矢量运算方法综述
矢量运算
4. 叉积运算规律
B A ( A B )
( A B) C A C 0
ij k
5. 微分运算
j k i
k i j
（顺序可更换） （顺序不可更换）
d dA dB ( A B) B A dt dt dt d dA dB ( A B) B A dt dt dt d dA dB ( A B) dt dt dt dA dA dS dt dS dt
m( nA) ( mn) A
( m n) A mA nA
m( A B ) mA mB
3. 点积运算规律
A B B A
i i j j k k 1
( A B) C A C B C
i j j k k i 0
D A B C
B A
A
B
5. 矢量加减法
A a x i a y j az k B bx i by j bz k A B (a x bx )i (a y by ) j (a z bz )k
三、标量积（点积、数量积） 设： A A, B B, AB
A B ABcos A B =a x bx a y by a z bz
四、矢量积（叉乘积）
A B AB sin
方向：右手螺旋法则
i A B ax bx
五、混合积
j ay by
k az bz
ay by
az
az i bz bz
ax ax j bx bx
ay by
k
C c x i c y j cz k
ax ( A B ) C bx cx
矢量的运算法则和公式
矢量的运算法则和公式在我们的物理世界中，矢量可是个相当重要的角色！就像我们在生活中要遵循各种规则一样，矢量也有它自己的运算法则和公式。
先来说说矢量的加法。
想象一下，你在操场上跑步，先向东跑了 5 米，然后又向北跑了 3 米。
那你最终的位置怎么算呢？这时候就用到矢量加法啦！把这两个位移矢量首尾相连，从起点到终点的矢量就是合矢量。
这就好比你从家出发，先去超市买了零食，又去书店买了书，最后你走的总路程可不是简单地把距离相加，而是要考虑方向的。
再说说矢量的减法。
比如说，有一个力矢量 F1 作用在物体上，然后又有一个力矢量 F2 作用在同一物体上，要想知道 F1 减去 F2 的结果，其实就是 F1 加上（-F2）。
这就像你原本有 10 块钱零花钱，花了 5 块，其实就相当于你的钱数加上了 -5 块。
说到矢量的乘法，就不得不提到点乘和叉乘。
点乘的结果是一个标量，比如一个力矢量 F 和一个位移矢量 s 的点乘，就等于力在位移方向上做的功。
就像你推一个箱子，用的力和箱子移动的距离相乘，就能知道你做了多少功。
叉乘的结果可是个矢量哦！比如磁场中的洛伦兹力 F = qv×B，这个叉乘就决定了力的方向。
记得有一次我在实验室里观察带电粒子在磁场中的运动，那轨迹真是神奇极了！正是因为矢量的叉乘法则，我们才能准确地预测粒子的运动方向。
还有矢量的数乘，这个比较简单，就是给矢量乘以一个常数，矢量的方向不变，大小改变。
就好像你跑步的速度乘以时间，就能得到你跑的路程。
在解决实际问题的时候，这些矢量的运算法则和公式可太有用啦！有一次学校组织户外探险，我们要通过地图和指南针找到目的地。
地图上给出的方向和距离就是矢量，运用矢量的加法，我们就能准确算出从当前位置到目的地的路线。
总之，矢量的运算法则和公式就像是我们探索物理世界的秘密武器，让我们能够更清晰地理解和描述各种物理现象。
不管是小小的位移，还是强大的力场，都能在矢量的世界里被准确地计算和表达。
矢量运算法则
推论：三个非零矢量共面的条件。
vvv A(BC) 0
v vv
h BC v
A
v C
v B
在直角坐标系中：
vvv
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
v v v Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
•面元：
v dS1
h2h3du2du3aˆu1
v dS2 h1h3du1du3aˆu2
v dS3 h1h2du1du2aˆu3
•体元： dV h1h2h3du1du2du3
电磁场与电磁波
四、标量场的梯度
1. 标量场的等值面 以温度场为例：
第1章 矢量分析
等温面
热源
可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力
v F
、速度
vv
、电场
v E
等
vv 矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
动力学中的矢量分析与运算
动力学中的矢量分析与运算动力学是研究物体运动及运动规律的学科，而在研究物体运动时，矢量分析与运算是不可或缺的工具。
矢量分析与运算是一种描述运动状态和运动过程的有效方法，通过对物体运动的矢量特征进行分析和计算，可以深入理解和预测物体的运动行为。
本文将介绍动力学中常用的矢量分析与运算方法，以及其在运动学和动力学问题中的应用。
一、矢量的基本概念在物理学中，矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示。
