华东师大版中学数学九年级上第23章图形的相似23

第23章图形的相似
23.6图形与坐标
2图形的变换与坐标
教学反思教学目标
1.探索图形经过平移、轴对称、相似等变换后对应坐标的变化.
2.能按要求作出简单的平面图形运动后的图形以及对应的坐标变化.
教学重难点
重点：掌握图形变化前后坐标之间的规律.
难点：能按要求作出简单的平面图形运动后的图形以及对应的坐标变化.
教学过程
复习巩固
1.平移
（1）定义：平面图形在它所在的平面上的平行移动，简称为平移.
（2）性质：平移前后的图形的形状和大小完全相同，能够完全重合；平移前后图
形的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等.
2.成轴对称：
（1）定义：把一个图形沿着某一条直线翻折后，如果它能够与另一个图形重合，
那么就说这两个图形成轴对称.
（2）性质：成轴对称的两个图形的对应线段相等，对应角相等.
3.怎样判断两个图形是不是位似图形？
判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，
二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点.
4.画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心；
（2）分别连结位似中心和能代表原图的关键点并延长；
（3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点；
（4）按照原图的形状，顺次连结上述各点，得到放大或缩小后的图形.
导入新课
【问题1】
活动1（小组讨论，教师点评）
三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的，点A（-1，4）的对应点为A′（1，7），
点B（1，1）的对应点为B′（3，4），则点C（-4，-1）的对应点C′的坐标为.
教学反思【解析】由点A（-1，4）的对应点为A′（1，7）知平移方式为向右平移2个单位、
向上平移3个单位，∴点C（-4，-1）的对应点C′的坐标为（-2，2）.
【答案】（-2，2）
思考：在同一个平面直角坐标系中，一个图形经过变换之后，该图形上各点的坐标
会如何变化呢？
教师引出课题：23. 6图形与坐标
2图形的变换与坐标
探究新知
探究点一平移变换后图形上点的坐标变化
【问题2】
活动2（小组讨论，教师点评）
典例讲解（师生互动）
例1如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3）、B（3，1）、C（1，2）.
（1）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、
C1，依次连结点A1、B1、C1，得到三角形A1B1C1.
（2）在上面的三角形中如果将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，
情况又会如何呢？
【探索思路】（引发学生思考）（联系前面所学知识可知，平面直角坐标系中图形的
平移也可先通过平移图形上某些特殊点，再依次连结这些平移后的特殊点得到）因为图
形的平移是以点的平移为基础的，因此所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状
完全相同，可以看作将三角形ABC向左平移6个单位得到.
【解】（1）（2）如图所示.
【题后总结】（学生总结，老师点评）根据在平面直角坐标系内，图形的平移方向
和距离解答.
【即学即练】
1.如图，把△ABC经过一定的平移变换得到△A′B′C′，如果△ABC边上一点P的坐
标为（a，b），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）
教学反思
A.（a+6，b-2）
B.（a+6，b+2）
C.（-a+6，-b）
D.（-a+6，b+2）
【探索思路】（引发学生思考）根据已知三对对应点的坐标，得出变换规律→让点
P的坐标也作相应变化.
【解析】∵A（-3，-2）、B（-2，0）、C（-1，-3）、A′（3，0）、B′（4，2）、C′
（5，-1），
∴△ABC向右平移6个单位，向上平移2个单位得到△A′B′C′.
∵△ABC边上一点P的坐标为（a，b），
∴点P变换后的对应点P′的坐标为（a+6，b+2）.
【答案】B
【题后总结】（学生总结，老师点评）坐标系中图形上所有点的平移变化规律是一
致的，解此类问题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的平移变化规律.
【规律总结】（1）沿x轴方向左右平移|a|个单位，纵坐标不变，横坐标分别增加
（减少）a个单位时，图形向右（向左）平移a个单位.
（2）沿y轴方向上下平移|b|个单位，横坐标不变，纵坐标分别增加（减少）b个
单位时，图形向上（向下）平移b个单位.
反过来，沿x轴方向平移|a|个单位:
若a>0，则向右平移；若a<0，则向左平移.
沿y轴方向平移|b|个单位:
若b>0，则向上平移；若b<0，则向下平移.
