＝5X1+12X2+4X3+0S1
S.t. X1 + 2X2 + X3 + S1＝5
2X1 - X2 + 3X3＝2
X1，X2，X3≥0
解：其对偶模型是
Min Y D ＝5Y1+2Y2
S.t. 5Y1 +2Y2≥5
2Y1 -Y2≥12
Y1 + 3Y2≥4
Y1≥0；Y2是自由变量。

例8-5用Excel的规划求解，解农药管理问题。

解：(1) 由原模型
LP: Max Z=140X1+ 100X2
S.t. 0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5
X1+ X2 ≤1000
X1,X2≥0
在Excel建立工作表，表格形式和对应算式如表8-2所示。

表8-2规划求解的Excel工作表和算式
1 2
3 4 5
B5,C5 可变单元格, 计算开始时的初始值可以是任意常数
D5 =0.9*B5+0.5*C5 是约束条件1
E5 =B5+C5 是约束条件2
G2 =B4*B5+C4*C5 是目标函数值
(2) 进行操作：工具→规划求解→填写对话框如图8-7。

图8-7 Excel的规划求解对话框
（3）求解和产生报告。

Excel的规划求解提供了三种形式的报告，它们是：运算结果报告、敏感性报告和极限值报告。

我们可按需要，提出生成何种报告。

在此列出了敏感性报告和极限值报告。

我们看到敏感性报告约束项有拉格朗日乘数一栏，这就是对偶问题的解。

Excel 敏感性报告
可变单元格
单元格名字终值递减梯度
$B$5方案蔬菜331.250
$C$5方案粮食668.750
约束
单元格名字终值拉格朗日乘数
$E$5方案总面积100050
$D$5方案污染物632.5100
Excel极限值报告
单元格变量名字值上限极限目标式结果
$G$2 总收入113250
$B$5方案蔬菜331.25331.25113250
$C$5方案粮食668.75668.75113250
一般而言，Excel的规划求解操作过程可概括如下：
1 在“工具”菜单中，单击“规划求解”命令。

如果“规划求解”命令没有出现在“工具”菜单中，则需要安装“规划求解”加载宏。

2 在“目标单元格”编辑框中，键入单元格引用或目标单元格的名称。

目标单元格必须包含公式。

3 如果要使目标单元格中数值最大，请单击“最大值”选项。

如果要使目标单元格中数值最小，请单击“最小值”选项。

如果要使目标单元格中数值为确定值，请单击“目标值”复选框，然后在右侧的编辑框中输入数值。

4 在“可变单元格”编辑框中，键入每个可变单元格的名称或引用，用逗号分隔不相邻的引用。

可变单元格必须直接或间接与目标单元格相联系。

最多可以指定200 个单元格。

5 在“约束”列表框中，输入相应的约束条件。

约束条件是指“规划求解”问题中设置的限制条件。

约束条件可以应用于可变单元格、目标单元格或其他与目标单元格直接或间接相关的单元格。

对于线性问题，约束条件的数量没有限制。

对于非线性问题，每个可变单元格可具有下列约束条件：二进制约束；整数约束附加上限、下限或上下限约束；上限、下限或上下限约束；并且可以为最多100 个其他单元格指定上限或下限。

6 单击“求解”按钮。

7 如果要在工作表中保存求解后的数值，请在“规划求解结果”对话框中，单击“保存规划求解结果”。

8 报告
创建指定类型的报告，并将每份报告存放到工作簿中单独的一张工作表上。

（1）运算结果报告
列出目标单元格和可变单元格以及它们的初始值、最终结果、约束条件和有关约束条件的信息。

（2）敏感性报告
在“规划求解参数”对话框的“目标单元格”编辑框中所指定的公式的微小变化，以及约束条件的微小变化对求解结果都会有一定的影响。

此报告提供关于求解结果对这些微小变化的敏感性的信息。

对于线性模型，此报告中将包含缩减成本、影子价格、目标系数(允许有小量增减额)的影响。

（3）极限值报告
列出目标单元格和可变单元格以及它们的数值、上下限和目标值。

含有整数约束条件的模型不能生成本报告。

下限是在满足约束条件和保持其它可变单元格数值不变的情况下，某个可变单元格可以取到的最小值。

上限是在这种情况下可以取到的最大值。

由上述关于Excel规划求解的操作要求可以看出，使用Excel进行不仅能用于求解线性问题，也能够用于求解非线性问题和整数规划问题。

例8-6用Excel的规划求解，解下列非线性问题。

Max Z ＝8X1 +12X2 +4X3
S.t. X13+ 4X2+ 3X3＝32
7X1- X22+ 3X3＝2
X1，X2，X3≥0
解：与例8-5相比本例有两个显著不同。

一是约束条件中包含X1的3次方和X2的平方项，是一个非线性问题；二是约束条件采用等式表示。

尽管如此，两者在Excel的规划求解操作中却毫无二致。

在Excel建立工作表，运行规划求解的表格形式、运行结果和对应算式如表8-3所示。

表8-3非线性问题规划求解的Excel工作表和算式
1
2
3。