矢量具有加法、减法和乘法等运算，并且遵循一定的运算规律。
在动力学中，常用的矢量包括位矢、速度矢量、加速度矢量等。
位矢描述物体在空间中的位置，速度矢量描述物体在单位时间内位移的快慢和方向，加速度矢量描述物体在单位时间内速度的变化率。
对这些矢量进行分析和运算，可以揭示物体运动的规律和特点。
二、矢量的表示与运算1. 矢量的表示矢量通常用粗体字母或带箭头的字母表示，如位矢用r表示，速度矢量用v表示，加速度矢量用a表示。
矢量的大小一般用斜体字母表示，并用绝对值或模表示，如|v|表示速度的大小，|a|表示加速度的大小。
矢量的方向可用箭头来表示，或用与某个参考方向的夹角来表示。
2. 矢量的运算(1) 矢量的加法与减法矢量的加法与减法是指将两个矢量的大小和方向相结合，得到一个新的矢量。
矢量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
矢量的减法可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)，其中-b表示b的反向矢量。
矢量的加、减法可以通过将矢量的坐标分量相加、相减来实现。
(2) 矢量的数量积与矢量积矢量的数量积又称点积，可以用来求两个矢量之间的夹角及其余弦值。
数量积的定义是：a·b = |a| |b| cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
矢量的数量积还可以用来计算矢量在某一方向上的分量。
矢量积又称叉积，可以用来求两个矢量的乘积及其方向。
矢量积的定义是：a×b =|a| |b| sinθ n，其中θ为a与b之间的夹角，n为满足右手法则的单位矢量。
矢量运算法则
03
矢量减法
矢量减法的几何意义
• 矢量减法的几何意义 • 矢量减法表示两个矢量的头和尾相连，然后去掉第一个矢量的 尾巴 • 矢量减法的模等于两个矢量模的差 • 矢量减法的方向等于两个矢量方向的差
矢量减法的计算方法与性质
矢量减法的计算方法
• 矢量减法可以通过对应分量的相减得到 • 矢量减法的计算公式为：A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
矢量的方向
• 矢量的方向可以用矢量的单位向量表示 • 矢量的单位向量是矢量除以其模的结果
02
矢量加法
矢量加法的几何意义
• 矢量加法的几何意义 • 矢量加法表示两个矢量的头和尾相连 • 矢量加法的模等于两个矢量模的和 • 矢量加法的方向等于两个矢量方向的合成
矢量加法的计算方法与性质
矢量加法的计算方法
矢量减法的性质
• 矢量减法满足交换律：A - B = B - A • 矢量减法满足结合律：(A - B) - C = A - (B + C)
矢量减法的应用实例 • 矢 量 减 法 的 应 用 实 例 • 计算两个力的差力：F = F1 - F2 • 计算两个速度的差速度：v = v1 - v2
04
矢量运算在计算机图形学中的 应用
• 矢量运算在计算机图形学中的应用 • 计算物体的运动轨迹：s = v0t + 0.5at^2 • 计算光照和阴影：L = I * (N · L) / (N · V) • 计算物体的表面法向量：N = (A × B) / |A × B|
CREATE TOGETHER
矢量叉积的几何意义
• 矢量叉积表示两个矢量的模和角度的乘积 • 矢量叉积的结果等于两个矢量模的乘积乘以它们夹角的 余弦
矢量运算法则
例2： 设
r1 2aˆx aˆy aˆz , r2 aˆx 3aˆy 2aˆz r3 2aˆx aˆy 3aˆz , r4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
求： r4 ar1 br2 cr3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
(，R其,中,)均为 ,
h1 1, h2 R, h3 R sin
正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量
不一(定u1都, u是2 ,长u度3 )，其线元必然
有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数
，就
可正确写出其线元、面元和体元。
h1, h2 , h3
R
aˆR
R
aˆ
R sin
aˆ
在任意正交曲线坐标系中：
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu 2
h3u3
aˆu3
五、矢量场的散度
1. 矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线
方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称
+