探究点二轴对称变换后图形上点的坐标变化
【问题3】
活动3（小组讨论，教师点评）
【思考】
在图中，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB，它们对应顶点的坐标有什么变
化？
【答案】O，B两点的坐标不变，点A与点A′的横坐标相同，纵坐标互为相反数.
【问题4】
动手操作：请在图中的平面直角坐标系中画一个平行四边形，写出它的四个顶点的坐标，然后画出这个平行四边形关于y 轴的对称图形，写出对称图形四个顶点的坐标，观察对应顶点的坐标有什么变化？
学生展示结果，各小组讨论，加以总结，老师点评
【总结】在同一直角坐标系中，图形经过轴对称变换，变换前后对应点坐标的变化规律：
（1）关于x 轴对称的两个图形，对应点坐标之间的关系是：横坐标不变，纵坐标互为相反数
（2）关于y 轴对称的两个图形，对应点坐标之间的关系是：横坐标互为相反数，纵坐标不变.
例2 在平面直角坐标系中，已知点A （-3，1）、B （-1，0）、C （-2，-1）
，请在图中画出△ABC ，并画出与△ABC 关于y 轴对称的图形.
【探索思路】（引发学生思考）作已知图形关于坐标轴的对称图形的关键是什么？ 【解】如图，△DEF 是△ABC 关于y 轴对称的图形.
【题后总结】（学生总结，老师点评）在坐标系中作出关于坐标轴的对称点，然后顺次连结，即可作出已知图形关于坐标轴的对称图形.
【规律总结】
纵坐标不变，横坐标分别乘-1，所得图形与原图形关于y 轴对称；
横坐标不变，纵坐标分别乘-1，所得图形与原图形关于x 轴对称. 探究点三 旋转变换后图形上点的坐标变化
【问题5】
教学反思
动手操作：请在图中的平面直角坐标系中画一个三角形，写出这个三角形的三个顶点的坐标，然后把这个三角形绕点O 旋转180°，画出旋转后得到的三角形，并写出三角形的三个顶点的坐标，观察对应顶点的坐标有什么变化？
在同一直角坐标系中，一个图形绕原点旋转180°（即关于原点中心对称），旋转前后两个图形对应点坐标之间的关系是：横坐标与纵坐标都互为相反数.
【规律总结】横坐标与纵坐标都乘-1，所得图形与原图形关于原点对称.
探究点四 位似变换后图形上点的坐标变化
【问题6】
活动6 （小组讨论，教师点评）
思考：如果把△AOB 缩小后得到△COD ，你能求出它们的相似比吗？△AOB 的顶点坐标发生了什么变化？
【解】由题意知点B 的横坐标是4，点D 的横坐标是2，所以OB ＝4，
OD ＝2. 因为△AOB ∽△COD ，所以△AOB 与△COD 的相似比等于4∶2＝2∶1.
把△AOB 缩小后得到 △COD ,△AOB 的顶点坐标缩小为原来的1
2
.
【规律总结】在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为k （k >0），那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k .以坐标原点为位似中心的位似图形存在两种情况：若在原点的同侧，则它们横坐标的比、纵坐标的比都为k ;若在原点的两侧，则它们横坐标的比、纵坐标的比都为-k .
当 k ＞1时，图形扩大为原来的 k 倍； 当 0＜k ＜1时，图形缩小为原来的 k 倍.
合作探究，解决问题（小组讨论，教师点评）
典例讲解(师生互动)
例3 如图，在平面直角坐标系中，以P （4，6）为位似中心，把△ABC 缩小得到△DEF ，若变换后，点A 、B 的对应点分别为点D 、E ，求点C 的对应点F 的坐标.
教学反思
【探索思路】
DEF，求点C的对应点F的坐
标，通过图形，找到缩小后点的变化.
【解】∵△DEF∽△ABC，且F点在CP的连线上，∴可得点F位置如图所示.
∴点F的坐标为（4，4）.
例4△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（5，2），以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化.
【探索思路】（引发学生思考）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个.
【解】如图，把△ABC放大后点A，B，C的对应点分别为A′（4，6），B′（4，2），C′（10，4）；A" （-4，-6），B" （-4，-2），C" （-10，-4）.
【即学即练】
2.在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0）、A（6，0）、B（3，6）、C（-3，3），以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似比是2:
3.
【解】第一种情况：如图所示.