-
为矢线。
2. 通量：
h BC
A C
B
在直角坐标系中：
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
矢量的运算
得：
r • r r1 • r1 r1 • r2 r2 • r1 r2 • r2
r 2 r12 r22 2r1r2 cos
上式开方得： r r12 r22 2r1r2 cos
11
例3、设在直角坐标系中的两个矢量分别为：
矢量的运算运算矢量向量矢量运算矢量的矢量的运算向量的运算矢量的叉乘数的运算复数的运算
矢量基础
一、矢量与标量
标量：由大小及单位或量纲表示。运算服从普通 的代数运算法则。
矢量：由大小及方向表示，其合成服从平行 四边形法则。
二、矢量的基本概念
矢量的书写方法：印刷上用黑体字表示 r 。 r 手写时在字符上加一箭号 表示。
两矢量相互垂直时， 点积为0。
10
例2、设有两个矢量分别为：r1
、r2
他们间的夹角为θ。
试证明矢量合成的平行四边形法则，即两矢量的
合矢量r的大小为：
r
r12 r22 2r1r2 cos
解： r r1 r2
两边对自身点乘
r • r (r1 r2 ) • (r1 r2 )
A B A (B)
定义为：加上 B 矢量的负矢量。
A
AB
B
3
矢量与数量相乘：记为
C mA
定义为： C = | m | A （即C的模为A的m倍）
当m大于0时, C与A方向相同。 当m小于0时，C与A方向相反。
利用上述乘法的定义，任意一个矢量都可以表示为该矢量的
8
j )m
写出该矢量的模和单位矢量，并用图表示该矢量。
6
Y
矢量的运算法则
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
矢量运算法则
v
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
矢量运算法则
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
o y
x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
矢量的运算
矢量的运算矢量是物理学中一个重要的概念，它具有大小和方向的特点。
在矢量运算中，我们经常会遇到加法、减法、数量乘法和点乘等运算。
本文将对这些矢量运算进行详细介绍。
1. 矢量加法矢量加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。
在矢量加法中，两个矢量的大小和方向都要考虑。
如果两个矢量的方向相同，则它们的大小相加；如果方向相反，则它们的大小相减。
矢量加法可以用几何方法和代数方法进行计算。
几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将它们的终点相连，所得的矢量就是它们的和矢量。
代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将两个矢量的坐标分量相加得到和矢量的坐标分量。
2. 矢量减法矢量减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。
在矢量减法中，我们要先确定两个矢量的方向，然后将它们的大小相减。
几何方法和代数方法也可以用于计算矢量减法。
几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将第二个矢量的终点与第一个矢量的起点相连，所得的矢量就是它们的差矢量。
代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将两个矢量的坐标分量相减得到差矢量的坐标分量。
3. 数量乘法数量乘法是指将一个矢量乘以一个实数得到一个新的矢量。
在数量乘法中，矢量的方向不变，只有大小发生改变。
当实数大于1时，矢量的大小会增加；当实数在0和1之间时，矢量的大小会减小；当实数小于0时，矢量的方向会反向。
数量乘法可以用几何方法和代数方法进行计算。
几何方法中，我们可以将矢量的起点放在原点上，然后将矢量的终点与实数乘积的点相连，所得的矢量就是它们的乘积矢量。
代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将矢量的坐标分量与实数相乘得到乘积矢量的坐标分量。
4. 点乘点乘是指将两个矢量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个标量。
点乘的结果是两个矢量之间的夹角的余弦值乘以两个矢量的大小的乘积。
点乘可以用几何方法和代数方法进行计算。
几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将它们的终点相连，并计算夹角的余弦值乘以两个矢量的大小的乘积。
矢量的运算法则
dS
dl
1. 直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 ˆx ˆx 线元：dlx dxa 面元： dS x dydza
ˆy dl y dya
ˆy dS y dxdza
工程电磁场
例3： 已知A点和B点对于原点的位置矢量为
a
和 b，
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
z
a
A
c
任取一点C，对于原点的位置
矢量为
C B
b
c ，则
x
y
c a k (b a )
c (1 k )a kb
其中：k 为任意实数。
工程电磁场
矢量微分元：线元、面元、体元
工程电磁场
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
z o x y
ˆx Ay a ˆ y Az a ˆz ) (Bx a ˆx By a ˆ y Bz a ˆz ) A B ( Ax a
ˆ x ( Az Bx Ax Bz )a ˆ y ( Ax By Ay Bx )a ˆz ( Ay Bz Az By )a
Ay Ax A cos , cos , cos z | A| | A| | A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
ˆ x ( Ay By Cy )a ˆ y ( Az Bz Cz ) a ˆz A B C ( Ax Bx Cx ) a
工程电磁场
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
§1矢量的基本知识和运算法则
§ 1矢量的基本知识和运算法则其大小等于A矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示， （线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5— 1所示。
两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。
如图 5— 2所示。
两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于180°的角。
在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。
2.矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。
3 .矢量A 与数量K 相乘时，图5 — 4其结果仍是一个矢量。
所得矢量的大小等于原矢量大小乘以， 所得矢量的方向：当K > 0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反如动量 mV 、冲量F ：t 都是矢量，其方向分别与矢量 V 和F 矢量相同。
动 量的变化量 m 「：V 也是矢量，其方向与V 相同。
矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量—,如加速度a1,Km m4方向与F 相同。
II4 .矢量A 与矢量B 相乘4 4一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积） ，用A B 表示，乘得的积是标量，大1.矢量和标量的不同点在于:矢量除了有大小之外, 还有方向, 矢量A 记做位移S 的数量积，是标量。
W = F ・S = FScos-另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B 表示，矢量积A B=C还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。
矢量C 的方向垂直于矢量 A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定, 如图5- 5 （甲）或（乙）所示。
注意：A B = B A , A B 与B A 大小相等，方向相反。
如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M*，大小为M =Frsinr 。
带电粒 子所受的磁场力（即洛 仑兹力） F 二qV B ，大小为F = q vBsinr （若是负电荷受力方向与此相反）例5- 1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运 动过程中合外力是否做功？解：因为速度和加速度都是矢量， 在图5 - 6所示的 圆周上任意取两点 A 、B ，虽然v A二v B , a A 二a B ，但方 向不同，由矢量相等的条件可知：VA=V B ,f A=a B, 因此匀速园周运动既不是匀速运动， 也不是匀变速运动。
矢量及其运算
矢量及其运算是物理学和数学中的重要概念，矢量是指有方向的线段，也称为向量。