将四边形OABC各顶点的坐标都乘2
3
；在平面直角坐标系中描点O（0，0）、A'（4，
0）、B'（2，4）、C'（-2，2）;顺次连结O、A'、B'、C'得四边形O A'B'C'.教学反思
第二种情况：如图所示.
将四边形OABC各顶点的坐标都乘
2
3
；在平面直角坐标系中描点O（0，0）、
A''（-4，0）、B'′（-2，-4）、C''（2，-2）;顺次连结O、A''、B''、C''得四边
形O A''B''C ''.
【题后总结】在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以
作两个.当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两
侧时，其对应顶点的坐标的比为-k .
课堂练习
1.已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）.将线段AB沿某一方向平移
后，点A的对应点的坐标为（-2，1），则点B的对应点的坐标为（）
A.（5，3）
B.（-1，-2）
C.（-1，-1）
D.（0，-1）
2.点A（m，4）向右平移2个单位后得到B（3，n），则m-n＝.
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（0，2），（-1，0），将
线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点B′的坐标为（2，0），则点A的对应点
A′的坐标为.
4.在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位，再向上平移3个单位
后与点B（-3，2）重合，则点A的坐标是.
5.如图，三架飞机P、Q、R保持编队飞行，30秒后飞机P飞到P1的位置，飞机Q、
R飞到了新位置Q1、R1.在直角坐标系中标出Q1、R1，并写出坐标.
教学反思
6.如图，在平面直角坐标系中，P （a ，b ）是△ABC 的边AC 上一点，△ABC 平移后点P 的对应点为P 1（a +6，b +2）.
请画出上述平移后的△A 1B 1C 1，并写出点A 、C 、A 1、C 1的坐标.
7.a 、b 、c 为△ABC 的三条边，满足条件点（a -c ，a ）与点（0，-b ）关于x 轴对称，判断△ABC 的形状.
8.如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别是O （0，0），A （1，2），B （3，1）（每个方格的边长为1单位）.
（1）将△OAB 向右平移1个单位后得到△111O A B ，请画出△111O A B ；
（2）请以O 为位似中心画出△OAB 的位似图形，使它与△OAB 的相似比为2∶1； （3）点P （a ，b ）为△OAB 上一点，请直接写出在（2）中位似变换后的对应点P ′的坐标为____.
参考答案
1. C
2.-3
3.（3，2）
4.（2，-1）
5.【解】由题意可知P （-1，1）、Q （-3，1）、R （-1，-1）. ∵ 30秒后点P 1的坐标为（4，3），
∴ 飞机P 向右平移了5个单位，向上平移了2个单位， ∴ 点Q 1的坐标为（2，3），点R 1的坐标为（4，1）.在直角坐标系中的位置如图所
教学反思
示.
6【解】平移后的△A1B1C1如图所示，各点的坐标分别为A（-3，2）、C（-2，0）、A1（3，4）、C1（4，2）.
7.【解】∵点（a-c，a）与点（0，-b）关于x轴对称，
∴a-c＝0，a-b＝0，
∴a＝c，a＝b，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形.
8.【解】（1）如图所示.
（2）如图所示.
（3）（2a，2b）或（-2a ，-2b）.
课堂小结
（学生总结，老师点评）教学反思
x y ⎧⎨
⎩⎧⎪⎨⎪⎩图形左右移动时，对应的横坐标左减右加，纵坐标不变平面直角坐标系中的平移变换图形上下移动时，对应的横坐标不变、纵坐标上加下减关于轴对称时，对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数平面直角坐标系中的轴对称变换关于轴对称时，对应点的横坐标互为相反数、纵坐标相等
关于原点对称时，对应点的横坐标和纵坐标都互为相反数
图形的变换与坐标平面直角坐标系中的旋转变换一个图形经过旋转变换改变位置，图形上各{11k k
k k k k ><<⎧⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎨⎪
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪⎩⎩
点的坐标也发生相应的变化
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为平面直角坐标系中的位似变换当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为-当时，图形扩大为原来的倍
当0时，图形缩小为原来的倍
布置作业
教材第92页练习第1-3题，第93页习题23.6第2题.
板书设计
课题 23.6 图形与坐标
2 图形的变换与坐标
1.平移变换后图形上点的坐标变化 例1
2.轴对称变换后图形上点的坐标变化 例2
3.旋转变换后图形上点的坐标变化 例3
4.位似变换后图形上点的坐标变化。