其运算主要包括以下几个方面：
1.矢量加法：对于两个矢量，将它们的对应分量相加，得到新矢
量的对应分量。
2.矢量减法：将矢量的各个分量取反后再与另一个矢量相加，得
到新矢量的对应分量。
3.点积：也叫数量积或内积，表示两个矢量的乘积在夹角上的投
影。
点积满足交换律、分配律，且点积等于两矢量模的乘积与
它们夹角的余弦的乘积。
4.叉积：也叫向量积或外积，表示两个矢量的乘积垂直于它们构
成的平面。
叉积的大小等于以两矢量为邻边所构成的平行四边
形面积，方向满足右手法则。
5.三重积：也叫混合积，用于计算三个矢量构成的体积。
具体计
算方法为先求出两个矢量的叉积，再将其与第三个矢量做点积。
矢量和标量的运算法则
矢量和标量的运算法则矢量和标量是物理学中常用的两个概念，它们在运算法则上有一些不同之处。
在这篇文章中，我们将全面介绍矢量和标量的运算法则，并探讨它们的指导意义。
首先，让我们先了解一下矢量和标量的定义。
矢量是有大小和方向的物理量，比如力、速度和位移等；而标量是只有大小而没有方向的物理量，比如质量、时间和温度等。
在进行矢量的运算时，我们需要注意以下几个法则。
第一，矢量的加法法则。
矢量的加法遵循平行四边形法则，即将两个矢量的起点放在一起，将它们的长度和方向相加，然后将得到的向量作为结果的长度和方向。
这个法则适用于两个或多个矢量的相加。
第二，矢量的减法法则。
矢量的减法是通过将减去的矢量取反，然后与被减矢量进行相加来实现的。
即 a - b = a + (-b)。
第三，矢量与标量的乘法法则。
矢量与标量的乘法是将矢量的模长与标量相乘。
这个法则适用于矢量的伸缩或缩放运算，例如速度的倍增或缩小。
第四，矢量的数量积法则。
这个法则定义了两个矢量之间的数量积，也叫点积。
两个矢量的数量积等于它们的模长相乘再乘以它们之间夹角的余弦值。
这个法则在计算工作和能量时非常有用。
接下来，我们来看一下标量的运算法则。
首先，标量之间的加法和减法法则与我们常规的数学运算法则相同。
也就是说，两个标量相加或相减得到的结果仍然是标量。
其次，标量与矢量之间的运算法则有一些特殊之处。
当标量乘以矢量时，结果是一个具有相同方向但模长不同的矢量。
而当标量除以矢量时，结果是一个具有相反方向但模长不同的矢量。
最后，我们来探讨矢量和标量的运算法则的指导意义。
矢量和标量的运算法则为我们提供了处理与方向相关的物理问题的有效工具。
通过正确运用这些法则，我们可以准确地描述和计算物体在空间中的运动、力的作用以及其他与方向有关的物理现象。
此外，矢量和标量的运算法则也为我们提供了解决实际问题的方法。
无论是在工程、建筑还是其他领域，这些法则都可以帮助我们分析和解决各种复杂问题，提高工作效率和准确性。
矢量运算法则
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3、矢量
普通物理中的物理量大致分为两类：标量和矢量
标量：只有大小（一个数和一个单位）的量，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量：既有大小又有方向的量，并有一定的运算规则，例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电场强度等。
矢量的表示方法
1)、几何表示：有指向的线段
2)、解析表示：大小
3)、张量表示：按照一阶张量的变换规律变换
两个矢量相等必须是大小相等，方向一致
长度为一个单位的矢量称为单位矢量。
矢量结合法则
1) 矢量加法：遵从平行四边形定则(请点击小方块查看演示过程)
（flash 一）
交换律：
结合律：
2) 矢量的数乘
结合律：
分配律：
3) 矢量的分解
在一个平面内，若存在两个不共线的矢量0000则平面内的任一矢量可以分解为：
常用称为正交分解
三维空间中应有3个不共面的矢量．
4) 标量积（点积、内积）
两个矢量的点积为一标量。
交换律：
分配律：
5) 矢量积（叉积、外积）
是一个轴矢量
大小：平行四边形面积方向：右手螺旋
（图一）
右手螺旋定则(移动鼠标到flash上查看效果)
（flash 二）
矢积的性质：
矢量的混合积结果为平行六面体的体积
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矢量算法
计算几何常用算法(一共23个)1. 矢量减法设二维矢量P = （x1,y1），Q = (x2,y2)则矢量减法定义为：P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )显然有性质P - Q = - ( Q - P )如不加说明，下面所有的点都看作矢量，两点的减法就是矢量相减；2.矢量叉积设矢量P = （x1,y1），Q = (x2,y2)则矢量叉积定义为：P ×Q = x1*y2 - x2*y1 得到的是一个标量显然有性质P ×Q = - ( Q ×P ) P ×( - Q ) = - ( P ×Q )如不加说明，下面所有的点都看作矢量，点的乘法看作矢量叉积；叉乘的重要性质：> 若P ×Q > 0 , 则P 在Q的顺时针方向> 若P ×Q < 0 , 则P 在Q的逆时针方向> 若P ×Q = 0 , 则P 与Q共线，但可能同向也可能反向3.判断点在线段上设点为Q，线段为P1P2 ，判断点Q在该线段上的依据是：( Q - P1 ) ×( P2 - P1 ) = 0 且Q 在以P1，P2为对角顶点的矩形内4.判断两线段是否相交我们分两步确定两条线段是否相交：(1)．快速排斥试验设以线段P1P2 为对角线的矩形为R，设以线段Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，显然两线段不会相交；(2)．跨立试验如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方，如图1所示。
在图1中，P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) < 0上式可改写成( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) ×( P2 - Q1 ) > 0当( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明( P1 - Q1 ) 和( Q2 - Q1 )共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以P1 一定在线段Q1Q2上；同理，( Q2 - Q1 ) ×( P2 - Q1 ) = 0 说明P2 一定在线段Q1Q2上。
矢量的积分运算
向量的积分运算：综合概述矢量是具有大小和方向的数学对象。
它们可以在图形上表示为有向线段，在代数上表示为有序的实数对。
向量可以与实数的标量相加、相减和相乘。
这些运算被称为矢量代数，构成了许多数学和科学应用的基础。
矢量代数中的一个重要运算是积分。
积分是一种计算曲线下面积或固体体积的方法。
在这篇文章中，我们将探索如何整合向量以及这种操作的一些应用。
矢量积分向量积分是找到由向量函数界定的区域的总面积或体积的过程。
向量函数是将实数（称为自变量）映射到二维或三维向量的函数。
该区域由矢量函数映射到的空间中所有点的集合定义。
矢量积分有两种类型：线积分和面积分。
线积分是找到由矢量函数描绘出的曲线的总长度的过程。
表面积分是找到由矢量函数描绘出的表面总面积的过程。
线路整合线积分也称为线积分或路径积分。
它用于查找矢量函数描绘出的曲线的总长度。
曲线由矢量函数映射到的空间中所有点的集合定义。
要找到矢量函数的线积分，我们必须首先指定要评估矢量函数的路径。
路径是空间中的一条曲线，随着自变量的变化由向量函数描绘出来。
路径通常由一组参数方程定义，这些方程是根据一个或多个参数表示点位置的方程。
指定路径后，可以使用以下公式计算矢量函数的线积分：∫CF · dr其中C 是要评估矢量函数的路径，F 是矢量函数，dr 是微分矢量元素，指定路径在给定点的方向和大小。
矢量函数的线积分是一个标量，这意味着它只有大小而没有方向。
它通常用于计算向量函数描绘出的曲线的总长度。
表面整合表面积分也称为表面积分或通量积分。
它用于计算矢量函数描绘出的表面的总面积。
表面由矢量函数映射到的空间中所有点的集合定义。
要找到矢量函数的曲面积分，我们必须首先指定要计算矢量函数的曲面。
表面是空间中的二维区域，随着自变量的变化由矢量函数描绘出来。
表面通常由一组参数方程定义，这些方程是根据一个或多个参数表示点位置的方程。
指定表面后，可以使用以下公式计算矢量函数的表面积分：∫SF·dS其中S 是要计算矢量函数的表面，F 是矢量函数，dS 是微分表面元素，它指定表面在给定点的面积和方向。
一维物理矢量运算的符号法则
一维物理矢量运算的符号法则
矢量运算遵循平行四边形法则，矢量既有数值大小，又要由方向才能完全确定。
它的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则，比如平行四边形法则。
矢量之间的运算要遵循特殊的法则：
1、矢量的加法一般可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
如：A-B=A+(-B)。
2、矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积。
也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。
这里与数学中的向量知识一致。
例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。
如：W=F·S，P=F·v。
物理学中，力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
如：M=r×F。